Exercices : Limites de Suites

Thèmes d'étude

Modèles d'évolution
Modèles définis par une fonction d'une variable
Comportement global d'une suite

Exercice 1-1 : Vrai ou faux

Une suite est toujours soit croissante, soit décroissante.
Une suite peut être à la fois croissante et décroissante.
Si $\left( u_n \right)$ est décroissante, alors $u_0 \geqslant u_1 \geqslant u_2 \geqslant u_3 \geqslant u_4$.
Si $u_0 \geqslant u_1 \geqslant u_2 \geqslant u_3 \geqslant u_4$, alors $\left( u_n \right)$ est décroissante.
Si $\left( u_n \right)$ est de signe constant, alors $\left( u_n \right)$ est monotone.
Si pour tout entier $n$, $0 < u_n \leqslant 4$, alors :

a. $\left( u_n \right)$ est minorée par 4.

b. $\left( u_n \right)$ est minorée par 0.

c. $\left( u_n \right)$ est minorée par 1.

d. 5 est un majorant de $\left( u_n \right)$.

e. $\left( u_n \right)$ est bornée.

f. $\left( u_n \right)$ admet une infinité de majorants.
Une suite est toujours soit minorée, soit majorée.
Un majorant d'une suite est toujours un terme de la suite.
Une suite croissante est toujours minorée.
Une suite minorée est toujours croissante.
Une suite croissante n'est pas majorée.
Si pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant n+1$ :

a. $\left( u_n \right)$ est minorée.

b. $\left( u_n \right)$ est majorée.

c. $\left( u_n \right)$ est monotone.
Soit une suite $\left( u_n \right)$ et la fonction $f$ telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = f(n)$ :

a. Si $\left( u_n \right)$ est croissante, alors $f$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$.

b. Si $f$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$, alors $\left( u_n \right)$ est croissante.

c. Si $f$ est bornée sur $\mathbb{R}^+$, alors $\left( u_n \right)$ est bornée.

d. Si $\left( u_n \right)$ est bornée, alors $f$ est bornée sur $\mathbb{R}^+$.
Une suite décroissante peut avoir une limite égale à 100.
On peut déterminer le signe de la dérivée d'une suite $\left( u_n \right)$ pour déterminer les variations de $\left( u_n \right)$.

Exercice 1-2 : Déterminer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$

Dans chaque cas, déterminer une formule de récurrence de la suite.

Chaque terme est égal au triple du terme précédent.
La somme de deux termes consécutifs est toujours égale à 5.
Chaque terme est une augmentation de 20% du terme précédent.
$u_{n+1} = f(u_n)$ où $f(x) = \dfrac{3x + 5}{4x + 1}$.
$u_n = 7^{n-3}$.
$u_n = 2n - 5$.
$u_n = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$.
$u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
$u_n = n \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
$u_0 = 8$, $u_1 = 10$, $u_2 = 13$, $u_3 = 17$, $u_4 = 22$, $\ldots$.
$u_n = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2$.
$u_0 = 1$, $u_1 = 5$, $u_2 = 21$, $u_3 = 85$, $\ldots$.

Exercice 1-3 : Étudier la monotonie

Dans chaque cas, étudier la monotonie de la suite $\{u_n\}$.

$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + n^2 - 3n + 5$.
$u_0 = 5$ et $u_{n+1} = u_n - 2n$.
$u_n = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$.
$u_n = \dfrac{n^2}{3^n}$.
$u_n = n^3 - 12n^2 + 45n$ (Aide : étudier une fonction).
$u_n = \dfrac{n^3 - 4}{n^2 + 1}$ (Aide : étudier une fonction).
$(u_n)$ est la suite des coefficients directeurs des droites $d_n$ d'équation $3x - ny + 5n = 0$.

Exercice 1-4 : Représenter graphiquement une suite définie par récurrence

Dans chaque cas, on considère la fonction $f$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

À l'aide de la droite $d: y = x$, représenter les premiers termes de la suite sur les axes, puis conjecturer le comportement de la suite (variations et limites éventuelles).

