Chapitre 3 : Configurations planes dans un repère

1. Repère du plan

A. Coordonnées d'un point dans un repère

Définition

Un repère du plan est défini par trois points non alignés O, I et J, noté \((O, I, J)\).

\((OI)\) et \((OJ)\), sécantes en \(O\), sont les axes du repère.

• \(O\) est l'origine du repère.
• \((OI)\) est l'axe des abscisses.
• \((OJ)\) est l'axe des ordonnées.

Cas particuliers

• Si \((OI)\) et \((OJ)\) sont perpendiculaires, le repère \((O, I, J)\) est dit orthogonal.
• Si, de plus, \(OI = OJ = 1\), le repère est dit orthonormal.

Définition

Soit \(M\) un point du plan muni du repère \((O, I, J)\).

En traçant la parallèle à chaque axe passant par M, on obtient deux points H et K.

• L'abscisse de \(M\), notée \(x_M\), est l'abscisse de H sur \((OI)\).
• L'ordonnée de \(M\), notée \(y_M\), est l'abscisse de K sur \((OJ)\).

Le couple \((x_M~; y_M)\) est le couple des coordonnées du point \(M\) dans le repère \((O, I, J)\).

Exemple

• \(O\) a pour coordonnées \((0~; 0)\).
• \(I\) a pour coordonnées \((1~; 0)\).
• \(J\) a pour coordonnées \((0~; 1)\).
• \(M\) a pour coordonnées \((3~; 2)\).

Éthymologie

• "Orthogonal" vient du grec orthos (droit) et gonos (angle).
• "Orthonormal" vient du grec orthos (droit) et du latin norma (équerre).
• "Abscisse" vient du latin abscissa (coupée).
• "Ordonnée" vient du latin ordinare (mettre en ordre).

B. Coordonnées du milieu d'un segment

Propriété

Soit \(A(x_A~; y_A)\) et \(B(x_B~; y_B)\) deux points du plan muni d'un repère \((O, I, J)\).

Le milieu \(M\) du segment \([AB]\) a pour coordonnées :

\[\left( \dfrac{x_A + x_B}{2}~; \dfrac{y_A + y_B}{2} \right).\]

Exemple

Si \(A(2~; 1)\) et \(B(5~; -1)\), alors :

\[ M\left( \dfrac{2 + 5}{2}~; \dfrac{1 + (-1)}{2} \right) = \left( \dfrac{7}{2}~; 0 \right). \]

C. Distance entre deux points

Propriété

Soit \(A(x_A~; y_A)\) et \(B(x_B~; y_B)\) deux points du plan muni d'un repère orthonormal \((O, I, J)\).

La distance entre A et B est donnée par :

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]

Preuve

Le triangle \(ABM\) est rectangle en M. D'après le théorème de Pythagore :

\[ AB^2 = AM^2 + MB^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_B - y_M)^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2. \]

Donc :

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]

Exemple

Si \(A(2~; 2)\) et \(B(5~; 3)\), alors :

\[ AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}. \]

2. Distance et ensemble de points

A. Cercle et disque

Définition

• Le cercle de centre O et de rayon \(r\) est l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(OM = r\).
• Le disque de centre O et de rayon \(r\) est l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(OM < r\).
• La tangente à un cercle de centre O en un point A est la droite passant par A et perpendiculaire au rayon \([OA]\). Un cercle et la tangente en l'un de ses points ont un unique point commun.

B. Médiatrices et triangle

Définition

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Propriété

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Propriété

Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point O, qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Propriété

Dans un triangle rectangle, les médiatrices des deux côtés adjacents à l'angle droit se coupent au milieu de l'hypoténuse.

Le cercle circonscrit d'un triangle rectangle est donc le cercle de centre le milieu de l'hypoténuse et de rayon la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Exemple

\(M \in d \Leftrightarrow MA = MB\), où \(d\) est la médiatrice de \([AB]\).