NOMBRES COMPLEXES : Partie géométrique

1. Représentation géométrique

Définition

Le plan orienté est muni d'un repère orthonormal direct \((\mathrm{\text O}\mathrm ;\vec u\mathrm, \vec v)\) .

Soit \(z\) un nombre complexe dont la forme algébrique est \(a+ib\).

L'unique point \(M\) du plan de coordonnées cartésiennes \((a;b)\) est appelé image de \(z\). On note \(M(z)\).

Soit \(M\) un point du plan de coordonnées cartésiennes \((a;b)\) dans le repère \((\mathrm{\text O}\mathrm ;\vec u\mathrm ,\vec v)\) .

Le nombre complexe \(z=a+ib\) est appelé l'affixe du point \(M\).

Remarques

on peut résumer ceci par :

\(M\) est l'image de \(z\) \(\Leftrightarrow\) \(z\) est l'affixe de \(M\). De la même manière que l'on identifie une droite orientée à l'ensemble des réels, on peut identifier le plan muni d'un repère orthonormé direct à l'ensemble \(\mathbb{C}\). Ce plan sera d'ailleurs parfois appelé plan complexe.

Définition

Soit \(\vec w\)  un vecteur du plan complexe de coordonnées \((a;b)\).

Le nombre complexe \(z=a+ib\)  est appelé affixe du vecteur \(\vec w\).

Propriété

\(z\) et \(z'\) sont deux nombres complexes d'images respectives \(M\) et \(M'\).

L'image du nombre complexe \(-z\) est le point \(M_1\) symétrique de \(M\) par rapport à \(0\).

L'image du nombre complexe \(z + z'\) est le point \(M_2\) tel que \(OM'M_2M\) est un parallélogramme.

Le nombre complexe \(z'-z\) est l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{\text{MM'}}\).

Le point \(M''\) d'affixe \(\overline z\)  est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des abscisses.

Preuve

il suffit d'écrire les coordonnées cartésiennes.

2. Module d'un nombre complexe

Définition

Propriété

Soit \(z\) un nombre complexe. Soit \(M\) le point d'affixe \(z\).

On appelle module de \(z\) la distance \(OM\). On note \(\left|z\right|.\)

Si la forme algébrique de \(z\) est \(a+ib\), on a \(\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}\) .

Preuve

Cela découle directement de la définition d'affixe et de module.  En effet si \(M\) a pour affixe \(z\) alors \(M\) a pour coordonnées cartésiennes \((a; b)\) et donc, dans un repère orthonormé, on a \({OM}^2 =a^2+b^2\).

Remarques

si le nombre complexe \(z\) est un réel \(a\) alors son module est défini comme la valeur absolue de \(a\). Le module est donc le prolongement de la notion de valeur absolue, définie sur \(\mathbb{R}\), à l'ensemble des nombres complexes. D'où l'utilisation du même symbole.

Propriétés du module d'un nombre complexe

Propriété

Pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\) on a :

1. \(\left|z\right|=0\)  \(\Leftrightarrow\) \(z=0\)            

2. \(\left|z\right|=\left|\overline z\right|=\left|-z\right|=\left|-\overline z\right|\)                  

3. \(\left|\mathit{zz}'\right|=\left|z\right|\left|z'\right|\)             

4. si \(z\) \({\neq}\) 0 \(\left|\dfrac 1 z\right|=\dfrac 1{\left|z\right|}\)           

5. si \(z'\) \({\neq}\) 0 \(\left|\dfrac z{z'}\right|=\dfrac{\left|z\right|}{\left|z'\right|}\)                
6. Pour tout entier relatif \(n\), \(\left|z^n\right|=\left|z\right|^n\) .

Preuve

(1) \(\left|z\right|=0\)  \(\Leftrightarrow\) \(\left|z\right|^2=0\)  \(\Leftrightarrow\) \(z\overline z=0\) \(\Leftrightarrow\) \(z=0\)  ou \(\overline z=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(z=0\) .

(2) D'une part \(\left|z\right|^2=z\overline z\)  d'autre part \(\left|\overline z\right|^2=\overline z\overline{\overline z}=z\overline z\)  car \(\overline{\overline z}=z\) .

