Chapitre 3 : Configurations planes dans un repère - Exercices

Exercice 1 (★☆☆)

Lire les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) dans le repère orthonormé \((O, I, J)\) ci-dessous.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[step=1cm,gray!30,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
  \draw[->] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
  \filldraw (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
  \filldraw (1,0) circle (1.5pt) node[below] {$I$};
  \filldraw (0,1) circle (1.5pt) node[left] {$J$};
  \filldraw (2,3) circle (1.5pt) node[above right] {$A$};
  \filldraw (-3,1) circle (1.5pt) node[above left] {$B$};
  \filldraw (-1,-2) circle (1.5pt) node[below left] {$C$};
  \filldraw (4,-1) circle (1.5pt) node[below right] {$D$};
  \filldraw (-4,4) circle (1.5pt) node[above left] {$E$};
  \filldraw (1,-4) circle (1.5pt) node[below right] {$F$};
\end{tikzpicture}

Dans le repère orthonormé \((O, I, J)\) ci-dessus, placer les points :
- \(G(2~; 3)\)
- \(H(-4~; -3)\)
- \(K(0~; 2)\)
- \(L(-4~; -2)\)
- \(M(-3~; 0)\)
- \(N(1~; -3)\)

Exercice 2 (★☆☆)

Lire les coordonnées des points \(G\), \(H\), \(K\) dans le repère \((O, I, J)\) ci-dessous.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[step=1cm,gray!30,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
  \draw[->] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
  \filldraw (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
  \filldraw (1,0) circle (1.5pt) node[below] {$I$};
  \filldraw (0,1) circle (1.5pt) node[left] {$J$};
  \filldraw (3,2) circle (1.5pt) node[above right] {$G$};
  \filldraw (-2,-3) circle (1.5pt) node[below left] {$H$};
  \filldraw (-4,1) circle (1.5pt) node[above left] {$K$};
\end{tikzpicture}

Dans le repère \((O, I, J)\) ci-dessus, placer :
- \(L(3~; -2)\)
- \(M(-3~; 1)\)
- \(N(0~; -3)\)

Exercice 3 (★★☆)

Que fait l'algorithme suivant ?

Pour des valeurs de \(n\) allant de -3 à 4 de 1 en 1 :

Placer le point de coordonnées \((n~; 1)\).

Tracer la figure dans le repère ci-dessous d'unité 1 carreau.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[step=1cm,gray!30,very thin] (-4,-2) grid (5,3);
  \draw[->] (-4,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2) -- (0,3) node[above] {$y$};
\end{tikzpicture}

Corrigé

L'algorithme place les points de coordonnées \((-3~; 1)\), \((-2~; 1)\), \((-1~; 1)\), \((0~; 1)\), \((1~; 1)\), \((2~; 1)\), \((3~; 1)\) et \((4~; 1)\). Ces points sont alignés sur la droite d'équation \(y = 1\).

La figure obtenue est le nuage de points correspondant au dessin suivant :

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[step=1cm,gray!30,very thin] (-4,-2) grid (5,3);
  \draw[->] (-4,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2) -- (0,3) node[above] {$y$};
  \foreach \n in {-3,-2,-1,0,1,2,3,4} {
    \filldraw (\n,1) circle (1.5pt);
  }
\end{tikzpicture}

Exercice 4 (★★☆)

Écrire l'algorithme qui place la série de points suivante dans le repère ci-dessous d'unité 1 carreau.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[step=1cm,gray!30,very thin] (-4,-4) grid (4,4);
  \draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-4) -- (0,4) node[above] {$y$};
  \foreach \n in {-3,-2,-1,0,1,2,3} {
    \filldraw (\n,\n) circle (1.5pt);
  }
\end{tikzpicture}

Corrigé

Pour n allant de -3 à 3 :
    Placer le point de coordonnées (n, n)

Exercice 5 (★★☆)

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), placer les points \(A(5~; 1)\) et \(B(-1~; 3)\).

a. Calculer les coordonnées du point \(K\), milieu du segment \([AB]\).

b. Vérifier sur la figure.
Sur le graphique ci-dessous, placer les points \(I\) et \(J\) pour que \((O, I, J)\) soit un repère. Placer ensuite, à nouveau, les points \(A(5~; 1)\), \(B(-1~; 3)\) et le milieu \(K\) de \([AB]\).

Les calculs de la question 1 sont-ils encore valables ?

\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  \draw[->] (-2,-0.6) -- (6,1.8) node[right] {$(OI)$};
  \draw[->] (-0.6,-2) -- (1.2,4) node[above] {$(OJ)$};
  \filldraw (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
\end{tikzpicture}

Exercice 6 (★★☆)

Compléter la fonction suivante écrite en langage naturel (sans code) :

La fonction "milieu" prend en entrée les coordonnées de deux points \(A\) et \(B\) et renvoie les coordonnées du milieu du segment \([AB]\).

