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Chapitre 2 : Calcul littéral - Exercices

Exercice 1 (★☆☆)

Indiquer pour chaque expression s'il s'agit d'une somme ou d'un produit :

  1. \((x - 2)(x - 3)\)
  2. \((x - 3)^2\)
  3. \(x(x + 2)\)
  4. \(2x^2 - 5\)
  5. \((x - 2)(x - 3) + 8\)
  6. \(2x^2 - 5x + 6\)
Corrigé
  1. Produit
  2. Produit
  3. Produit
  4. Somme
  5. Somme
  6. Somme

Exercice 2 (★☆☆)

Parmi les expressions suivantes, reconnaître les formes développées et les formes factorisées :

  1. \((x - 7)(x + 6)\)
  2. \((x - 2)(x - 3) + 8\)
  3. \(2x^2 - 5x + 6\)
  4. \(x^3(2 - x)\)
  5. \((x - 7)^4\)
  6. \(4x - 5\)
Corrigé

Forme développée : 3,6 Forme factorisée : 1, 4, 5

La 2ème expression n'est ni développée ni factorisée.

Exercice 3 (★★☆)

Développer, puis réduire et ordonner les expressions suivantes :

\[ A = 3x(x - 5) \]
Corrigé
\[ A = 3x(x - 5) = 3x^2 - 15x \]
\[ B = 3(2x + 2)^2 \]
Corrigé
\[ B = 3(2x + 2)^2 = 3(4x^2 + 8x + 4) = 12x^2 + 24x + 12 \]
\[ C = (4x - 4)(3x - 8) \]
Corrigé
\[ C = (4x - 4)(3x - 8) = 12x^2 - 32x - 12x + 32 = 12x^2 - 44x + 32 \]
\[ D = (x - 2)(x + 2) \]
Corrigé
\[ D = (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 \]
\[ E = x(x + 5) + 8(x - 3) \]
Corrigé
\[ E = x(x + 5) + 8(x - 3) = x^2 + 5x + 8x - 24 = x^2 + 13x - 24 \]
\[ F = a + 2(a - 5) + 5(3 - 2a) \]
Corrigé
\[ F = a + 2(a - 5) + 5(3 - 2a) = a + 2a - 10 + 15 - 10a = -7a + 5 \]

Exercice 4 (★★☆)

Factoriser les expressions suivantes :

\[ A = x(x - 1) + 2x(x - 3) \]
Corrigé
\[ A = x(x - 1) + 2x(x - 3) = x(x - 1 + 2(x - 3)) = x(3x - 7) \]
\[ B = x^3 - 12x^2 \]
Corrigé
\[ B = x^3 - 12x^2 = x^2(x - 12) \]
\[ C = (5x + 1)(-2x + 3) + x(10x + 2) \]
Corrigé
\[ C = (5x + 1)(-2x + 3) + x(10x + 2) = (5x+1)(-2x+3)+2x(5x+1) = (5x + 1)(-2x + 3 + 2x) = (5x + 1)(3)= 3(5x + 1) \]
\[ D = 3a^3b^2 - 27a^5b^7 \]
Corrigé
\[ D = 3a^3b^2 - 27a^5b^7 = 3a^3b^2(1 - 9a^2b^5) \]
\[ E = (x - 5)(x + 2) - 3x(x - 5) \]
Corrigé
\[ E = (x - 5)(x + 2) - 3x(x - 5) = (x - 5)(x + 2 - 3x) = (x - 5)(-2x + 2) = -2(x - 5)(x - 1) \]
\[ F = (4x - 3)(x + 2) + (3 - 4x)x \]
Corrigé
\[ F = (4x - 3)(x + 2) + (3 - 4x)x = (4x - 3)(x + 2) - (4x - 3)x = (4x - 3)(x + 2 - x) = 2(4x - 3) \]
\[ G = 105x^3y^7 + 45x^3y^6 \]
Corrigé
\[ G = 105x^3y^7 + 45x^3y^6 = 15x^3y^6(7y + 3) \]

