1. Calcul numérique et algébrique

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Fractions

À savoir par cœur

Pour \(b, d \neq 0\) :

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \qquad \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \qquad \frac{\;\frac{a}{b}\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\ (c\neq 0)\]

Pour additionner, on met au même dénominateur. Pour simplifier, on divise le numérateur et le dénominateur par un facteur commun.

Puissances

À savoir par cœur

Pour \(a \neq 0\) et \(n, m\) entiers :

\[a^n \times a^m = a^{n+m} \qquad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \qquad (a^n)^m=a^{nm} \qquad (ab)^n=a^n b^n \qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n} \qquad a^0=1\]

Racines carrées

À savoir par cœur

Pour \(a \geq 0\) et \(b > 0\) :

\[\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad (\sqrt{a})^2=a \qquad \sqrt{a^2}=|a|\]

Quantité conjuguée : \((\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b\), ce qui permet d'écrire \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\).

Exemple

\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}\).

Pourcentages

À savoir par cœur

Une évolution de \(t\,\%\) correspond au coefficient multiplicateur \(1+\dfrac{t}{100}\).
Des évolutions successives se multiplient : \(CM_{\text{global}}=CM_1\times CM_2\).
L'évolution réciproque correspond à l'inverse du coefficient multiplicateur.

Exemple

Une hausse de \(20\,\%\) suivie d'une baisse de \(20\,\%\) : \(1{,}2\times 0{,}8=0{,}96\). Le résultat final est une baisse de \(4\,\%\), pas un retour au prix initial.

Développer et factoriser

À savoir par cœur

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Factoriser, c'est transformer une somme en produit : facteur commun ou identité remarquable lue « à l'envers ».

Exemple

\(9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5)\).

Équations et inéquations

À savoir par cœur

Produit nul : \(A\times B=0 \iff A=0\) ou \(B=0\).
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité.
Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Exemple

\(-3x+5\leq 11 \iff -3x\leq 6 \iff x\geq -2\), donc \(S=[-2\,;+\infty[\).

Tableau de signes

À savoir par cœur

Pour \(a \neq 0\), l'expression \(ax+b\) s'annule en \(-\dfrac{b}{a}\). Elle a le signe de \(a\) à droite de cette valeur et le signe contraire à gauche.

Exemple : signe de \((x+1)(2x-4)\)

\(x\)		\(-1\)		\(2\)
\(x+1\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(2x-4\)	\(-\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
Produit	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

Systèmes de deux équations

Exemple : résolution par combinaison

\[\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}\]

On additionne les deux équations : \(3x=9\), donc \(x=3\). Puis \(y=7-2\times 3=1\). Solution : \((3\,;1)\).

Isoler une variable

Exemple

Dans \(v=\dfrac{d}{t}\) avec \(v, t\neq 0\) : \(t=\dfrac{d}{v}\) et \(d=v\times t\).

Pièges

Attention

\((a+b)^2\neq a^2+b^2\) : il manque le double produit \(2ab\).
Un signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur : \(-(x-3)=-x+3\).
Dans une inéquation, ne pas oublier d'inverser le sens quand on divise par un nombre négatif.

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