$u_0 = -1,5$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

\tikzset{
grille/.style={gray!25,very thin},
axe/.style={-{Latex[length=2.5mm]}, thick},
courbe/.style={thick, blue!70!black}
}

\begin{tikzpicture}

% grille
\draw[grille] (-3,-1) grid[step=0.5] (4,3);

% axes
\draw[axe] (-3,0) -- (4,0) node[below left]{};
\draw[axe] (0,-1) -- (0,3);
\foreach \x in {-2,-1,1,2,3} \draw (\x,-0.05)--(\x,0.05) node[below=2pt,pos=0]{\x};
\foreach \y in {1,2,3} \draw (-0.05,\y)--(0.05,\y) node[left=2pt,pos=0]{\y};
\node[below left] at (0,0) {$0$};

% courbe : f(x) = sqrt(x+2) sur [-2;3]
\draw[courbe, domain=-2:3, samples=100, smooth] plot (\x,{sqrt(\x+2)});
\node[courbe] at (3.2,2.4) {$f(x)=\sqrt{x+2}$};

\end{tikzpicture}

$u_0 = 1,5$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

\tikzset{
grille/.style={gray!25,very thin},
axe/.style={-{Latex[length=2.5mm]}, thick},
courbe/.style={thick, blue!70!black}
}
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize, x=0.9cm, y=0.9cm]

% grille
\draw[grille] (-1,-2) grid[step=1] (7,12);

% axes
\draw[axe] (-1,0) -- (7,0);
\draw[axe] (0,-2) -- (0,12);
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6} \draw (\x,-0.1)--(\x,0.1) node[below=2pt,pos=0]{\x};
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} \draw (-0.1,\y)--(0.1,\y) node[left=2pt,pos=0]{\y};
\node[below left] at (0,0) {$0$};

% courbe : f(x) = 2x-1 sur [0;6]
\draw[courbe, domain=0:6, samples=2] plot (\x,{2*\x-1});
\node[courbe] at (4.3,10.7) {$f(x)=2x-1$};

\end{tikzpicture}

$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{u_n + 0.5}$.

\tikzset{
grille/.style={gray!25,very thin},
axe/.style={-{Latex[length=2.5mm]}, thick},
courbe/.style={thick, blue!70!black}
}

\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize, x=2.6cm, y=2.6cm]

% grille
\draw[grille] (-0.5,-0.5) grid[step=0.25] (3,2.5);

% axes
\draw[axe] (-0.5,0) -- (3,0);
\draw[axe] (0,-0.5) -- (0,2.5);
\foreach \x in {0.5,1,1.5,2,2.5} \draw (\x,-0.02)--(\x,0.02) node[below=2pt,pos=0]{\x};
\foreach \y in {0.5,1,1.5,2} \draw (-0.02,\y)--(0.02,\y) node[left=2pt,pos=0]{\y};
\node[below left] at (0,0) {$0$};

% courbe : f(x) = 1/(x+0.5) sur [0;2.5]
\draw[courbe, domain=0:2.5, samples=100, smooth] plot (\x,{1/(\x+0.5)});
\node[courbe] at (1.9,1.9) {$f(x)=\dfrac{1}{x+0.5}$};

\end{tikzpicture}

Limites de suites : les différents cas possibles

Exercice 1-5 : Vrai ou faux

Si l'intervalle $[2,999; 3,001]$ contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang, alors $\lim\limits_{n\to \infty}u_n = 3$.
Si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang, alors $(u_n)$ converge vers $L$.
Si tout intervalle de la forme $[A; +\infty[$, où $A \in \mathbb{R}$, contient au moins un terme $u_n$ avec $n \geqslant 100$, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
Si tout intervalle de la forme $]-\infty; B[$, où $B \in \mathbb{R}$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang, alors $(u_n)$ tend vers $-\infty$.
Si $(u_n)$ prend un nombre fini de valeurs, alors $(u_n)$ converge.
Une suite peut avoir plusieurs limites.
Si une suite ne converge pas, alors sa limite est $+\infty$ ou $-\infty$.

