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Devoir de Maths d'entraînement de mathématiques

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Exercice 1 – Repère quelconque

On considère le repère \((O\,;\,I,\,J)\) suivant.

\begin{tikzpicture}[x={(1.5cm,0.54cm)}, y={(0.4cm,0.82cm)}]
  \foreach \i in {-3,-2,-1,0,1,2,3,4}{
    \draw[cyan!50] (\i,-2) -- (\i,4);
  }
  \foreach \j in {-2,-1,0,1,2,3,4}{
    \draw[cyan!50] (-3,\j) -- (4,\j);
  }
  \draw[thick] (-3.3,0) -- (4.3,0);
  \draw[thick] (0,-2.3) -- (0,4.3);
  \foreach \i in {-3,-2,-1,1,2,3,4}{
    \draw (\i,0)+(0,-0.07) -- +(0,0.07);
  }
  \foreach \j in {-2,-1,2,3,4}{
    \draw (0,\j)+(-0.07,0) -- +(0.07,0);
  }
  \fill (0,0) circle (1.5pt) node[below right] {O};
  \fill (1,0) circle (1.5pt) node[below right] {I};
  \fill (0,1) circle (1.5pt) node[left] {J};
  \draw (2,2) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[above right] {A};
  \draw (0,3) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[above left] {B};
  \draw (-1,1) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[above left] {C};
  \draw (-2,0) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[below left] {D};
\end{tikzpicture}

  1. Le repère \((O\,;\,I,\,J)\) est-il orthonormé ? orthogonal ?

    Corrigé
    • Le repère n'est pas orthonormĂ© car les axes ne sont pas perpendiculaires et les unitĂ©s ne sont pas Ă©gales.
    • Le repère n'est pas orthogonal car les axes ne sont pas perpendiculaires.

  2. Lire les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) dans le repère \((O\,;\,I,\,J)\).

    Corrigé
    • \(A(2\,;\,2)\)
    • \(B(0\,;\,3)\)
    • \(C(-1\,;\,1)\)
    • \(D(-2\,;\,0)\)

  3. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère \((O\,;\,I,\,B)\).

    Corrigé
    • \(A(2\,;\,-1)\)
    • \(B(0\,;\,1)\)
    • \(C(-1\,;\,0)\)
    • \(D(-2\,;\,-1)\)

  4. Déterminer les éventuels points qui possèdent les mêmes coordonnées dans ces deux repères.

    Corrigé
    • Le point \(C\) a les mĂŞmes coordonnĂ©es dans les deux repères : \(C(-1\,;\,1)\) et \(C(-1\,;\,0)\).

  5. Calculer les coordonnées du milieu de \([AB]\) dans chacun de ces deux repères.

    Corrigé
    • Dans le repère \((O\,;\,I,\,J)\) : \(M\left(\dfrac{2+0}{2}\,;\,\dfrac{2+3}{2}\right) = M(1\,;\,2,5)\)
    • Dans le repère \((O\,;\,I,\,B)\) : \(M\left(\dfrac{2+0}{2}\,;\,\dfrac{-1+1}{2}\right) = M(1\,;\,0)\)

Exercice 2 – Carré et parallélogramme

Dans le repère orthonormé \((O\,;\,I,\,J)\) ci-dessous, on considère le carré \(ABCD\) et le parallélogramme \(EFDC\).

\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
  \draw[cyan!40] (-5,-3) grid (7,7);
  \filldraw[fill=teal!25, draw=teal, thick] (-4,4) -- (-2,-1) -- (3,1) -- (1,6) -- cycle;
  \filldraw[fill=teal!25, draw=teal, thick] (6,-2) -- (4,3) -- (1,6) -- (3,1) -- cycle;
  \draw[->, thick] (-5,0) -- (7.3,0);
  \draw[->, thick] (0,-3) -- (0,7.3);
  \fill (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {O};
  \fill (1,0) circle (1.5pt) node[below] {I};
  \fill (0,1) circle (1.5pt) node[left] {J};
  \draw (-4,4) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[above left] {A};
  \draw (-2,-1) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[below] {B};
  \draw (3,1) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[above right] {C};
  \draw (1,6) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[above right] {D};
  \draw (6,-2) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[below right] {E};
  \draw (4,3) +(-3pt,0) -- +(3pt,0) +(0,-3pt) -- +(0,3pt) node[above right] {F};
\end{tikzpicture}

  1. Lire les coordonnées de tous les points.

    Corrigé
    • \(A(-4\,;\,4)\)
    • \(B(-2\,;\,-1)\)
    • \(C(3\,;\,1)\)
    • \(D(1\,;\,6)\)
    • \(E(6\,;\,-2)\)
    • \(F(4\,;\,3)\)

  2. Calculer les coordonnées du milieu \(K\) de \([AE]\).

    Corrigé
    • \(K\left(\dfrac{-4+6}{2}\,;\,\dfrac{4+(-2)}{2}\right) = K(1\,;\,1)\)

  3. Calculer les coordonnées du milieu \(L\) de \([BF]\).

    Corrigé
    • \(L\left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\,\dfrac{-1+3}{2}\right) = L(1\,;\,1)\)

  4. En déduire la nature du quadrilatère \(AFEB\).

    Corrigé
    • Le quadrilatère \(AFEB\) est un parallĂ©logramme.

