Chapitre 1 : Ensembles de nombres et intervalles - Exercices

Ensembles de nombres

Exercice 1 (★☆☆) : Appartenance aux ensembles

Compléter par \(\in\) ou \(\notin\) :

1. \(5 \ldots \mathbb{N}\) ; \(5 \ldots \mathbb{Z}\) ; \(5 \ldots \mathbb{D}\) ; \(5 \ldots \mathbb{Q}\) ; \(5 \ldots \mathbb{R}\).
2. \(-\dfrac{45}{9} \ldots \mathbb{N}\) ; \(-\dfrac{45}{9} \ldots \mathbb{Z}\) ; \(-\dfrac{45}{9} \ldots \mathbb{D}\) ; \(-\dfrac{45}{9} \ldots \mathbb{Q}\) ; \(-\dfrac{45}{9} \ldots \mathbb{R}\).
3. \(\dfrac{7}{8} \ldots \mathbb{N}\) ; \(\dfrac{7}{8} \ldots \mathbb{Z}\) ; \(\dfrac{7}{8} \ldots \mathbb{D}\) ; \(\dfrac{7}{8} \ldots \mathbb{Q}\) ; \(\dfrac{7}{8} \ldots \mathbb{R}\).

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Exercice 2 (★☆☆) : Vrai ou faux

Compléter le tableau suivant :

Nombre	\(\in \mathbb{N}\)	\(\in \mathbb{Z}\)	\(\in \mathbb{D}\)	\(\in \mathbb{Q}\)	\(\in \mathbb{R}\)
\(\dfrac{5}{3} - \dfrac{7}{3}\)
\(\sqrt{7}\)
\(2,8 \times 10^5\)
\(3 \times 10^{-7}\)
\(\dfrac{\pi}{5}\)
\(3 - \sqrt{5} \times 8 - 4\)
\(\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{4}\right) \times 24\)

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Exercice 3 (★☆☆) : Nombres décimaux

Entourer les nombres rationnels qui appartiennent à \(\mathbb{D}\) :

\[\dfrac{5}{2} \quad\quad \dfrac{5}{3} \quad\quad \dfrac{10}{26} \quad\quad -\dfrac{45}{25} \quad\quad \dfrac{47}{20} \quad\quad -\dfrac{12}{5} \quad\quad -\dfrac{28}{3}\]

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Exercice 4 (★★☆) : Nombres rationnels

Entourer les réels qui appartiennent à \(\mathbb{Q}\) :

\[8^{456} \quad\quad \dfrac{\sqrt{3}}{7} \times \dfrac{\sqrt{3}}{7} \quad\quad \sqrt{7} + 2 \quad\quad \dfrac{5\pi}{7\pi} \quad\quad \dfrac{\pi}{1000}\]

\[\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{121}} \quad\quad \dfrac{3}{|\sqrt{2} - \sqrt{3}|^2} \quad\quad 7,5\]

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Exercice 5 (★★☆) : Développement décimal périodique

1. Montrer que \(\dfrac{45}{17}\) et \(\dfrac{458}{784}\) ont un développement décimal périodique (utiliser une calculatrice).

2. Trouver l’écriture fractionnaire de \(y = 0,00723723723\ldots\) en suivant la méthode :

   \(\Rightarrow 1000y = 7,23723723723\ldots\)

   \(\Rightarrow 1000y = 7,23 + y\)

   \(\Rightarrow\) En déduire \(y\).

3. En déduire l’écriture fractionnaire de \(4,24723723723\ldots\).

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Exercice 6 (★★★) : Démonstration par l'absurde

Compléter la démonstration suivante pour montrer que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) :

Supposons que \(\sqrt{2}\) est un nombre rationnel. Comme \(\sqrt{2} > 0\), il existe \(p \in \mathbb{N}^*\) et \(q \in \mathbb{N}^*\) tels que \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\), où \(\dfrac{p}{q}\) est irréductible.

