6. Raisonnement et logique

Implication, réciproque, contraposée

À savoir par cœur

Pour deux propositions \(P\) et \(Q\) :

Implication : \(P \Rightarrow Q\) (« si \(P\) alors \(Q\) »).
Réciproque : \(Q \Rightarrow P\). Elle n'a aucune raison d'être vraie en même temps que l'implication.
Contraposée : \(\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P\). Elle est toujours équivalente à l'implication.
Équivalence : \(P \iff Q\) signifie que \(P \Rightarrow Q\) et \(Q \Rightarrow P\) sont toutes deux vraies.

Exemple

Implication : « si \(x=2\) alors \(x^2=4\) » (vraie).

Réciproque : « si \(x^2=4\) alors \(x=2\) » (fausse : \(x=-2\) convient aussi).
Contraposée : « si \(x^2\neq 4\) alors \(x\neq 2\) » (vraie).

À savoir par cœur

Un exemple ne prouve pas une affirmation du type « pour tout ».
Un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une telle affirmation est fausse.

Exemple

Affirmation : « si \(n\) est multiple de \(3\), alors \(n\) est multiple de \(6\) ». Le contre-exemple \(n=3\) montre qu'elle est fausse.

À savoir par cœur

\(\forall\) : « pour tout » ; \(\exists\) : « il existe ».
La négation de « pour tout \(x\), \(P(x)\) » est « il existe \(x\) tel que \(P(x)\) soit fausse ».
La négation de « il existe \(x\) tel que \(P(x)\) » est « pour tout \(x\), \(P(x)\) est fausse ».
Négation d'une inégalité : non\((x>3)\) s'écrit \(x\leq 3\).

Exemple

La négation de « tous les élèves ont plus de \(10\) » est « au moins un élève a \(10\) ou moins ».

À savoir par cœur

\(x\in E\) : \(x\) appartient à \(E\) ; \(A\subset B\) : \(A\) est inclus dans \(B\) ; \(\emptyset\) : ensemble vide.
\(A\cap B\) : éléments communs ; \(A\cup B\) : éléments de \(A\) ou de \(B\).
\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).
Intervalles : \([a\,;b]\) (bornes incluses), \(]a\,;b[\) (bornes exclues), \([a\,;+\infty[\) (le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini).

Exemple

\([1\,;5[\ \cup\ [3\,;8]=[1\,;8]\) et \([1\,;5[\ \cap\ [3\,;8]=[3\,;5[\).

À savoir par cœur

Raisonnement direct : on part des hypothèses et on enchaîne des déductions.
Disjonction de cas : on étudie séparément tous les cas possibles (par exemple \(n\) pair, puis \(n\) impair).
Par l'absurde : on suppose le contraire de ce qu'on veut démontrer et on aboutit à une contradiction.

Attention

Ne pas confondre réciproque et contraposée.
La négation de « tous ont plus de \(10\) » n'est pas « tous ont \(10\) ou moins ».
Vérifier sur plusieurs valeurs ne démontre pas une propriété générale.