De plus \(\left|-z\right|^2=(-z)\overline{(-z)}=(-1)z\overline{-1}\overline z=(-1)(-1)z\overline z=\left|z\overline z\right|^2\)  car \(-1{\in}\mathbb{R}\) donc \(\overline{-1}=-1\) .

On a donc \(\left|z\right|^2=\left|\overline z\right|^2=\left|-z\right|^2\)  or \(\left|z\right|\)  , \(\left|\overline z\right|\)  et \(\left|-z\right|\)  sont des réels positifs donc \(\left|z\right|\) = \(\left|\overline z\right|\) = \(\left|-z\right|\).

Puisque \(\left|z\right|\) = \(\left|-z\right|\) on déduit \(\left|\overline z\right|\) = \(\left|-\overline z\right|\).

(3) \(\left|\mathit{zz}'\right|^2=\mathit{zz}'\overline{\mathit{zz}'}=\mathit{zz}'\overline z\overline{z'}=z\overline zz'\overline{z'}=\left|z\right|^2\left|z'\right|^2\)  et comme \(\left|\mathit{zz}'\right|\)  et \(\left|z\right|\left|z'\right|\)  sont positifs on a \(\left|\mathit{zz'}\right|=\left|z\right|\left|z'\right|\)

(4) on utilise le même procédé que pour (3)

(5) c'est une conséquence directe de (3) et (4).

(6) \(\left|z^n\right|^2=(z^n)\overline{(z^n)}=z^n\overline z^n=\left(z\overline z\right)^n=(\left|z\right|^2)^n=(\left|z\right|^n)^2\)  et comme \(\left|z^n\right|\)  et \(\left|z\right|^n\)  sont des nombres positifs \(\left|z^n\right|\) = \(\left|z\right|^n\).

Propriété

Pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\) on a \(\left|z+z'\right|\leqslant \left|z\right|+\left|z'\right|\).

Remarques

Cette propriété est connue sous le nom d'inégalité triangulaire.

Exercice :

À l'aide de l'inégalité triangulaire sur les triangles, vue en quatrième, démontrer la propriété précédente.

3. Argument d'un nombre complexe

Définition

Définition

soit \(z\) un nombre complexe non nul et \(M\) le point, du plan complexe, d'affixe \(z\).

On appelle argument de \(z\) une mesure en radian de l'angle \((\overrightarrow u,\overrightarrow{\text{OM}})\) . On note \(\arg(z)\).

Remarques

l'argument d'un nombre complexe est défini modulo \(2\pi\) .

Tout nombre complexe non nul a donc une infinité d'arguments et 0 n'a pas d'argument.

On écrit \(\arg(z) \equiv \theta \pod{2\pi}\)

Exemple :

Soient A, B, C et D d'affixes respectives \(\dfrac 3 2\) , \(-4\) , \(3\text i\) , \(-2\text i\) .

On a \((\overrightarrow u,\overrightarrow{\text{OA}})=0\pod{2\pi}\) donc  \(\arg \left( \dfrac 3 2 \right)=0 \pod{2\pi}\)  

\((\overrightarrow u,\overrightarrow{\text{OB}})=\pi \pod{2\pi}\) donc  \(\arg(-4)=\pi \pod{2\pi}\)

\((\overrightarrow u,\overrightarrow{\text{OC}})=\dfrac{\pi } 2\pod{2\pi}\) donc  \(\arg(3\text i)=\dfrac{\pi } 2\pod{2\pi}\)

\((\overrightarrow u,\overrightarrow{\text{OD}})=\dfrac{3\pi } 2\pod{2\pi}\) donc  \(\arg(-2\text i)=\dfrac{3\pi } 2\pod{2\pi}\) .

Forme trigonométrique

Propriété

Soit \(z\)  un nombre complexe non nul dont la forme algébrique est \(a + ib\) et \(\theta\)  un argument de \(z\) .

Alors \(a=\left|z\right|\cos \theta\)  et \(b=a=\left|z\right|\sin \theta\).