On a alors :

\[\dfrac{p^2}{q^2} = 2 \Rightarrow p^2 = 2q^2.\]

On en déduit que \(p^2\) est un nombre pair. Comme le carré d’un nombre impair est impair, \(p\) est donc pair.

Comme \(p\) est pair, il existe \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(p = 2n\). En remplaçant dans l’égalité (1) :

\[(2n)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4n^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2n^2.\]

On en déduit que \(q^2\) est pair, et donc que \(q\) est pair.

Conclusion : \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs, ce qui contredit l’hypothèse que \(\dfrac{p}{q}\) est irréductible. Donc \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).

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Exercice 7 (★★★) : Démonstration par l'absurde

Compléter la démonstration suivante pour montrer que \(\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}\) :

Supposons que \(\dfrac{1}{3}\) est un nombre décimal. Comme \(0 < \dfrac{1}{3} < 1\), il existe \(n \in \mathbb{N}\) et \(p \in \mathbb{N}\) tels que :

\[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{10^p}. \]

Or, \(10^p\) n’est divisible que par 2 et 5, donc 10^p n’est pas divisible par 3.

Conclusion : \(\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}\).

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Intervalles

Exercice 8 (★☆☆) : QCM sur les intervalles

Dans chaque question, déterminer la (ou les) bonne(s) réponse(s) :

1. L’intervalle \([1; 3]\) :

   • est borné.
   • est ouvert en 1.
   • est ouvert en 3.
   • contient une infinité de nombres réels.

2. L’intervalle \(]-\infty; 5]\) :

   • est borné.
   • contient le nombre 5.
   • est ouvert en 5.
   • s’écrit avec le nombre réel \(-\infty\).

3. L’ensemble \([0; 1[ \cup ]1; +\infty[\) :

   • contient 0.
   • contient 1.
   • est un intervalle.
   • est l’intersection des intervalles \([0; 1]\) et \([1; +\infty[\).

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Exercice 9 (★☆☆) : Appartenance à un intervalle

Compléter par \(\in\) ou \(\notin\) :

Nombre	Intervalle	Appartenance
\(-\dfrac{1}{5}\)	\([-5; 0]\)
\(-4\)	\(]-\infty; -4[\)
\(10^{-7}\)	\(]-\infty; 0[\)
\(\dfrac{1}{3}\)	\([0; 0,33]\)
\(5^0\)	\(]\dfrac{1}{5}; 1]\)
\(-3,14\)	\([-5; -\pi]\)
\(2\)	\([1; 3]\)
\(4\)	\(\mathbb{R} \setminus [1; 4[\)
\(\pi - 3\)	\(\mathbb{R}\)
\(3\)	\(]-\infty; 3[ \cup ]3; 5[\)
\(-7\)	\(\mathbb{N}\)
\(1\)	\([1; 5[ \cup ]3; 7]\)

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Exercice 10 (★★☆) : Inégalités et intervalles

Compléter avec des inégalités :

Intervalle	Inégalité
\(x \in [-7; 3]\)
\(x \in ]-\infty; 4[\)
\(x \in ]-\infty; 7[\)
\(x \in [-2; +\infty[\)
\(x \in ]0; 3[\)
\(x \in ]2; 13[\)

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Exercice 11 (★★☆) : Intervalles et inégalités

Compléter avec des intervalles :

Inégalité	Intervalle
\(-2 < x \leqslant 7\)
\(x \geqslant -4\)
\(12 > x\)
\(5 \geqslant x > 1\)
\(x \geqslant 1\) et \(x \leqslant 4\)
\(x < 0\)

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Exercice 12 (★★☆) : Compléter les phrases

Compléter les phrases suivantes :

1. L'ensemble de tous les nombres réels négatifs s'écrit \(\dots\).
2. L'ensemble de tous les nombres réels strictement positifs s'écrit \(\dots\).
3. L'ensemble de tous les nombres réels strictement compris entre 7 et 9 s'écrit \(\dots\).
4. L'ensemble vide s'écrit \(\dots\).
5. L'ensemble ne contenant que -2 et 2 s'écrit \(\dots\).