  5. Que dire alors des droites \((AF)\) et \((BE)\) ?

    Corrigé
    • Les droites \((AF)\) et \((BE)\) sont parallèles.

Exercice 3 – Parallélogramme de centre \(O\)

Soient \(EFGH\) un parallélogramme de centre \(O\) et \((E\,;\,F,\,G)\) un repère orthogonal du plan.

  1. Faire une figure.

    Corrigé
    • On peut placer les points \(E\), \(F\) et \(G\) dans le repère, puis tracer le parallĂ©logramme \(EFGH\) en utilisant la propriĂ©tĂ© du centre de symĂ©trie.

  2. Donner les coordonnées des points \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\).

    Corrigé
    • Les coordonnĂ©es des points peuvent ĂŞtre choisies librement, par exemple :
      • \(E(1\,;\,2)\)
      • \(F(4\,;\,3)\)
      • \(G(2\,;\,5)\)
      • \(H(5\,;\,6)\) (calculĂ© Ă  partir de la propriĂ©tĂ© du parallĂ©logramme)

  3. Calculer les coordonnées de \(R\), symétrique de \(G\) par rapport à \(F\).

    Corrigé
    • \(R(4 + (4-2)\,;\,3 + (3-5)) = R(6\,;\,1)\)

  4. Calculer les coordonnées de \(S\), symétrique de \(H\) par rapport à \(G\).

    Corrigé
    • \(S(2 + (2-5)\,;\,5 + (5-6)) = S(-1\,;\,4)\)

  5. Calculer les coordonnées de \(T\), symétrique de \(O\) par rapport à \(G\).

    Corrigé
    • \(T(2 + (2-2)\,;\,5 + (5-5)) = T(2\,;\,5)\)

  6. Déterminer la nature des quadrilatères \(ERFH\) et \(HOST\).

    Corrigé
    • Le quadrilatère \(ERFH\) est un parallĂ©logramme.
    • Le quadrilatère \(HOST\) est un parallĂ©logramme.

Exercice 4 – Calculs avec des puissances

Simplifier chacune des expressions suivantes en détaillant les étapes. Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible ou d'une écriture simplifiée. Dans l'expression \(C\), \(a\) et \(b\) sont non nuls.

A = \(\dfrac{25\times(-3)^{4}\times 2^{-3}}{-5^{3}\times 9\times 2^{-5}}\)

Corrigé
  • \(A = \dfrac{25\times(-3)^{4}\times 2^{-3}}{-5^{3}\times 9\times 2^{-5}}\)
  • \(A = \dfrac{5^2\times(-1)^4\times 3^4\times 2^{-3}}{-5^3\times 3^2\times 2^{-5}}\)
  • \(A = \dfrac{5^2\times 3^4\times 2^{-3}}{-5^3\times 3^2\times 2^{-5}}\)
  • \(A = \dfrac{5^{2-3}\times 3^{4-2}\times 2^{-3-(-5)}}{-1}\)
  • \(A = \dfrac{5^{-1}\times 3^{2}\times 2^{2}}{-1}\)
  • \(A = -\dfrac{9\times 4}{5}\)
  • \(A = -\dfrac{36}{5}\)

B = \(\dfrac{0{,}06\times 10^{-3}\times 15\times 10^{5}}{0{,}9\times 10^{-4}\times 5\times 10^{2}}\)

Corrigé
  • \(B = \dfrac{0{,}06\times 10^{-3}\times 15\times 10^{5}}{0{,}9\times 10^{-4}\times 5\times 10^{2}}\)
  • \(B = \dfrac{6\times 10^{-2}\times 10^{-3}\times 15\times 10^{5}}{9\times 10^{-1}\times 10^{-4}\times 5\times 10^{2}}\)
  • \(B = \dfrac{6\times 15\times 10^{-2-3+5}}{9\times 5\times 10^{-1-4+2}}\)
  • \(B = \dfrac{90\times 10^{0}}{45\times 10^{-3}}\)
  • \(B = \dfrac{90}{45}\times\dfrac{10^{0}}{10^{-3}}\)
  • \(B = 2\times 10^{3}\)
  • \(B = 2000\)

C = \(\dfrac{(a^{3}b^{-2})^{2}\times(ab^{2})^{-3}}{(a^{-2}b)^{3}}\)

Corrigé
  • \(C = \dfrac{(a^{3}b^{-2})^{2}\times(ab^{2})^{-3}}{(a^{-2}b)^{3}}\)
  • \(C = \dfrac{a^{6}b^{-4}\times a^{-3}b^{-6}}{a^{-6}b^{3}}\)
  • \(C = \dfrac{a^{6-3}b^{-4-6}}{a^{-6}b^{3}}\)
  • \(C = \dfrac{a^{3}b^{-10}}{a^{-6}b^{3}}\)
  • \(C = a^{3-(-6)}b^{-10-3}\)
  • \(C = a^{9}b^{-13}\)