Exercice 5 (★★☆)

Développer et réduire les expressions ci-dessous :

  1. \((x - 2y)^2\)
  2. \((2x + y)^2\)
  3. \((a - b)^2 + (2a - 5b)^2\)
  4. \((3x - 4y)(3x + 4y)\)
  5. \((\sqrt{2} - \sqrt{7x})(\sqrt{2} + \sqrt{7x})\)
  6. \(\left(\dfrac{4}{5}x - \dfrac{2}{3}\right)^2\)
Corrigé
  1. \((x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2\)
  2. \((2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2\)
  3. \((a - b)^2 + (2a - 5b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 4a^2 - 20ab + 25b^2 = 5a^2 - 22ab + 26b^2\)
  4. \((3x - 4y)(3x + 4y) = 9x^2 - 16y^2\)
  5. \((\sqrt{2} - \sqrt{7x})(\sqrt{2} + \sqrt{7x}) = 2 - 7x\)
  6. \(\left(\dfrac{4}{5}x - \dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{25}x^2 - \dfrac{16}{15}x + \dfrac{4}{9}\)

Exercice 6 (★★☆)

Factoriser les expressions ci-dessous :

  1. \(x^2 - 4x + 4\)
  2. \(4y^2 - 12y + 9\)
  3. \(16a^2 - 80a + 100\)
  4. \(5x^2 - 7y^2\)
  5. \((x - y)^2 - (2x - 4y)^2\)
  6. \(x^2 - \dfrac{17}{2}x + \dfrac{289}{16}\)
  7. \(\left(\dfrac{5}{3}x + \dfrac{1}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{5}{6}x - \dfrac{1}{6}\right)^2\)
Corrigé
  1. \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\)
  2. \(4y^2 - 12y + 9 = (2y - 3)^2\)
  3. \(16a^2 - 80a + 100 = (4a - 10)^2\)
  4. \(5x^2 - 7y^2 = (\sqrt{5}x - \sqrt{7}y)(\sqrt{5}x + \sqrt{7}y)\)
  5. \((x - y)^2 - (2x - 4y)^2 = (x - y - (2x - 4y))(x - y + (2x - 4y)) = (-x + 3y)(3x - 5y)\)
  6. \(x^2 - \dfrac{17}{2}x + \dfrac{289}{16} = \left(x - \dfrac{17}{4}\right)^2\)
  7. \(\left(\dfrac{5}{3}x + \dfrac{1}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{5}{6}x - \dfrac{1}{6}\right)^2 = \left(\dfrac{5}{3}x + \dfrac{1}{3} - \left(\dfrac{5}{6}x - \dfrac{1}{6}\right)\right)\left(\dfrac{5}{3}x + \dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{5}{6}x - \dfrac{1}{6}\right)\right) = \left(\dfrac{5}{6}x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{15}{6}x + \dfrac{1}{6}\right) = \left(\dfrac{5}{6}x + \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{5}{2}x + \dfrac{1}{6}\right)\)

Exercice 7 (★☆☆)

Calculer mentalement :

\[ 99^2 \]
\[ 102^2 \]
\[ 11^2 - 10^2 \]
\[ 38^2 - 37^2 \]
Corrigé

Dans tous les cas, on peut utiliser les identités remarquables pour effectuer le calcul mentalement.

\[ 99^2 = (100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801 \]
\[ 102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404 \]
\[ 11^2 - 10^2 = (11 - 10)(11 + 10) = (1)(21) = 21 \]
\[ 38^2 - 37^2 = (38 - 37)(38 + 37) = (1)(75) = 75 \]

Exercice 8 (★★★)

Démontrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(x^2 \geqslant 8x - 16\).