Exercice 1-6 : Suite positive à partir d'un certain rang

Montrer que toute suite qui converge vers $0,1$ (zéro virgule un) est strictement positive à partir d'un certain rang.

Opérations sur les limites

Exercice 1-7 : Utiliser les opérations sur les limites

Étudier dans chaque cas la convergence de la suite $(u_n)$.

$u_n = -2n^2 + \dfrac{e}{n}$.
$u_n = 300 - n^2\sqrt{2}$.
$u_n = \left(2 + \dfrac{3}{n}\right)\left(5 - \dfrac{1}{n^3}\right)$.
$u_n = \dfrac{1}{(2n + 1) - n^2 - 9}$.
$u_n = \dfrac{n + 2}{\dfrac{1}{\sqrt{n}} - 3}$.
$u_n = \dfrac{2 + \dfrac{3}{n}}{5 - \dfrac{2}{n^2}}$.
$u_n = \dfrac{5n^2}{10 - \left(2 + \dfrac{1}{n}\right)\left(5 + \dfrac{1}{n}\right)}$.

Exercice 1-8 : Lever une indétermination

Étudier dans chaque cas la convergence de la suite $ u_n|$.

$u_n = \dfrac{n^2}{5} - \dfrac{n^2}{2} - e$.
$u_n = \dfrac{1}{2}n^4 - 2n^3 + 5n^2 - \dfrac{1}{4}$.
$u_n = \dfrac{n^2 - 3n + 1}{n^2 + 4}$.
$u_n = \dfrac{9 - n^2}{(3n + 2)(2n + 1)}$.
$u_n = \sqrt{n} - n$.
$u_n = \dfrac{\sqrt{n}}{n + \sqrt{n}}$.
$u_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$.

Exercice 1-9 : Trouver des suites

Dans chacun des cas suivants, trouver deux suites $u$ et $v$ ayant pour limite $+\infty$ telles que :

a. $\lim\limits_{n\to +\infty}(u_n - v_n) = +\infty$.

b. $\lim\limits_{n\to +\infty}(u_n - v_n) = -\infty$.

c. $\lim\limits_{n\to +\infty}(u_n - v_n) = 1$.

d. $u - v$ n'a pas de limite.
Dans chacun des cas suivants, trouver deux suites $u$ et $v$ vérifiant $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = +\infty$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n = 0$, telles que :

a. $\lim\limits_{n\to +\infty} (u_n v_n) = +\infty$.

b. $\lim\limits_{n\to +\infty} (u_n v_n) = 0$.

c. $\lim\limits_{n\to +\infty} (u_n v_n) = 1$.

d. $uv$ n'a pas de limite.

Exercice 1-10 : Raisonnement par l'absurde

Soit $\left( u_n \right)$ et $\left( v_n \right)$ deux suites définies sur $\mathbb{N}$.

On suppose que $\left( u_n \right)$ est convergente et $\left( v_n \right)$ est divergente.

Soit $\left( w_n \right)$ la suite définie par $w_n = u_n + v_n$.

Montrer que la suite $\left( w_n \right)$ est divergente.
Soit $\left( u_n \right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = (-1)^n + \dfrac{1}{n^2 + 1}$.

Démontrer que $\left( u_n \right)$ est divergente.

Limites et comparaison

Exercice 1-11 : Théorème de comparaison ou d'encadrement

Étudier dans chaque cas la convergence de la suite $\left( u_n \right)$.

$u_n = \dfrac{3 \sin n}{n^2}$.
$u_n = \dfrac{3 + (-1)^n}{n^2 + \sqrt{n}}$.
$u_n = 3(-1)^n + n$.
$u_n = \dfrac{2\cos(n)}{n} + \dfrac{\sin(n)}{2n}$.
$u_n = \dfrac{5n + (-1)^{n+1}}{2n + (-1)^n}$.
$u_n = -3n^2 + 3\cos\left(\dfrac{1}{n}\right)$.

Exercice 1-12 : Passage à la limite

On considère la suite $(v_n)$ telle que pour tout entier naturel $n$, $v_n \leqslant \dfrac{-n+1}{n+4}$.

