2. Fonctions
Retour à la caisse à outils Passer l'auto-test
Vocabulaire
À savoir par cœur
Soit une fonction \(f : x \mapsto f(x)\).
- \(f(a)\) est l'image de \(a\).
- Si \(f(a)=b\), alors \(a\) est un antécédent de \(b\) (un nombre peut en avoir plusieurs, ou aucun).
- L'ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\) est l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) existe.
Exemples : ensemble de définition
- \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\) : on ne divise pas par \(0\), donc \(\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).
- \(g(x)=\sqrt{2x-4}\) : il faut \(2x-4\geq 0\), donc \(\mathcal{D}_g=[2\,;+\infty[\).
Lecture graphique
À savoir par cœur
- Image de \(a\) : on part de \(a\) sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, on lit l'ordonnée.
- Antécédents de \(b\) : on part de \(b\) sur l'axe des ordonnées, on trace l'horizontale, on lit les abscisses des points de la courbe.
- Résoudre \(f(x)=g(x)\) : abscisses des points d'intersection des deux courbes.
- Résoudre \(f(x)\leq g(x)\) : abscisses où la courbe de \(f\) est en dessous de celle de \(g\).
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\draw[->] (-3.4,0) -- (3.7,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-1.6) -- (0,3.9) node[above] {$y$};
\foreach \x in {-3,-1,1,3} \draw (\x,0.08) -- (\x,-0.08) node[below] {$\x$};
\foreach \y in {-1,2,3} \draw (0.08,\y) -- (-0.08,\y) node[left] {$\y$};
\draw[thick,blue,domain=-3:3,samples=60,smooth] plot (\x,{0.5*\x*\x-1});
\node[blue,above right] at (3,3.5) {$\mathcal{C}_f$};
\draw[dashed,red] (-2,0) -- (-2,1) -- (2,1) -- (2,0);
\fill[red] (2,1) circle (2pt);
\fill[red] (-2,1) circle (2pt);
\node[red,below] at (2,-0.1) {$a=2$};
\node[red,below] at (-2,-0.1) {$-2$};
\node[red,above left] at (0,1) {$b=1$};
\node[red,below right] at (2,1) {$f(2)=1$};
\end{tikzpicture}Courbe \(\mathcal{C}_f\) de \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-1\) : l'image de \(a=2\) est \(f(2)=1\), et les antécédents de \(b=1\) sont \(-2\) et \(2\).
Variations
À savoir par cœur
- \(f\) est croissante sur \(I\) si \(a<b \Rightarrow f(a)\leqslant f(b)\) (elle conserve l'ordre).
- \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(a<b \Rightarrow f(a)\geqslant f(b)\) (elle renverse l'ordre).
- Un extremum est un maximum ou un minimum.
Tableau de variations de la fonction carré
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=x^2\) | ↘ | \(0\) | ↗ |
Fonctions de référence
| Fonction | Expression | Ensemble de définition | Variations |
|---|---|---|---|
| Affine | \(mx+p\) | \(\mathbb{R}\) | croissante si \(m>0\), décroissante si \(m<0\) |
| Carré | \(x^2\) | \(\mathbb{R}\) | décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), croissante sur \([0\,;+\infty[\) |
| Cube | \(x^3\) | \(\mathbb{R}\) | croissante sur \(\mathbb{R}\) |
| Racine carrée | \(\sqrt{x}\) | \([0\,;+\infty[\) | croissante |
| Inverse | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) | décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) |
Allure des courbes
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\begin{scope}
\draw[->] (-2,0) -- (2.2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3.2) -- (0,3.2) node[above] {$y$};
\draw[thick,blue,domain=-1.7:1.7,samples=40,smooth] plot (\x,{\x*\x});
\node at (0,-3.9) {$x^2$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(5.5,0)}]
\draw[->] (-2,0) -- (2.2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3.2) -- (0,3.2) node[above] {$y$};
\draw[thick,blue,domain=-1.4:1.4,samples=40,smooth] plot (\x,{\x*\x*\x});
\node at (0,-3.9) {$x^3$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(11,0)}]
\draw[->] (-0.6,0) -- (3.4,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3.2) -- (0,3.2) node[above] {$y$};
\draw[thick,blue,domain=0:3,samples=40,smooth] plot (\x,{sqrt(\x)});
\node at (1.4,-3.9) {$\sqrt{x}$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}De gauche à droite : les courbes des fonctions carré, cube et racine carrée.