Corrigé

On peut réécrire l'inégalité sous la forme :

\[ x^2 - 8x + 16 \geqslant 0 \]

Or, on remarque que :

\[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \]

Comme le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul, on a donc :

\[ (x - 4)^2 \geqslant 0 \]

Ainsi, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a bien :

\[ x^2 \geqslant 8x - 16 \]

Exercice 9 (★★★)

  1. Développer \((a + b + c)^2\).

  2. Développer \((a + b)^3\).

Exercice 10 (★★☆)

Écrire sous forme irréductible le nombre suivant : $$ A = \dfrac{\dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{7}} $$

Exercice 11 (★★☆)

Écrire chacune des expressions ci-dessous sous la forme d'un quotient unique :

  1. \(\dfrac{4x}{9} + \dfrac{2x + 3}{7}\)
  2. \(\dfrac{3}{x} + \dfrac{2x - 5}{2} \quad (x \neq 0)\)
  3. \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} \quad (x \neq 0)\)
  4. \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{x - 2}{3x} \quad (x \neq 0)\)
  5. \(\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{x}{x + 1} \quad (x \neq -1 \text{ et } x \neq 1)\)
  6. \(\dfrac{2}{x - 4} - \dfrac{x}{2x - 8} \quad (x \neq 4)\)
  7. \(\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \quad (x > 0)\)
  8. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \quad (x, y \text{ et } z \text{ non nuls})\)

Exercice 12 (★★☆)

Simplifier au maximum chaque expression :

  1. \(\dfrac{x(2x + 1)}{2x(4x + 8)} \quad (x \neq 0 \text{ et } x \neq -2)\)
  2. \(\dfrac{(x - 3)^2(4x - 5)}{x - 3} \quad (x \neq 3)\)
  3. \(\dfrac{5x^2 + 9x}{x^2 + 3x} \quad (x \neq 0 \text{ et } x \neq -3)\)
  4. \(\left(\dfrac{x(x - 1)}{x^2 + 3x}\right)^2 \dfrac{x + 3}{x - 1} \quad (x \neq 0, x \neq -3 \text{ et } x \neq 1)\)
  5. \(\dfrac{(x + 2)^2}{(x - 3)^3} \dfrac{(x + 2)^3}{x - 3} \quad (x \neq 3 \text{ et } x \neq -2)\)

Exercice 13 (★★★)

Pour tout \(x \neq 2\), on pose \(A(x) = \dfrac{3x^3 - 5x^2 - x - 2}{x - 2}\).

  1. Développer \((x - 2)(3x^2 + x + 1)\).
  2. Simplifier \(A(x)\).
  3. Calculer mentalement \(A(-3)\).

Exercice 14 (★★☆)

Écrire les nombres ci-dessous sous la forme \(2^k\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) :

  1. \(\dfrac{2^7 2^{-3}}{2^k}\)
  2. \(\left(\dfrac{2^7}{2^{-3}}\right)^4\)
  3. \(1024^{43}\)
  4. \(\dfrac{2^{-3}}{64}\)

Exercice 15 (★★☆)

Écrire les nombres ci-dessous sous la forme \(3^k\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) :

  1. \(81 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-5}\)
  2. \(\dfrac{27^8 \times 3^8}{9^5}\)
  3. \(10 \times 3^{12} - 3^{14}\)

Exercice 16 (★★☆)

Soit \(a \in \mathbb{R}^+\) et \(n \in \mathbb{Z}\). Écrire les nombres ci-dessous sous la forme \(a^k\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) :

  1. \((a^{n + 2})^3\)
  2. \(\dfrac{a^5}{(a^3)^n}\)
  3. \(\left(\dfrac{1}{a}\right)^{2n} \times a^2\)
  4. \(\dfrac{(a \times a^2)^2}{a^{3n}}\)

Exercice 17 (★★☆)

Écrire les nombres ci-dessous sous forme scientifique :

  1. \(A = 0,0452\)
  2. \(B = 12478\)
  3. \(C = \dfrac{( - 7|^3 \times | - 10|^{-8})^2}{(7^2 \times 10^4)^7}\)

Exercice 18 (★★★)

Soit \(a \in ]1; +\infty[\) et \(c \in \mathbb{R}\).