On suppose que la suite $\{\nu_n\}$ est convergente.

Montrer que $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n \leqslant -1$.

Limite d'une suite géométrique

Exercice 1-13 : Étudier la convergence

Étudier dans chaque cas la convergence de la suite $(u_n)$.

$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{4}$.
$u_n = 1.00001^n$.
$u_n = 3 + \left(\dfrac{11}{12}\right)^n$.
$u_n = \left(-\dfrac{8}{5}\right)^n$.
$u_n = \left(-\dfrac{1}{7}\right)^n + \left(\dfrac{11}{12}\right)^n$.
$u_n = \sum_{k=0}^{n} \left(\dfrac{3}{4}\right)^k$.
$u_n = \dfrac{(-1)^n}{3^n}$.
$u_n = \dfrac{e^n - 4^n}{4^n - 1}$.
$u_n = \dfrac{2^{n+1} + 5^{2n}}{5^{2n-3}}$.

Exercice 1-14 : Nombre rationnel

Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = 3,777\ldots$ ($n$ chiffres 7).

Montrer que la limite de $(u_n)$ est un nombre rationnel.
Montrer que $2,474747\ldots$ est un nombre rationnel.

Suites arithmético-géométriques et suites homographiques

Exercice 1-15

On considère la suite arithmético-géométrique $\left( u_n \right)$ définie par

\[ \left\{ \begin{array}{l} u_{n+1} = 0.5 u_n + 1.5 \\ u_0 = 1 \end{array} \right. \]

Représenter graphiquement les 4 premiers termes de la suite $\left( u_n \right)$.

\begin{tikzpicture}[x=1.5cm, y=1.5cm]
\draw[gray!30, very thin] (0,0) grid[step=1] (4,4);
\draw[-{Latex[length=2.5mm]}, thick] (-0.3,0) -- (4.5,0);
\draw[-{Latex[length=2.5mm]}, thick] (0,-0.3) -- (0,4.5);
\foreach \i in {1,2,3,4} {
\draw (\i,-0.05) -- (\i,0.05) node[below=2pt,pos=0]{\i};
\draw (-0.05,\i) -- (0.05,\i) node[left=2pt,pos=0]{\i};
}
\node[below left] at (0,0) {$0$};
\end{tikzpicture}

Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$

Compléter la fonction Python suivante pour qu’elle renvoie le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$.

def u(n):
    u= ...
    for i in range ( ... , ... ):
        u= ...
    return ...

En utilisant la fonction Python ci-dessus, retrouver le résultat conjecturé à la question 2.

Exercice 1-16 : Suite arithmético-géométrique

Soit la suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ par

\[ \left\{ \begin{array}{l} u_0 = 5 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n + 3 \end{array} \right. \]

a. Calculer $u_1$ et $u_2$.

b. La suite $u$ est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.
À l'aide de l'outil de votre choix (calculatrice, Python, tableur) :

a. Déterminer une valeur approchée de $u_{15}$ à $10^{-6}$ près.

b. Que remarque-t-on lorsque l'on soustrait $6$ à chaque terme de la suite $u$ ?
Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - 6$.

a. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.

b. Exprimer $v_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.

c. Retrouver alors $u_{15}$.
Calculer $S = \sum\limits_{i=0}^{20} v_i$ et $T = \sum\limits_{i=0}^{20} u_i$.
Compléter la fonction Python suivante pour qu'elle renvoie le terme de rang $n$ de la suite $\left( u_n \right)$ :
```
def u(n):
    u = ...
    for i in range(, , ):
        u =
    return
```
En utilisant la fonction Python ci-dessus, retrouver le résultat conjecturé à la question 2.