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Exercice 13 (★★☆) : Inégalités vers intervalles

Compléter avec des intervalles :

Inégalité	Intervalle
\(-1 < x < 7\)
\(x \leqslant 7\)
\(6x + 4 \leqslant 0\)
\(-6x + 9 > 0\)
\(\dfrac{x}{3} > 0\)

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Exercice 14 (★★☆) : Réunion et intersection

Compléter les égalités suivantes :

Opération	Résultat
\(]-\infty; 2] \cap [1; 6]\)
\(]-\infty; 2] \cup [1; 6]\)
\([-5; 0] \cap [-1; 1]\)
\([-5; 0] \cup [-1; 1]\)
\([-5; 2] \cap [2; +\infty[\)
\([-5; 2] \cup [2; +\infty[\)
\([0; 4] \cap [4; 7]\)
\([0; 4] \cup [4; 7]\)
\(]-\infty; 5] \cap [-3; 0]\)
\(]-\infty; 5] \cup [-3; 0]\)

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Exercice 15 (★★☆) : « ou » et « et »

Compléter les phrases suivantes :

1. L'ensemble des réels \(x\) tels que \(x \geqslant 3\) et \(x \leqslant 8\) s'écrit ...
2. L'ensemble des réels \(x\) tels que \(x \geqslant 3\) ou \(x \leqslant 8\) s'écrit ...
3. L'ensemble des réels \(x\) tels que \(x < 6\) et \(x \leqslant 9\) s'écrit ...
4. L'ensemble des réels \(x\) tels que \(x < 6\) ou \(x \leqslant 9\) s'écrit ...
5. L'ensemble des réels \(x\) tels que \(x > 3\) et \(x \leqslant 0\) s'écrit ...
6. L'ensemble des réels \(x\) tels que \(x > 3\) ou \(x \leqslant 0\) s'écrit ...
7. L'ensemble de tous les nombres réels sauf \(-2\) s'écrit ...
8. L'ensemble de tous les nombres réels non nuls s'écrit ...

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Exercice 16 (★★☆) : Représentation graphique

1. Sur la droite des réels, représenter :

   • en bleu l'ensemble des réels \(x\), tels que \(|x + 2| < 8\)
   • en vert l'ensemble des réels \(x\), tels que \(|x - 1| < 3\)

2. Donner tous les entiers appartenant en même temps aux deux ensembles précédents.

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  \draw[->] (-10,0) -- (10,0) node[right]{$x$};
  \foreach \x in {-8,-7,...,9} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below]{\x};
  % Ajoutez ici les représentations des intervalles
\end{tikzpicture}

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Valeur absolue

Exercice 17 (★☆☆) : QCM sur la valeur absolue

Parmi les égalités ci-dessous, lesquelles sont vraies ?

• \(|\sqrt{3} - 1| = 1 - \sqrt{3}\)
• \(|\pi - 3| = \pi - 3\)
• \(|10^{-5}| = 10^{5}\)
• \(|\sqrt{2} - 1,5| = 1,5 - \sqrt{2}\)
• \(\left| -\dfrac{4}{7} \right| = \dfrac{4}{7}\)
• \(\left| \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2} \right| = \dfrac{1}{3}\)
• \(|10^{3} - 10^{4}| = 10^{3} - 10^{4}\)
• \(|10^{-3} - 10^{-4}| = 10^{-3} - 10^{-4}\)

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Exercice 18 (★☆☆) : Comparaison de valeurs absolues

Compléter par \(\leqslant\) ou \(\geqslant\) :