\(x_M\)	...
\(y_M\)	...

Exercice 7 (★★★)

a. Tracer un repère \((O, I, J)\) et placer les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) de coordonnées :
- \(A(-1~; 4)\)
- \(B(6~; 5)\)
- \(C(3~; 0)\)
- \(D(-5~; -1)\)
b. Tracer le quadrilatère ABCD et ses diagonales.

c. Calculer les coordonnées du point \(K\), milieu du segment \([AC]\), et du point \(L\), milieu du segment \([BD]\).

d. Les segments \([AC]\) et \([BD]\) ont-ils le même milieu ? Justifier.

e. Le quadrilatère \(ABCD\) est-il un parallélogramme ? Justifier en citant une propriété.
Compléter la fonction suivante écrite en langage naturel (sans code) :

La fonction "para" prend en entrée les coordonnées de quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et indique si \(ABCD\) est un parallélogramme ou non.

Si ... ...

Alors return("ABCD est un parallélogramme")

Sinon return("ABCD n'est pas un parallélogramme")

Exercice 8 (★★☆)

Dans un repère \((O, I, J)\), on considère les points \(A(1~; 2)\) et \(K(4~; 4)\).

Calculer les coordonnées \(\{x~; y\}\) du point \(B\) tel que \(K\) soit le milieu du segment \([AB]\).

Exercice 9 (★★☆)

Dans le repère orthonormé \((O, I, J)\), d'unité 1 cm, on considère les points \(A(2~; 1)\), \(B(6~; 3)\) et \(C(6~; 1)\).
- Tracer le triangle \(ABC\).
- Calculer la distance \(AB\).

Dans le repère \((O, I, J)\) ci-dessous, placer à nouveau les points \(A(2~; 1)\), \(B(6~; 3)\) et \(C(6~; 1)\) et tracer le triangle \(ABC\).

Le calcul précédent est-il encore valable ? Pourquoi ?

\begin{tikzpicture}[scale=1]
  \draw[->] (-1,-0.3) -- (8,2.4) node[right] {$(OI)$};
  \draw[->] (-0.6,-2) -- (1.2,4) node[above] {$(OJ)$};
  \filldraw (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
  \filldraw (1,0.3) circle (1.5pt) node[below] {$I$};
  \filldraw (0.3,1) circle (1.5pt) node[left] {$J$};
  \filldraw (2.3,1.6) circle (1.5pt) node[above left] {$A$};
  \filldraw (6.9,4.8) circle (1.5pt) node[above right] {$B$};
  \filldraw (6.3,2.8) circle (1.5pt) node[below right] {$C$};
  \draw (2.3,1.6) -- (6.9,4.8) -- (6.3,2.8) -- cycle;
\end{tikzpicture}

Exercice 10 (★★☆)

Dans un repère orthonormé, les coordonnées des points \(A\) et \(B\) sont \(A(257~; 12)\) et \(B(242~; -28)\).

Calculer la distance \(AB\).

Exercice 11 (★★☆)

Expliquer ce que fait le programme suivant (description en langage naturel) :
- Demander les coordonnées des points \(A\) et \(B\).
- Demander la distance calculée par l'utilisateur.
- Calculer la distance réelle entre \(A\) et \(B\).
- Vérifier si la réponse de l'utilisateur est correcte.
Réécrire ce programme en langage naturel pour qu'il corrige la réponse si elle est fausse.

Exercice 12 (★★★)

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), d'unité 1 cm, on considère les points \(G(3~; -2)\), \(H(4~; 1)\) et \(K(-4~; 2)\).

Tracer la figure.
Calculer le périmètre du triangle \(GHK\). Donner la valeur exacte et l'arrondi au dixième près.
Ce triangle est-il isocèle ? Justifier.
Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[step=1cm,gray!30,very thin] (-5,-3) grid (5,3);
  \draw[->] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
  \filldraw (3,-2) circle (1.5pt) node[below right] {$G$};
  \filldraw (4,1) circle (1.5pt) node[above right] {$H$};
  \filldraw (-4,2) circle (1.5pt) node[above left] {$K$};
  \draw (3,-2) -- (4,1) -- (-4,2) -- cycle;
\end{tikzpicture}

Exercice 13 (★★★)

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), d'unité 1 cm, on considère les points \(R(-2~; 2)\), \(S(3~; 3)\) et \(T(4~; -2)\).

Tracer la figure.
Le triangle \(RST\) est-il rectangle ? Détailler les calculs et justifier.

