Fiche d'entraînement : intervalles, valeurs absolues et fractions
Pas de calculatrice.
Exercice 1
Donner la forme la plus simple des expressions suivantes :
\(A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1+\dfrac15}{\dfrac23-\dfrac1{10}}\)
Corrigé
\[\begin{aligned}
A&=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1+\dfrac15}{\dfrac23-\dfrac1{10}}\\
A&=\dfrac{2}{3}-\dfrac{\dfrac65}{\dfrac{17}{30}}\\
A&=\dfrac{2}{3}-\dfrac{6}{5}\times\dfrac{30}{17}\\
A&=\dfrac{2}{3}-\dfrac{36}{17}\\
A&=\dfrac{34}{51}-\dfrac{108}{51}\\
A&=-\dfrac{74}{51}
\end{aligned}\]
\(B=\dfrac{2}{a-3}-\dfrac{5}{3-a}\)
Corrigé
\[\begin{aligned}
B&=\dfrac{2}{a-3}-\dfrac{5}{3-a}\\
B&=\dfrac{2}{a-3}+\dfrac{5}{a-3}\\
B&=\dfrac{7}{a-3}\qquad(a\neq 3)
\end{aligned}\]
\(C=\dfrac{1}{a+2}-\dfrac{3}{(a+2)^{2}}+1\)
Corrigé
\[\begin{aligned}
C&=\dfrac{1}{a+2}-\dfrac{3}{(a+2)^{2}}+1\\
C&=\dfrac{a+2}{(a+2)^{2}}-\dfrac{3}{(a+2)^{2}}+\dfrac{(a+2)^{2}}{(a+2)^{2}}\\
C&=\dfrac{(a+2)-3+(a+2)^{2}}{(a+2)^{2}}\\
C&=\dfrac{a^{2}+5a+3}{(a+2)^{2}}\qquad(a\neq -2)
\end{aligned}\]
\(D=1-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-a}}\)
Corrigé
\[\begin{aligned}
D&=1-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{1-a}}\\
D&=1-\dfrac{1}{\dfrac{1-a-1}{1-a}}\\
D&=1-\dfrac{1}{\dfrac{-a}{1-a}}\\
D&=1-\dfrac{1-a}{-a}\\
D&=1+\dfrac{1-a}{a}\\
D&=\dfrac{a}{a}+\dfrac{1-a}{a}\\
D&=\dfrac{1}{a}\qquad(a\neq 0,\ a\neq 1)
\end{aligned}\]
Exercice 2
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, justifier ; si elle est fausse, donner un contre-exemple ou la corriger.
- Pour tout réel \(x\), \(|x|^{2}=x^{2}\).
Corrigé
Vrai. Si \(x\geqslant 0\), \(|x|=x\) donc \(|x|^{2}=x^{2}\). Si \(x<0\), \(|x|=-x\) donc \(|x|^{2}=(-x)^{2}=x^{2}\). Dans les deux cas \(|x|^{2}=x^{2}\).
- L'expression \(\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2}{x-1}\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\).
Corrigé
Vrai. \(x+1=0\iff x=-1\) et \(x-1=0\iff x=1\), ce sont les deux seules valeurs interdites.
- Pour tous réels \(a\) et \(b\), \(|a+b|=|a|+|b|\).
Corrigé
Faux. Contre-exemple : \(a=1\), \(b=-1\). \(|a+b|=|0|=0\) alors que \(|a|+|b|=1+1=2\).
- \(\lbrack -3;3\rbrack\) est l'ensemble des réels \(x\) tels que \(|x|\leqslant 3\).
Corrigé
Vrai. \(|x|\leqslant 3\iff -3\leqslant x\leqslant 3\iff x\in\lbrack -3;3\rbrack\).
- Si \(\dfrac{1}{x+5}\) est défini, alors \(x\in\rbrack -\infty;5\rbrack\cup\lbrack 5;+\infty\lbrack\).
Corrigé
Faux. La valeur interdite est \(x=-5\) (racine de \(x+5\)), pas \(x=5\). Le bon ensemble est \(x\in\rbrack -\infty;-5\lbrack\cup\rbrack -5;+\infty\lbrack\).