1. \(|2,7| \ldots |3,8|\)
2. \(|-2,7| \ldots |-2,4|\)
3. \(1 - \pi \ldots |3,14|\)
4. \(-1,41 \ldots |-\sqrt{2}|\)

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Exercice 19 (★★☆) : Inégalité concernant \(|x|\)

Dans chacun des cas suivants, déterminer une inégalité concernant \(|x|\) :

1. \(x \leqslant -7\)
2. \(x \geqslant 3\)
3. \(x \leqslant -4\)
4. \(-3 \leqslant x \leqslant 8\)
5. \(-4 < x \leqslant 4\)
6. \(-4 < x < 2\)

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Exercice 20 (★★☆) : Simplifications

Soit \(a \in \mathbb{R}^+\) et \(b \in \mathbb{R}^-\). Simplifier :

1. \(|ab|\)
2. \(|a + 3|\)
3. \(|4 - b|\)
4. \(|b - a|\)
5. \(\left| \dfrac{b}{a} \right|\)
6. \(|a| \times |b|\)

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Exercice 21 (★★☆) : Valeur absolue d'un produit et d'un quotient

1. Compléter le tableau ci-dessous :

   x	3	-2	3	-4	5	-4
   y	4	3	-5	-3	-7	0,1
   \(\vert x \vert \times \vert y \vert\)
   \(xy\)
   \(\vert xy \vert\)

2. Que peut-on conjecturer concernant la valeur absolue d'un produit de deux réels ?

3. Démontrer ce résultat dans les cas ci-dessous :

   a. \(x \geqslant 0\) et \(y \geqslant 0\)

   b. \(x \leqslant 0\) et \(y \geqslant 0\)

   c. \(x \geqslant 0\) et \(y \leqslant 0\)

   d. \(x \leqslant 0\) et \(y \leqslant 0\)

   Conclure.

4. Quel résultat analogue peut-on imaginer concernant la valeur absolue d'un quotient ? Démontrer-le.

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Exercice 22 (★★☆) : \(\sqrt{x^2}\)

1. Calculer :

   • \(\sqrt{3^2}\)
   • \(\sqrt{7^2}\)
   • \(\sqrt{(-11)^2}\)
   • \(\sqrt{(-7)^2}\)

2. Conjecturer une formule permettant de simplifier l'écriture de \(\sqrt{x^2}\).

3. Simplifier :

   • \(A = \sqrt{2 - \sqrt{3}^2}\)
   • \(B = \sqrt{\sqrt{10} - 3^2}\)

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Exercice 23 (★★★) : Équation de la forme \(|x| = k\)

1. Soit \(k \in \mathbb{R}_+^*\). Quel est l'ensemble des solutions de l'équation \(|x| = k\) ?

2. Résoudre l'équation \(|x| = 0\).

3. Soit \(k \in \mathbb{R}_-^*\).

   • Déterminer le (ou les) réel(s) positif(s) solution(s) de l'équation \(|x| = k\).
   • Déterminer le (ou les) réel(s) négatif(s) solution(s) de l'équation \(|x| = k\).

Conclure.

1. Résoudre par le calcul les équations suivantes :
   • \(|x| = 3,5\)
   • \(|x| = -2\)
   • \(|x| = 1 - \sqrt{2}\)

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Exercice 24 (★★★) : Distance entre deux nombres réels

1. Dans chacun des cas, calculer la distance entre les réels :

   • \(-4\) et \(8\)
   • \(-3\sqrt{2}\) et \(-5\sqrt{2}\)
   • \(\pi\) et \(3\pi\)

2. Dans chacun des cas, donner une interprétation en terme de distance :

   • \(\left| \dfrac{1}{3} - \sqrt{2} \right|\)
   • \(\left| \sqrt{3} + \dfrac{1}{7} \right|\)
   • \(|x + 2|\)
   • \(\left| \sqrt{3} - x \right|\)

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Exercice 25 (★★★) : Représenter un ensemble

