5. Probabilités et statistiques
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Vocabulaire et règles
À savoir par cœur
- Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues. Un événement est une partie de \(\Omega\).
- \(0\leq P(A)\leq 1\) et \(P(\Omega)=1\).
- Contraire : \(P(\overline{A})=1-P(A)\).
- Union : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
- En situation d'équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\).
Exemple
On lance un dé équilibré à six faces. \(P(\text{« pair »})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
Tableau croisé d'effectifs
Exemple
Dans un groupe de \(150\) élèves, on relève le sexe et le régime (demi-pensionnaire D ou externe E).
| D | E | Total | |
|---|---|---|---|
| Fille (F) | \(45\) | \(15\) | \(60\) |
| Garçon (G) | \(55\) | \(35\) | \(90\) |
| Total | \(100\) | \(50\) | \(150\) |
- \(P(F)=\dfrac{60}{150}=\dfrac{2}{5}\).
- \(P(F\cap D)=\dfrac{45}{150}=\dfrac{3}{10}\).
- Parmi les filles, la proportion de demi-pensionnaires est \(\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}\) : c'est la probabilité de \(D\) sachant \(F\), notée \(P_F(D)\).
Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
À savoir par cœur
Pour \(P(A)\neq 0\) :
\[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \qquad\text{donc}\qquad P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\]
Règles de l'arbre pondéré :
- la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut \(1\) ;
- la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches ;
- la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Statistiques
À savoir par cœur
Pour une série de \(N\) valeurs :
- Moyenne : \(\bar{x}=\dfrac{\text{somme des valeurs}}{N}\).
- Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
- Quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\) : environ \(25\,\%\) des valeurs sont inférieures ou égales à \(Q_1\), environ \(75\,\%\) à \(Q_3\). Écart interquartile : \(Q_3-Q_1\).
- Écart-type \(\sigma\) : mesure la dispersion autour de la moyenne ; c'est la racine carrée de la variance \(V=\dfrac{1}{N}\sum (x_i-\bar{x})^2\).
Exemple
Série : \(2\ ;\ 4\ ;\ 4\ ;\ 6\). Moyenne \(\bar{x}=4\), médiane \(4\), variance \(V=\dfrac{4+0+0+4}{4}=2\), écart-type \(\sigma=\sqrt{2}\).
Pièges
Attention
- Une probabilité n'est jamais supérieure à \(1\) ni négative.
- En général, \(P(A\cap B)\neq P(A)\times P(B)\) : cette égalité n'est vraie que pour des événements indépendants.
- Ne pas confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).
- La moyenne et la médiane sont deux indicateurs différents : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.