Exercice 1-17 : Suite homographique

Remarque :

Une suite homographique est une suite vérifiant une relation de récurrence du type

\[ u_{n+1} = \dfrac{a u_n + b}{c u_n + d} \quad \text{avec} \quad c \neq 0 \quad \text{et} \quad ad - bc \neq 0 \]

Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par

\[ \left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n} \end{array} \right. \]

Conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \dfrac{1}{u_n}$.

a. Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.

b. En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.

c. Justifier les conjectures de la question 1.
a. Compléter la fonction Python ci-dessous permettant de déterminer le plus petit indice $n$ tel que $u_n < 10^{-p}$ :
```
def seuil(p):
    u =
    n =
    while u >= 10**(
        u =
        n = n + 1
    return n
```
b. Utiliser cette fonction pour déterminer le plus petit indice $n$ tel que $u_n < 0,01$.

Exercice 1-18 : Suite homographique

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par

\[ \left\{ \begin{array}{l} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{4 + u_n} \end{array} \right. \]

et la suite $\{v_n\}$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 3}$.

a. Avec un tableau, on a obtenu le résultat suivant :

A B C

1 $n$ $u_n$ $v_n$

2 0 0 -0.33333333

3 1 0.75 -0.06666667

4 2 0.947368 -0.01333333

5 3 0.989362 -0.00266667

6 ... ... ...

Quelles formules ont été saisies dans les cellules B3 et C2, puis tirées vers le bas ?

b. Conjecturer la limite de la suite $\{u_n\}$.

c. En calculant quelques quotients $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$, conjecturer la nature de la suite $(v_n)$.
a. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant.

b. En déduire la nature de $(v_n)$, puis une expression de $v_n$ en fonction de $n$.

c. Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.

d. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = \dfrac{3 - 3\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{3 + \left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$.

Exercice 1-19 : Avec des listes

On considère les deux algorithmes suivants :

Algorithme A :

n = int(input("n="))
u = []
for i in range(0, n+1):
    u.append(2*i**2 - 3*i + 1)
print(u)

Algorithme B :

n = int(input("n="))
u0 = float(input("u0="))
u = [u0]
for i in range(1, n+1):
    u.append(2*u[i-1]**2 - 3*u[i-1] + 1)
print(u)

Déterminer le rôle de ces deux algorithmes.

Exercice 1-20 : Somme de termes consécutifs

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison $3,1$ et de premier terme $u_0 = 2,7$.

Pour calculer $S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$, on utilise la fonction incomplète écrite en Python ci-dessous :

```python
def somme1(n):
    U = 2.7
    S = ...
    for i in range(1, ....):
        U = U + 3.1
        S = ...
    return(...)
```

a. Compléter cette fonction.

b. Que saisir en ligne 8 ou dans la console pour obtenir la somme $S_{21}$ ?

On considère la fonction écrite en Python ci-dessous :
```
def somme2(u0, r, M):
    T = 0
    U = u0
    while U <= M:
        T = T + U
        U = U + r
    return(T)
```
À l'aide de ce programme, que saisir pour obtenir la somme $T = 10 + 13 + 16 + \ldots + 145$ ? Déterminer cette somme.

Exercice 1-21 : Algorithme de seuil – proportion de filles

Un concours scientifique est organisé depuis 2021. Les filles ne représentaient alors qu'un quart des participants.

Entre 2021 et 2025, on a constaté une augmentation moyenne annuelle de la proportion des filles participant à ce concours de 12 %.

On extrapole que la proportion de filles va continuer de progresser ainsi pendant 10 ans.

a. Quelle était la proportion de filles en 2022 ?

b. Pour tout entier naturel $n$, on note $p_n$ la proportion de filles de l'année $2021 + n$.

Pour $n < 10$, exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.

c. En déduire la nature de la suite $(p_n)$.

On considère la fonction Proporfilles écrite en Python ci-dessous :

def Proporfilles(t):
    p = 0.25
    n = 0
    while p < t:
        p = 1.12 * p
        n = n + 1
    return n + 2021

Quelle est la valeur de Proporfilles(0.5) ? Interpréter ce résultat.

	A	B	C
1	\(n\)	\(u_n\)	\(v_n\)
2	0	0	-0.33333333
3	1	0.75	-0.06666667
4	2	0.947368	-0.01333333
5	3	0.989362	-0.00266667
6	...	...	...