Idée : On remarque que le couple \((\left|z\right|\mathrm ;\theta )\) permet de placer un point \(\text M\)  d'affixe \(z\)  dans le repère de centre \(O\) et dont un des vecteurs de la base est \(\vec u\) . Or \(z\)  a pour coordonnées cartésiennes \((a\mathrm ;b)\) .

Grâce à la trigonométrie de troisième on obtient: \(a=\left|z\right|\cos\theta\)  et \(b=\left|z\right|\cos\theta\) .

Propriété

Tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous la forme :

\(z=\left|z\right|(\cos \theta +\text i\sin \theta )\)  où \(\theta\) est un argument de \(z\) .

Cette écriture est appelée forme trigonométrique de \(z\) .

Preuve

C'est une conséquence immédiate de la propriété ci-dessus.

Propriété

Soit \(z\) un nombre complexe non nul.

Si \(z\) s'écrit sous la forme \(z=r(\cos \theta +\text i\sin \theta )\)  où \(r\) est un réel strictement positif et \(\theta\)  un réel,

Alors \(\left|z\right|=r\) et \(\theta =\arg(z)\pod{2\pi}\) .

Preuve

\(z=r(\cos \theta +\text i\sin \theta )\)  donc \(\left|z\right|=\left|r\right|\left|\cos\theta +\text i\sin \theta \right|\)  or \(\left|\cos \theta +\text i\sin \theta \right|=\sqrt{\cos ^2\theta +\sin^2\theta }=1\) .

Donc \(\left|z\right|=\left|r\right|=r\)  car \(r\) est strictement positif.

Soit \(\alpha\) un argument de \(z\)  on a donc \(r(\cos \theta +\text i\sin \theta )=r(\cos \alpha +\text i\sin \alpha)\) . Par unicité de l'écriture sous forme algébrique on a \(\cos \theta =\cos \alpha\)  et \(\sin \theta =\sin \alpha\)  d'où \(\theta =\alpha \pod{2\pi}\) . Ce qui prouve que \(\theta\)  est un argument de \(z\) .

Remarques

\(z=4\left(\cos \frac{\pi } 5+\text i\sin \frac{\pi } 5\right)\)  est la forme trigonométrique du nombre complexe de module 4 et d'argument \(\frac{\pi } 5\)  . Mais l'écriture \(-2\left(\cos \frac{\pi } 4+\text i\sin \frac{\pi } 4\right)\)  n'est pas une forme trigonométrique car \(-2<0\).

Exercice :

Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe \(-2\left(\cos \frac{\pi } 4+\text i\sin \frac{\pi } 4\right)\)

Propriété

Soient \(z\) et \(z'\) deux nombres complexes. \(z=z' \Leftrightarrow \left|z\right|=\left|z'\right|\)  et \(\arg(z) \equiv \arg(z')\pod{2\pi}\) .

Preuve

il est immédiat que si \(z=z'\)  alors \(\left|z\right|=\left|z'\right|\)  et \(\arg(z) \equiv \arg(z')\pod{2\pi}\) .

Réciproquement supposons que \(\left|z\right|=\left|z'\right|\)  et \(\arg(z) \equiv \arg(z')\pod{2\pi}\) .

Si \(\theta\)  est un argument de \(z\)  et \(\theta '\)  un argument de \(z'\) alors \(z=\left|z\right|(\cos \theta +\text i\sin \theta )\)  et \(z'=\left|\theta'\right|(\cos \theta '+\text i\sin \theta ')\)  . Donc \(z=z'\)  par unicité de l'écriture sous la forme algébrique.

Propriétés de l'argument d'un nombre complexe.

Propriété

Pour tout nombre complexe \(z\) non nul, on a :

\(1\) \(\arg\left(\overline z\right) \equiv -\arg(z)\pod{2\pi}\) .

\(2\) \(\arg(-z) \equiv \arg(z)+\pi \pod{2\pi}\) .

\(3\) \(z\)  réel \(\Leftrightarrow\) \(\arg(z)\equiv 0 \pod{\pi}\) .

