Chapitre 2 : Calcul littéral

1. Les différentes formes d'une expression algébrique

Type	Forme	Exemple	Remarque
Somme	\(A + B\)	\(3x^2 + 5x\)	\(A\) et \(B\) sont les termes.
Produit	\(A \times B\)	\((3x - 5)(2x - 4)\)	\(A\) et \(B\) sont les facteurs.
Carré	\(A^2\)	\((3x + 2)^2\)
Quotient	\(\dfrac{A}{B}\)	\(\dfrac{5x - 2}{3x - 5}\)	\(B \neq 0\).

Définition

Développer un produit, c'est l'écrire sous la forme d'une somme.

Exemple : Développer \(A = (3x - 5)(2x - 4)\) :

\[A = 3x \times 2x + 3x \times (-4) + (-5) \times 2x + (-5) \times (-4) = 6x^2 - 22x + 20.\]

Définition

Factoriser une somme, c'est l'écrire sous la forme d'un produit.

Exemple : Factoriser \(B = 3x^2 + 5x\) :

\[B = x(3x + 5).\]

Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des réels :

Règle	Formule
Règle des signes	\(a \times (-b) = -ab\), \((-a) \times (-b) = ab\)
Produit nul	\(A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0\) ou \(B = 0\)
Simplification	\(ac = bc\) et \(c \neq 0 \Rightarrow a = b\)
Distributivité	\(c(a + b) = ca + cb\)
Double distributivité	\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)

Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) des réels avec \(c\) et \(d\) non nuls :

Règle	Formule
Généralités	\(\dfrac{a}{1} = a\), \(\dfrac{0}{c} = 0\), \(\dfrac{a}{0}\) impossible
Règle des signes	\(-\dfrac{a}{c} = \dfrac{-a}{c} = \dfrac{a}{-c}\)
Simplification	\(\dfrac{ad}{cd} = \dfrac{a}{c}\) (attention : \(\dfrac{a + d}{c + d} \neq \dfrac{a}{c}\))
Égalité	\(\dfrac{a}{c} = 0 \Leftrightarrow a = 0\)
Produit en croix	\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \Leftrightarrow ad = bc\)
Addition	\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\) ; \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{ad + bc}{cd}\)
Multiplication	\(\dfrac{a}{c} \times \dfrac{b}{d} = \dfrac{ab}{cd}\)
Division	\(\dfrac{1}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{d}{c}\) ; \(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{ad}{bc}\) (avec \(b \neq 0\))

Soit \(a\) et \(b\) des réels et \(p\) et \(q\) des entiers :

Règle	Formule
Définition	\(a^0 = 1\), \(a^1 = a\), \(a^{-p} = \dfrac{1}{a^p}\) (si \(a \neq 0\))
Signe	Pour \(p\) pair : \((-a)^p = a^p\) ; pour \(p\) impair : \((-a)^p = -a^p\)
Règles de calcul	\(a^p \times a^q = a^{p+q}\) ; \(\dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}\) ; \((a^p)^q = a^{pq}\) ; \((ab)^p = a^p b^p\) ; \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^p = \dfrac{a^p}{b^p}\)
Notation scientifique	\(a \times 10^p\) où \(1 \leq a < 10\) et \(p \in \mathbb{Z}\)

Soit \(a\) et \(b\) des réels positifs :

Règle	Formule
Définition	\(\sqrt{a}\) est l'unique nombre positif tel que \((\sqrt{a})^2 = a\)
Règles de calcul	\(\sqrt{a^2} = \vert a \vert\) ; \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}\) ; \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (si \(b \neq 0\))
Mise en garde	\(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) ; si \(a < 0\), \(\sqrt{a^2} = -a\)
Inégalité	Si \(a, b > 0\), alors \(\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}\)