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[step=1cm,gray!30,very thin] (-3,-3) grid (5,4);
  \draw[->] (-3,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-3) -- (0,4) node[above] {$y$};
  \filldraw (-2,2) circle (1.5pt) node[above left] {$R$};
  \filldraw (3,3) circle (1.5pt) node[above right] {$S$};
  \filldraw (4,-2) circle (1.5pt) node[below right] {$T$};
  \draw (-2,2) -- (3,3) -- (4,-2) -- cycle;
\end{tikzpicture}

Exercice 14 (★★★)

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), d'unité 1 cm, on considère les points \(E(-4~; -2)\), \(F(1~; 8)\), \(G(7~; 6)\) et \(H(2~; -4)\).

Tracer la figure.
Le quadrilatère \(EFGH\) est-il un parallélogramme ? Détailler les calculs et justifier (quatre calculs suffisent pour répondre).

Exercice 15 (★★★)

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), d'unité 1 cm, on considère les points \(A(-1~; 4)\), \(B(4~; 5)\), \(C(3~; 0)\) et \(D(-2~; -1)\).

Tracer le quadrilatère \(ABCD\).
Le quadrilatère \(ABCD\) est-il un losange ? Détailler les calculs et justifier en citant une propriété.

Exercice 16 (★★★)

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), d'unité 1 cm, on considère les points \(A(-6~; -1)\), \(B(-2~; 7)\), \(C(2~; 5)\) et \(D(-2~; -3)\).

Tracer le quadrilatère \(ABCD\).
Quelle est la nature exacte du quadrilatère \(ABCD\) ? Détailler les calculs et démontrer la réponse.

Exercice 17 (★★☆)

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), d'unité 1 cm, on considère les points \(A(2~; -2)\), \(B(7~; -5)\) et \(C(9~; 4)\).

Démontrer que \(B\) appartient au cercle de centre \(C\) passant par \(A\).

Corrigé

Pour démontrer que le point \(B\) appartient au cercle de centre \(C\) passant par \(A\), il faut vérifier que la distance \(BC\) est égale à la distance \(AC\).

Calculons les distances :

Distance \(AC\) :

\[AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(9 - 2)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}\]

Distance \(BC\) :

\[BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(9 - 7)^2 + (4 - (-5))^2} = \sqrt{2^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}\]

Comme \(AC = BC\), le point \(B\) appartient bien au cercle de centre \(C\) passant par \(A\).

Exercice 18 (★★☆)

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), d'unité 1 cm, on considère le point \(A(5~; -1)\).

\(C\) est le cercle de centre \(A\) et de rayon 4.

Tracer la figure.
Déterminer les points d'ordonnée \(2\) qui sont sur le cercle \(C\) (donner les valeurs exactes des abscisses possibles).

Corrigé

Figure

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[step=1cm,gray!30,very thin] (0,-5) grid (10,5);
  \draw[->] (0,0) -- (10,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
  \filldraw (5,-1) circle (1.5pt) node[below right] {$A$};
  \draw (5,-1) circle (4);
\end{tikzpicture}

Si un point \(M(x~; 2)\) appartient au cercle \(C\), alors la distance \(AM\) est égale au rayon du cercle, soit 4.

Soit \(AM=\sqrt{(x - 5)^2 + (2 - (-1))^2} = 4\).

\(\Rightarrow (x - 5)^2 + (2 + 1)^2 = 16\)

\(Rightarrow (x - 5)^2 + 9 = 16\)

\(\Rightarrow (x - 5)^2 = 7\)

\(\Rightarrow x - 5 = \pm \sqrt{7}\)

\(\Rightarrow x = 5 \pm \sqrt{7}\)

Exercice 19 (★★☆)

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), d'unité 1 cm, on considère les points \(A(2~; -3)\) et \(B(-4~; 5)\).

Les points \(M(3~; 4)\) et \(N(20~; 17)\) appartiennent-ils à la médiatrice du segment \([AB]\) ?

Corrigé

Pour vérifier si un point appartient à la médiatrice d'un segment, il faut vérifier que ce point est équidistant des deux extrémités du segment.

Calculons la distance \(AM\) et \(BM\) pour le point \(M(3~; 4)\) :
- Distance \(AM\) :
\[AM = \sqrt{(3 - 2)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}\]
- Distance \(BM\) :
\[BM = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}\]

Comme \(AM = BM\), le point \(M\) appartient à la médiatrice du segment \([AB]\).
Calculons la distance \(AN\) et \(BN\) pour le point \(N(20~; 17)\) :
- Distance \(AN\) :
\[AN = \sqrt{(20 - 2)^2 + (17 - (-3))^2} = \sqrt{18^2 + 20^2} = \sqrt{324 + 400} = \sqrt{724}\]
- Distance \(BN\) :
\[BN = \sqrt{(20 - (-4))^2 + (17 - 5)^2} = \sqrt{24^2 + 12^2} = \sqrt{576 + 144} = \sqrt{720}\]

Comme \(AN \neq BN\), le point \(N\) n'appartient pas à la médiatrice du segment \([AB]\).

Si ...	...
Alors	return("ABCD est un parallélogramme")
Sinon	return("ABCD n'est pas un parallélogramme")