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\begin{scope}
\draw[->] (-3.4,0) -- (3.6,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3.4) -- (0,3.6) node[above] {$y$};
\draw[thick,blue,domain=0.35:3.2,samples=50,smooth] plot (\x,{1/\x});
\draw[thick,blue,domain=-3.2:-0.35,samples=50,smooth] plot (\x,{1/\x});
\fill[red] (1,1) circle (2pt);
\fill[red] (-1,-1) circle (2pt);
\node[red,above right] at (1,1) {$(1\,;1)$};
\node[red,below left] at (-1,-1) {$(-1\,;-1)$};
\node at (0,-4.2) {$\frac{1}{x}$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(8.5,0)}]
\draw[->] (-2.4,0) -- (2.8,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-3.4) -- (0,3.6) node[above] {$y$};
\draw[thick,blue] (-2,-1.1) -- (2,2.1) node[right] {$m>0$};
\draw[thick,red] (-2,2.1) -- (2,-1.1) node[right] {$m<0$};
\node at (0,-4.2) {$mx+p$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}À gauche : la fonction inverse, avec ses deux branches. On a \(-1<1\) et pourtant \(f(-1)=-1<f(1)=1\) : elle n'est donc pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) en entier. À droite : deux droites, croissante si \(m>0\) et décroissante si \(m<0\).
Fonction affine et droite
À savoir par cœur
La droite d'équation \(y=mx+p\) a pour coefficient directeur \(m\) et pour ordonnée à l'origine \(p\). Si \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) sont deux points avec \(x_A\neq x_B\) :
\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]
Exemple
Droite passant par \(A(1\,;3)\) et \(B(3\,;7)\) : \(m=\dfrac{7-3}{3-1}=2\). Puis \(3=2\times 1+p\), donc \(p=1\) et la droite a pour équation \(y=2x+1\).
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=0.5cm]
\draw[->] (-1,0) -- (4.6,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,8.8) node[above] {$y$};
\foreach \x in {1,2,3,4} \draw (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below] {$\x$};
\draw[thick,blue] (-0.8,-0.6) -- (3.6,8.2);
\node[blue,above left] at (3.2,7.4) {$y=2x+1$};
\fill[red] (1,3) circle (2pt);
\fill[red] (3,7) circle (2pt);
\node[red,above left] at (1,3) {$A(1\,;3)$};
\node[red,below right] at (3,7) {$B(3\,;7)$};
\draw[dashed] (1,3) -- (3,3) -- (3,7);
\node[below] at (2,3) {$2$};
\node[right] at (3,5) {$4$};
\fill (0,1) circle (1.5pt);
\node[left] at (0,1) {$p=1$};
\end{tikzpicture}La droite d'équation \(y=2x+1\) : quand \(x\) augmente de \(2\), \(y\) augmente de \(4\), donc \(m=\dfrac{4}{2}=2\).
Pièges
Attention
- En général, \(f(a+b)\neq f(a)+f(b)\). Pour \(f(x)=x^2\), \(f(1+2)=9\) mais \(f(1)+f(2)=5\).
- La fonction carré n'est pas croissante sur \(\mathbb{R}\) : elle décroît d'abord, puis croît.
- La fonction inverse n'est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) entier, mais sur chacun des deux intervalles séparément.
- Une droite verticale \(x=c\) n'est la courbe d'aucune fonction.