Exercice 3
Écrire sous forme exacte et sans le symbole \(\left|\ \right|\) les nombres ou expressions suivants :
a) \(\left|3-\pi\right|\)
Corrigé
\[3-\pi<0\quad\text{donc}\quad \left|3-\pi\right|=\pi-3\]
b) \(\left|\sqrt3-\sqrt2\right|+\left|\sqrt2-3\right|\)
Corrigé
\[\sqrt3-\sqrt2>0\quad\text{et}\quad \sqrt2-3<0\]
\[\left|\sqrt3-\sqrt2\right|+\left|\sqrt2-3\right|=(\sqrt3-\sqrt2)+(3-\sqrt2)=\sqrt3-2\sqrt2+3\]
c) \(\left|a-b\right|\) avec \(a<b\)
Corrigé
\[a<b\iff a-b<0\quad\text{donc}\quad \left|a-b\right|=b-a\]
d) \(\left|1-\sqrt2\right|-\left|2-\sqrt2\right|\)
Corrigé
\[1-\sqrt2<0\quad\text{et}\quad 2-\sqrt2>0\]
\[\left|1-\sqrt2\right|-\left|2-\sqrt2\right|=(\sqrt2-1)-(2-\sqrt2)=2\sqrt2-3\]
e) \(\left|x-3\right|\) selon les valeurs de \(x\) (on distinguera les cas \(x<3\) et \(x\geqslant 3\))
Corrigé
\[\text{si } x<3,\quad |x-3|=3-x\]
\[\text{si } x\geqslant 3,\quad |x-3|=x-3\]
Exercice 4
Déterminez et simplifiez les ensembles suivants :
- \(\rbrack -\infty;5\rbrack\cup\lbrack 2;9\lbrack\cup\rbrack 7;+\infty\lbrack\) =
Corrigé
\[\begin{aligned}
\rbrack -\infty;5\rbrack\cup\lbrack 2;9\lbrack&=\rbrack -\infty;9\lbrack\\
\rbrack -\infty;9\lbrack\cup\rbrack 7;+\infty\lbrack&=\rbrack -\infty;+\infty\lbrack=\mathbb{R}
\end{aligned}\]
- \(\lbrack -6;3\rbrack\cap\rbrack -1;+\infty\lbrack\cap\lbrack 0;8\rbrack\) =
Corrigé
\[\begin{aligned}
\lbrack -6;3\rbrack\cap\rbrack -1;+\infty\lbrack&=\rbrack -1;3\rbrack\\
\rbrack -1;3\rbrack\cap\lbrack 0;8\rbrack&=\lbrack 0;3\rbrack
\end{aligned}\]
- \(\left(\rbrack -\infty;4\lbrack\cap\lbrack -2;+\infty\lbrack\right)\cup\left(\rbrack 10;+\infty\lbrack\right)\) =
Corrigé
\[\begin{aligned}
\rbrack -\infty;4\lbrack\cap\lbrack -2;+\infty\lbrack&=\lbrack -2;4\lbrack\\
\lbrack -2;4\lbrack\cup\rbrack 10;+\infty\lbrack&=\lbrack -2;4\lbrack\cup\rbrack 10;+\infty\lbrack
\end{aligned}\]
- \(\lbrack -3;3\rbrack\setminus\rbrack -1;1\lbrack\) = (rappel : \(E\setminus F\) est l'ensemble des éléments de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(F\))
Corrigé
\[\lbrack -3;3\rbrack\setminus\rbrack -1;1\lbrack=\lbrack -3;-1\rbrack\cup\lbrack 1;3\rbrack\]
Exercice 5
Pour chacune des égalités ou inégalités suivantes, donner le plus grand ensemble auquel appartient \(x\) sous forme d'intervalle ou d'union et intersection d'intervalles. Représenter ces valeurs sur une droite graduée.
a) \(\left|x-1\right|\leqslant 5\)
Corrigé
\[\begin{aligned}
\left|x-1\right|\leqslant 5&\iff -5\leqslant x-1\leqslant 5\\
&\iff -4\leqslant x\leqslant 6\\
&\iff x\in\lbrack -4;6\rbrack
\end{aligned}\]
b) \(\left|x+5\right|=7\)
Corrigé
\[\begin{aligned}
\left|x+5\right|=7&\iff x+5=7\ \text{ou}\ x+5=-7\\
&\iff x=2\ \text{ou}\ x=-12\\
&\iff x\in\{-12;2\}
\end{aligned}\]
c) \(\left|-x+4\right|>2\)
Corrigé
\[\begin{aligned}
\left|-x+4\right|>2&\iff \left|x-4\right|>2\\
&\iff x-4>2\ \text{ou}\ x-4<-2\\
&\iff x>6\ \text{ou}\ x<2\\
&\iff x\in\rbrack -\infty;2\lbrack\cup\rbrack 6;+\infty\lbrack
\end{aligned}\]
d) \(2\left|x-1\right|-3\leqslant 5\)
Corrigé
\[\begin{aligned}
2\left|x-1\right|-3\leqslant 5&\iff 2\left|x-1\right|\leqslant 8\\
&\iff \left|x-1\right|\leqslant 4\\
&\iff -4\leqslant x-1\leqslant 4\\
&\iff -3\leqslant x\leqslant 5\\
&\iff x\in\lbrack -3;5\rbrack
\end{aligned}\]
e) \(\left|x+3\right|\leqslant\left|x-1\right|\) (indication : comparer les distances de \(x\) à \(-3\) et à \(1\))
Corrigé
\[\begin{aligned}
\left|x+3\right|\leqslant\left|x-1\right|&\iff (x+3)^{2}\leqslant(x-1)^{2}\\
&\iff x^{2}+6x+9\leqslant x^{2}-2x+1\\
&\iff 8x\leqslant -8\\
&\iff x\leqslant -1\\
&\iff x\in\rbrack -\infty;-1\rbrack
\end{aligned}\]