1. Sur la droite des réels, représenter :

   • en bleu l'ensemble des réels \(x\), tels que \(|x + 2| < 8\)
   • en vert l'ensemble des réels \(x\), tels que \(|x - 1| < 3\)

2. Donner tous les entiers appartenant en même temps aux deux ensembles précédents.

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  \draw[->] (-10,0) -- (10,0) node[right]{$x$};
  \foreach \x in {-8,-7,...,9} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below]{\x};
  % Ajoutez ici les représentations des intervalles
\end{tikzpicture}

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Exercice 26 (★★★) : Valeur absolue vers intervalle

Compléter :

1. \(|x| \leqslant 8 \Leftrightarrow x \in [ \dots ; \dots ]\)
2. \(|x - 7| < 5 \Leftrightarrow \dots\)
3. \(|x| < \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dots\)
4. \(|x - \sqrt{3}| \leqslant 5 \Leftrightarrow \dots\)
5. \(|x + 2| < 5 \Leftrightarrow \dots\)
6. \(|x| \geqslant 7 \Leftrightarrow \dots\)
7. \(|x - 2| \geqslant 3 \Leftrightarrow \dots\)

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Exercice 27 (★★★) : Intervalle vers valeur absolue

Compléter :

1. \(x \in [-8; 8] \Leftrightarrow |x| \dots\)
2. \(x \in [-7; 3] \Leftrightarrow \dots\)
3. \(x \in [2; 13] \Leftrightarrow \dots\)
4. \(x \in ]-\infty; -3] \cup [3; +\infty[ \Leftrightarrow \dots\)
5. \(x \in ]-\infty; -7] \cup [7; +\infty[ \Leftrightarrow \dots\)
6. \(x \in ]-\infty; 3] \cup [7; +\infty[ \Leftrightarrow \dots\)

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Exercice 28 (★★★) : Représenter un ensemble

1. Dans un repère, représenter :

   • en vert l'ensemble des points \(M(x; y)\) tels que \(|x| = 3\)
   • en rouge l'ensemble des points \(M(x; y)\) tels que \(|y| = 2\)

2. Où sont situés les points tels que \(|x| = 3\) et \(|y| = 2\) ?

3. Dans ce même repère, représenter l'ensemble des points \(M(x; y)\) tels que \(|x| \leqslant 3\) et \(|y| \leqslant 2\).

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  \draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
  \draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$};
  % Ajoutez ici les représentations des ensembles
\end{tikzpicture}

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Exercice 29 (★★★) : Représenter un ensemble

Dans un repère orthonormé, représenter l'ensemble des points \(M(x; y)\) vérifiant :

\[ \begin{cases} x \in \mathbb{Z} \\ y \in \mathbb{N} \\ |x - 1| \leqslant 4 \\ |y + 1,5| > 2 \end{cases} \]

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  \draw[->] (-5,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
  \draw[->] (0,-3) -- (0,5) node[above]{$y$};
  \foreach \x in {-4,-3,...,4} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below]{\x};
  \foreach \y in {0,1,...,4} \draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left]{\y};
  % Ajoutez ici les points vérifiant les conditions
\end{tikzpicture}

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📌 Encadrements et arrondis

Exercice 30 (★☆☆) : Attention à la calculatrice

1. À l'aide de la calculatrice, donner l'arrondi de \(\dfrac{946}{34621}\) à :

   • l'unité près.
   • \(10^{-1}\) près.
   • \(10^{-2}\) près.
   • \(10^{-4}\) près.
   • \(10^{-5}\) près.
   • \(10^{-10}\) près.

2. a. À l'aide de la calculatrice, donner les arrondis à \(10^{-14}\) près de \(\dfrac{8712870}{48506557}\) et \(\dfrac{505149}{2812281}\).

   b. Peut-on conclure que ces deux nombres sont égaux ?