\(4\) \(z\)  imaginaire pur \(\Leftrightarrow\) \(\arg(z)\equiv \frac{\pi } 2 \pod{\pi}\) .

Remarques

là encore on a une caractérisation des réels et des imaginaires purs.

Exercice :

Démontrer les quatre assertions de la propriété précédente.

Propriété

Pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\) non nuls, \(\arg(\mathit{zz}') \equiv \arg(z)+\arg(z')\pod{2\pi}\).

Preuve

\(z\) et \(z'\) sont deux nombres complexes non nuls. On peut écrire :

\(z=\left|z\right|(\cos\theta+\text i\text{sin}\theta)\) et \(z'=\left|z'\right|(\cos \theta'+\text i\sin \theta')\) . On a donc \(\mathit{zz}'=(\left|z\right|(\cos \theta +\text i\sin \theta))(\left|z'\right|(\cos \theta '+\text i\sin \theta '))\) .

Or \((\cos \theta +\text i\sin \theta )(\cos \theta '+\text i\sin \theta ')=\cos \theta \cos \theta '-\sin \theta \sin \theta'+\text i(\sin \theta \cos \theta '+\cos \theta \sin \theta')\) = \(\cos (\theta +\theta ')+\text i\sin (\theta +\theta ')\)  d'après les formules d'additions vues en première. D'où le résultat.

Remarques

En égalant les parties réelles et imaginaires des écritures sous forme algébrique et trigonométrique du produit \(zz'\) on retrouve les formules d'addition du cosinus et du sinus.

Propriété

Pour tous nombres complexes \(z\)  et \(z'\)  non nuls, on a:

\(1\) \(\arg\left(\dfrac 1 z\right) \equiv -\arg(z)\pod{2\pi}\).

\(2\) \(\arg\left(\dfrac z{z'}\right) \equiv \arg(z)-\arg(z')\pod{2\pi}\).

\(3\) Pour tout entier relatif \(n\), \(\arg(z^n) \equiv n\arg(z)\pod{2\pi}\)  .

Preuve

(1) on écrit \(1=\mathit{z} \times \dfrac 1 z\)  on a donc \(\arg(1)\equiv\arg(z)+\arg\left(\dfrac 1 z\right)\pod{2\pi}\).

Or \(1\) est un réel donc \(\arg(1)\equiv0\pod{2\pi}\)  d'où \(0 \equiv \arg(z)+\arg\left(\dfrac 1 z\right)\pod{2\pi}\) c'est à dire \(\arg\left(\dfrac 1 z\right) \equiv -\arg(z)\pod{2\pi}\).

(2) Ceci découle directement des propriétés sur l'argument d'un produit de deux nombres complexes et sur l'argument de l'inverse.

(3) On montre par récurrence que si n est un entier naturel \(\arg(z^n) \equiv n\arg(z)\pod{2\pi}\) .

Si \(n\) est un entier relatif strictement négatif on pose \(n=-m\)  avec \(m\)  un entier naturel.

Donc \(z^n=z^{-m}=\frac 1{z^m}\) . On en déduit que \(\arg(z^n) \equiv -\arg(z^m)\pod{2\pi}\)  or \(\arg(z^m) \equiv m\arg(z)\pod{2\pi}\) .

Donc \(\arg(z^n) \equiv -m\arg(z)\pod{2\pi}\) c'est-à-dire \(\arg(z^n) \equiv n\arg(z)\pod{2\pi}\).

La propriété est donc vraie pour tout entier relatif \(n\).

Exercice :

Déterminer une forme trigonométrique de \(\dfrac 1{1+\text i}\) .

Exercice :

Déterminer une forme trigonométrique de \((1+\text i)\left(\dfrac{\sqrt 3+\text i} 4\right)\) .

En déduire la valeur exacte de \(\cos \frac{5\pi }{12}\)  et \(\sin \frac{5\pi }{12}\) .

Exercice :

Calculer \((1+\text i\sqrt 3)^5\)

4. Forme exponentielle d'un nombre complexe

Définition

C'est parce que la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(\alpha )=\cos \alpha +\text i\sin \alpha\)  vérifie :

\(f(\alpha +\alpha ')=f(\alpha ).f(\alpha ')\) et \(f'(\alpha )=\text if(\alpha )\)  que l'on pose la définition suivante :

Définition

Pour tout réel \(\theta\), on pose \(\text e^{\text i\theta }=\cos \theta +\text i\sin \theta\) .

