Exemple de petit devoir de mathématiques : Suites et Limites

Durée : 30 minutes

Nom : ............................ Prénom : ............................

Exercice 1 : Variations (3 points)

Déterminer les variations des suites suivantes. Justifier vos réponses.

\(u_n = \dfrac{n}{n + 1}\)

Corrigé

L'écriture sous forme de fraction rationnelle permet de montrer que la suite est croissante. En effet, on a :

\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{n+1}{n+2}}{\dfrac{n}{n+1}} = \dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)} = \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 2n} = 1 + \dfrac{1}{n^2 + 2n} > 1\).

Comme \(u_n>0\) pour tout entier naturel \(n\), on en déduit que la suite \((u_n)\) est croissante.
\(v_{n+1} = 9v_n avec v_0 = -1\)

Corrigé

La suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(9\) et de premier terme \(v_0 = -1\).

Comme la raison est strictement positive, le signe de la suite est constant. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a \(v_n < 0\).

De plus, comme la raison est strictement supérieure à \(1\), la suite \((v_n)\) est décroissante.
\(w_n = \dfrac{2^n}{n}\)

Corrigé

On a \(w_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1} = \dfrac{2 \times 2^n}{n+1}\).

Ainsi, on obtient :

\(\dfrac{w_{n+1}}{w_n} = \dfrac{\dfrac{2 \times 2^n}{n+1}}{\dfrac{2^n}{n}} = \dfrac{2n}{n+1} = 2 - \dfrac{2}{n+1}\).

Comme \(2 - \dfrac{2}{n+1} > 1\) pour tout entier naturel \(n\), on en déduit que la suite \((w_n)\) est croissante.

Exercice 2 : Représentation graphique d'une suite définie par récurrence (5 points)

Le 1er septembre 2015, un ensemble scolaire compte 3 000 élèves.

Une étude statistique interne a montré que chaque 1er septembre :

10 % de l'effectif quitte l'établissement ;
250 nouveaux élèves s'inscrivent.

On cherche à modéliser cette situation par une suite (un) où, pour tout entier naturel \(n\), un représente le nombre d'élèves le 1er septembre de l'année \(2015 +n\).

Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite (un) telle que \(u_0 =3000\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} =0,9u_n +250\).

Corrigé

Le 1er septembre 2015, l'ensemble scolaire compte \(u_0 = 3000\) élèves.

Chaque année, \(10\%\) de l'effectif quitte l'établissement. Ainsi, le nombre d'élèves restant dans l'établissement est \(0,9u_n\).

De plus, \(250\) nouveaux élèves s'inscrivent chaque année. Ainsi, le nombre d'élèves le 1er septembre de l'année suivante est :

\[u_{n+1} = 0,9u_n + 250.\]
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n = u_n - 2500\).

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison 0,9. Préciser \(v_0\).

b. Exprimer, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n\) en fonction de \(n\).

En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n =500 \times 0,9^n +2500\).

Corrigé

a. On a \(v_{n+1} = u_{n+1} - 2500 = 0,9u_n + 250 - 2500 = 0,9u_n - 2250\).

De plus, on a \(v_n = u_n - 2500\), donc \(u_n = v_n + 2500\).

Ainsi, on obtient :

\[v_{n+1} = 0,9(v_n + 2500) - 2250 = 0,9v_n + 2250 - 2250 = 0,9v_n.\]

Ainsi, la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=0,9\).

De plus, on a \(v_0 = u_0 - 2500 = 3000 - 2500 = 500\).

b. Comme \((v_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(v_0=500\) et de raison \(q=0,9\), on a pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_n = v_0 \times q^n = 500 \times (0,9)^n.\]

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u_n = v_n + 2500 = 500 \times (0,9)^n + 2500.\]
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-u_n =-50 \times 0,9^n\).

En déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\).

Corrigé

Pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u_{n+1}-u_n = (500 \times 0,9^{n+1} + 2500) - (500 \times 0,9^n + 2500) = 500 \times 0,9^{n+1} - 500 \times 0,9^n.\]

Ainsi, on obtient :

\[u_{n+1}-u_n = 500 \times 0,9^n \times (0,9 - 1) = -50 \times 0,9^n.\]

Comme \(-50 \times 0,9^n < 0\) pour tout entier naturel \(n\), on en déduit que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
La capacité optimale d'accueil est de 2 800 élèves. Ainsi, au 1er septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.

On souhaite déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

On considère la fonction Python suivante :
```
def seuil():
    n = 0
    u = 3000
    while u > ...... :
        n = ......
        u = ......
    return ......
```
a. Recopier et compléter cette fonction pour qu'elle renvoie la valeur de l'année à partir de laquelle l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

b. Quelle valeur renvoie l'appel seuil() ? En déduire l'année cherchée.
Corrigé

a. La fonction seuil() doit renvoyer l'année à partir de laquelle l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif, c'est-à-dire lorsque le nombre d'élèves \(u\) sera inférieur ou égal à \(2800\).

Ainsi, on complète la fonction comme suit :
```
def seuil():
    n = 0
    u = 3000
    while u > 2800:
        n = n + 1
        u = 0.9 * u + 250
    return n
```
b. L'appel seuil() renvoie la valeur de \(n\) telle que \(u_n \leq 2800\). En exécutant cette fonction, on trouve que la valeur renvoyée est \(n = 4\).

Ainsi, à partir de l'année \(2015 + 4 = 2019\), l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

Exercice 3 : Limites de suites (3 points)

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, si elle existe. Justifier vos réponses.

\(u_n = n^2 - 2n + 5\)

Corrigé

C'est une forme indéterminée du type \(\infty - \infty\). On peut factoriser par \(n^2\) :

\[u_n = n^2 - 2n + 5 = n^2 \left(1 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{5}{n^2}\right).\]

Ainsi, on obtient :

\(\lim_{n \to +\infty}n^2 = +\infty\) et \(\lim_{n \to +\infty}\left(1 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{5}{n^2}\right) = 1\).

Par produit, on a donc :

\[\lim_{n \to +\infty}u_n = +\infty.\]
\(v_n = \dfrac{n^4-3n+9}{n^5-1}\)

Corrigé

C'est une forme indéterminée du type \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On peut factoriser par \(n^5\) :

\[v_n = \dfrac{n^4-3n+9}{n^5-1} = \dfrac{\dfrac{n^4}{n^5}-\dfrac{3n}{n^5}+\dfrac{9}{n^5}}{\dfrac{n^5}{n^5}-\dfrac{1}{n^5}} = \dfrac{\dfrac{1}{n}-\dfrac{3}{n^4}+\dfrac{9}{n^5}}{1-\dfrac{1}{n^5}}.\]

Ainsi, on obtient :

\(\lim_{n \to +\infty}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{3}{n^4}+\dfrac{9}{n^5}\right) = 0\) et \(\lim_{n \to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{n^5}\right) = 1\).

Par quotient, on a donc :

\[\lim_{n \to +\infty}v_n = 0.\]
\(w_n = n^2-\sin(n)\)

Corrigé

On a \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1\) pour tout entier naturel \(n\).

Ainsi, on obtient :

\[n^2 - 1 \leqslant n^2 - \sin(n) \leqslant n^2 + 1.\]

Comme \(\lim_{n \to +\infty}(n^2 - 1) = +\infty\), on en déduit par le théorème de comparaison que :

\[\lim_{n \to +\infty}w_n = +\infty.\]