3. Peut-on dire que les nombres \(\pi\) et \(\dfrac{1980127}{630294}\) sont égaux ?

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Exercice 31 (★★☆) : Encadrement décimal

Pour chaque nombre, donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement décimal d'amplitude \(10^{-3}\), puis donner l'arrondi au millième :

1. \(\sqrt{5}\)
2. \(-\dfrac{8}{3}\)
3. \(\pi\)

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Exercice 32 (★★★) : Encadrements décimaux de \(\pi\)

1. Vers 250 avant J.-C., Archimède démontre que \(\dfrac{223}{71} < \pi < \dfrac{22}{7}\).

   a. Est-ce un encadrement décimal de \(\pi\) ?

   b. Déterminer l'amplitude (arrondi au millième) de cet encadrement.

2. En Inde, vers 380 avant J.-C., \(3 + \dfrac{177}{1250}\) est utilisé comme valeur approchée de \(\pi\). Est-ce une bonne valeur approchée de \(\pi\) ? Si oui, à combien près ?

3. En Chine, au 5ème siècle, \(\dfrac{355}{113}\) est utilisé comme valeur approchée de \(\pi\). Est-ce une bonne valeur approchée de \(\pi\) ? Si oui, à combien près ?

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📌 Algorithme et valeur absolue

Exercice 33 (★★☆) : Algorithme de Héron

L'algorithme de Héron d'Alexandrie (mathématicien grec du 1er siècle) permet de calculer des valeurs approchées de \(\sqrt{a}\) (\(a > 0\)).

L'idée est la suivante :

On considère un rectangle d'aire \(a\) et dont les côtés mesurent \(u\) et \(\dfrac{a}{u}\) où \(u\) est un nombre positif, si possible proche de \(\sqrt{a}\).

Pour rendre ce rectangle « un peu plus carré », on construit le rectangle de même aire ayant pour longueur d'un côté la moyenne des deux mesures du rectangle précédent : \(\dfrac{u + \frac{a}{u}}{2}\).

En réitérant indéfiniment l'opération, on construit une suite de longueurs de rectangles qui va tendre vers \(\sqrt{a}\), c'est-à-dire vers la longueur du côté du carré d'aire \(a\).

Pour résumer :

\(\bullet\) étape 1 : on choisit un nombre \(u\) strictement positif.

\(\bullet\) étape 2 : on calcule \(\dfrac{u + \frac{a}{u}}{2}\).

\(\bullet\) étape 3 : on applique à nouveau cette formule en remplaçant \(u\) par la valeur trouvée à l'étape précédente.

1. Expliquer ce que fait l'algorithme ci-dessous écrit en Python :

   def Racine(a, n):
       u = 1
       for i in range(1, n+1):
           u = (u + a/u) / 2
       return u
   Racine(5, 3)
   Racine(5, 7)
   Racine(5, 10)
   

2. Que peut-on reprocher à cette fonction Racine ?

   Que se passe-t-il si on choisit une valeur initiale de u très éloignée de \(\sqrt{a}\) ?

3. On souhaite calculer les termes de l'algorithme tant que la distance entre deux termes successifs est supérieure ou égale à un nombre \(p\) donné.

   Écrire une nouvelle fonction Racine de paramètres \(a\) et \(p\) qui renvoie la valeur de \(\sqrt{a}\) ainsi calculée.

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Exercice 34 (★★★) : Implémentation en Python

Écrire une fonction Python appartient_intervalle(a, b, x) qui renvoie True si \(x \in [a; b]\), et False sinon.

Exemple :

appartient_intervalle(1, 5, 3)  # Doit renvoyer True
appartient_intervalle(1, 5, 6)  # Doit renvoyer False

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Exercice 35 (★★★) : Distance entre deux réels

Écrire une fonction Python distance(a, b) qui calcule \(|a - b|\).

Exemple :

distance(-4, 8)  # Doit renvoyer 12
distance(3, -2)  # Doit renvoyer 5