4. Erreurs classiques
Retour à la caisse à outils Passer l'auto-test
Ces erreurs reviennent chaque année. Les connaître est le moyen le plus rapide de ne plus les faire.
Calcul algébrique
| Erreur | Correct | Pourquoi |
|---|---|---|
| \((a+b)^2=a^2+b^2\) | \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) | Il manque le double produit. Test : \((1+2)^2=9\) mais \(1^2+2^2=5\). |
| \(-(x-3)=-x-3\) | \(-(x-3)=-x+3\) | Le signe moins change tous les signes de la parenthèse. |
| \(\dfrac{a+b}{a}=1+b\) | \(\dfrac{a+b}{a}=1+\dfrac{b}{a}\) | On ne simplifie que des facteurs, jamais un terme d'une somme. |
| \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\) | \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}\) | Il faut mettre au même dénominateur. |
| \(\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) | Aucune simplification possible | Test : \(\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\) mais \(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1}=2\). |
| \(2^3\times 2^4=2^{12}\) | \(2^3\times 2^4=2^{7}\) | Les exposants s'additionnent. Ils se multiplient pour \((2^3)^4=2^{12}\). |
| \(-4^2=16\) | \(-4^2=-16\) et \((-4)^2=16\) | La puissance s'applique avant le signe moins. |
Racines et équations
| Erreur | Correct | Pourquoi |
|---|---|---|
| \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) | Aucune simplification possible | Test : \(\sqrt{9+16}=5\) mais \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\). |
| \(\sqrt{x^2}=x\) | \(\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert\) | Si \(x=-5\), \(\sqrt{25}=5\) et non \(-5\). |
| \(x^2=4 \Rightarrow x=2\) | \(x=2\) ou \(x=-2\) | Une équation \(x^2=a\) avec \(a>0\) a deux solutions. |
| \(x^2=3x \Rightarrow x=3\) | \(x(x-3)=0\) donc \(x=0\) ou \(x=3\) | Diviser par \(x\) fait perdre la solution \(x=0\). |
| \(-2x>6 \Rightarrow x>-3\) | \(-2x>6 \Rightarrow x<-3\) | Diviser par un négatif inverse l'inégalité. |
Pourcentages et probabilités
| Erreur | Correct | Pourquoi |
|---|---|---|
| \(+20\,\%\) puis \(-20\,\%\) redonne le prix initial | On obtient \(1{,}2\times 0{,}8=0{,}96\), soit \(-4\,\%\) | Les pourcentages portent sur des bases différentes. |
| \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) toujours | Vrai seulement si \(A\) et \(B\) sont indépendants | Sinon, \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\). |
| \(P_A(B)=P_B(A)\) | En général, ces deux valeurs sont différentes | Elles n'ont pas le même événement de référence. |
Fonctions
| Erreur | Correct | Pourquoi |
|---|---|---|
| \(f(a+b)=f(a)+f(b)\) | Faux en général | Pour \(f(x)=x^2\) : \(f(1+2)=9\) mais \(f(1)+f(2)=5\). |
| La fonction carré est croissante sur \(\mathbb{R}\) | Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) puis croissante sur \([0\,;+\infty[\) | Elle change de sens de variation en \(0\). |
| La fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb{R}\) | Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\), mais pas sur \(\mathbb{R}^*\) en entier | Elle n'est pas définie en \(0\). Test : \(-1<1\) mais \(\dfrac{1}{-1}=-1<\dfrac{1}{1}=1\), l'ordre est conservé. |
Le réflexe qui sauve
Quand un doute surgit, teste avec des petits nombres (comme \(1\) et \(2\)). Un seul cas où l'égalité est fausse suffit à prouver qu'elle n'est pas toujours vraie.