3. Géométrie repérée et vecteurs
Retour à la caisse à outils Passer l'auto-test
Coordonnées dans un repère orthonormé
À savoir par cœur
Pour \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) :
\[\text{Milieu de }[AB] : \left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\frac{y_A+y_B}{2}\right) \qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
Vecteurs
À savoir par cœur
- \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}\) : arrivée moins départ.
- Somme : \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix}\) ; produit par un réel : \(k\vec{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}\).
- Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
- Norme : \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
- \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) si et seulement si \(ABCD\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Colinéarité, alignement, parallélisme
À savoir par cœur
Deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
\[xy'-x'y=0\]
- \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
- \((AB)\parallel(CD)\) \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Exemple
\(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\), \(C(7\,;4)\). On a \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\). Déterminant : \(3\times 2-6\times 1=0\). Les points sont alignés.
Équation d'une droite
À savoir par cœur
- Droite non verticale : \(y=mx+p\).
- Droite verticale : \(x=c\).
- Un point appartient à la droite si ses coordonnées vérifient l'équation.
Rappels de collège
À savoir par cœur
- Pythagore : dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(BC^2=AB^2+AC^2\).
- Réciproque : si \(BC^2=AB^2+AC^2\), alors le triangle est rectangle en \(A\).
- Thalès : si \((MN)\parallel(BC)\) avec \(M\in(AB)\) et \(N\in(AC)\), alors \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\).
- Trigonométrie (triangle rectangle) :
\[\cos\widehat{A}=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin\widehat{A}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan\widehat{A}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\]
| Figure | Aire ou volume |
|---|---|
| Rectangle | \(L\times\ell\) |
| Triangle | \(\dfrac{b\times h}{2}\) |
| Disque de rayon \(r\) | \(\pi r^2\) (périmètre du cercle : \(2\pi r\)) |
| Cylindre | \(\pi r^2 h\) |
| Cône | \(\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) |
| Boule | \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\) |
Pièges
Attention
- Pour \(\overrightarrow{AB}\), c'est B moins A, pas l'inverse.
- La longueur \(AB\) est un nombre positif ; le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a deux coordonnées.
- La formule de distance suppose un repère orthonormé.
- Pour la réciproque de Pythagore, on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.