  1. Compléter la fonction PuisMin suivante écrite en Python, afin qu'elle renvoie le plus petit entier naturel \(n\) vérifiant \(a^n > c\) :

    def PuisMin(a, c):
    n = 0
    while ...:
        n = ...
    return ...

  2. Quelle est la valeur renvoyée pour \(a=3,7\) et \(c=30000\) ?

Exercice 19 (★★☆)

Écrire les nombres ci-dessous sous la forme \(a \sqrt{b}\) où \(b\) est le plus petit entier possible :

  1. \(\sqrt{32}\)
  2. \(\sqrt{72}\)
  3. \(\sqrt{500}\)
  4. \(\sqrt{147}\)
  5. \(\sqrt{\dfrac{48}{121}}\)
  6. \(\sqrt{\dfrac{99}{25}}\)
  7. \(\sqrt{\dfrac{5}{36}} + 3\sqrt{\dfrac{20}{9}}\)
  8. \(\sqrt{\dfrac{3}{8}} \times \sqrt{\dfrac{14}{3}}\)
  9. \(5\sqrt{63} - \sqrt{28} + \sqrt{7}\)
  10. \(3\sqrt{18} + 2\sqrt{16} - 5\sqrt{81}\)

Exercice 20 (★★☆)

Écrire les nombres ci-dessous sans racine carrée au dénominateur :

  1. \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\)
  2. \(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}}\)
  3. \(\dfrac{3}{5 - \sqrt{3}}\)
  4. \(\dfrac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} + 1}\)

Exercice 21 (★★☆)

Développer et simplifier les expressions ci-dessous :

  1. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \left( \sqrt{2} - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\)
  2. \(7\sqrt{2} \left( 5\sqrt{2} - 9\sqrt{18} \right)\)
  3. \(\sqrt{2} (\sqrt{6} - 2)\)
  4. \(\sqrt{(\sqrt{15} + \sqrt{10})^2 - 10\sqrt{6}}\)
  5. \(\left( \sqrt{5 + \sqrt{21}} + \sqrt{5 - \sqrt{21}} \right)^2\)

Exercice 22 (★★★)

Soit \(a \in \mathbb{R}^+\) et \(b \in \mathbb{R}^+\).

  1. Calculer \(\left( \sqrt{a} \times \sqrt{b} \right)^2\) et en déduire que \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\).

  2. En utilisant l'égalité précédente, montrer que si \(a \neq 0\), \(\sqrt{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}\).

  3. En utilisant les égalités précédentes, montrer que si \(b \neq 0\), \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Exercice 23 (★★★)

Soit \(a \in \mathbb{R}^+\) et \(b \in \mathbb{R}^+\). Montrer que \(\sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b}\).

Exercice 24 (★★★)

Soit \(a \in \mathbb{R}^+\) et \(b \in \mathbb{R}^+\). Montrer que \(\sqrt{a \times b} \leqslant \dfrac{a + b}{2}\).

\(\sqrt{a \times b}\) et \(\dfrac{a + b}{2}\) sont appelés respectivement moyennes géométrique et arithmétique de \(a\) et \(b\).

Exercice 25 (★★★)

Les nombres \(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}}\) sont-ils égaux ?

Exercice 26 (★★☆)

Le volume d'un cylindre de hauteur \(h\) et de rayon \(r\) est donné par \(V = \pi r^2 h\).

  1. Exprimer \(h\) en fonction de \(V\) et \(r\).
  2. Exprimer \(r\) en fonction de \(V\) et \(h\).
  3. Déterminer le rayon d'un cylindre de hauteur \(5\,\text{cm}\) et de volume \(50\,\text{cm}^3\).

Exercice 27 (★★☆)

Un solide lâché à une altitude \(h\) (en mètres) atteint le sol au bout d'une durée \(t\) (en secondes). Si on néglige les frottements de l'air, on a \(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) où \(g \approx 9{,}81\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\).

  1. Exprimer \(h\) en fonction de \(t\) et \(g\).
  2. Le solide a mis \(10\,\text{s}\) pour toucher le sol. À quelle altitude a-t-il été lâché ?