Exercice :

Montrer que \(e^{2\text i\pi }=1\) , \(\text e^{\text i\pi }=-1\), \(\text e^{\text i\frac{\pi } 2}=\text i\)  et \(\text e^{\text i\frac{3\pi } 2}=-\text i\) .

Propriété

Pour tous réels \(\theta\) et \(\theta'\) on a :

\(\text e^{\text i\theta }\text e^{\text i\theta '}=\text e^{\text i(\theta +\theta ')}\)          \(\dfrac 1{\text e^{\text i\theta }}=\text e^{-\text i\theta }\)

\(\dfrac{\text e^{\text i\theta }}{\text e^{\text i\theta'}}=\text e^{\text i(\theta -\theta ')}\)        

Pour tout entier relatif \(n\), \((\text e^{\text i\theta})^n=\text e^{ni\theta }\) .

Preuve

Cela résulte immédiatement des propriétés des arguments.

Propriété

Tout nombre complexe \(z\) peut s'écrire sous la forme \(z=\left|z\right|\text e^{\text i\theta }\)  où \(\theta\) est un argument de \(z\) . Une telle écriture est appelée forme exponentielle de \(z\) .

Preuve

Ce n'est qu'une réécriture de la forme trigonométrique.

Remarque

L'intérêt de la forme exponentielle est de simplifier les calculs puisque nous allons voir que l'on peut calculer avec la forme exponentielle comme avec les puissances.

Propriété

Soit \(z\) un nombre complexe non nul.

Si \(z\) s'écrit sous la forme \(z=r\text e^{\text i\theta }\)  avec \(r\)  un réel strictement positif et \(\theta\)  un réel,

Alors \(\left|z\right|=r\)  et \(\theta \equiv \arg{z}\pod{2\pi}\) .

Remarques

Si \(r\)  est négatif l'écriture \(z=r\text e^{\text i\theta }\)  n'est pas une forme exponentielle.

Règles de calcul

Propriété

\(r\) et \(r'\) sont deux réels strictement positifs et \(\theta\) et \(\theta'\) deux réels:

\(r\text e^{\text i\theta }.r'\text e^{\text i\theta '}=\mathit{rr}'\text e^{\text i(\theta +\theta ')}\)

\(\dfrac{r\text e^{\text i\theta }}{r'\text e^{\text i\theta '}}=\dfrac r{r'}\text e^{\text i(\theta-\theta ')}\)

\(\overline{r\text e^{\text i\theta }}=r\text e^{-\text i\theta }\)

\(r\text e^{\text i\theta }=r'\text e^{\text i\theta '} \Leftrightarrow r=r'\) et \(\theta =\theta '\pmod{2\pi}\)  .

Preuve

Immédiat.

Formule de Moivre

Pour tout réel \(\theta\) et tout entier \(n\), \((\cos \theta +\text i\sin \theta )^n=\cos (n\theta )+\text i\sin (n\theta)\).

Preuve

il suffit d'écrire la forme exponentielle \((\cos \theta +\text i\sin \theta )^n=(\text e^{\text i\theta })^n=\text e^{n\text i\theta }=\cos (n\theta )+\text i\sin (n\theta)\)

Formule d'Euler

Pour tout réel \(\theta\), \(\cos \theta =\dfrac{\text e^{\text i\theta }+\text e^{-\text i\theta }} 2\) et \(\sin \theta =\dfrac{\text e^{\text i\theta }-\text e^{-\text i\theta }}{2\text i}\).

Preuve

\(\text e^{\text i\theta }=\cos \theta +\text i\sin \theta\) et \(\text e^{-\text i\theta}=\cos \theta -\text i\sin \theta\)  puis il suffit d'écrire.

Remarques

Cette dernière formule nous servira à linéariser des fonctions du type \(\cos^n{x}\) et \(\sin^n{x}\).