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Chapitre 1 : Ensembles de nombres et intervalles

1. Les principaux ensembles de nombres

A. Définitions et notations

Définition

Ensemble des entiers naturels (\(\mathbb{N}\)) : \(\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; \dots\}\).

Exemple : \(5 \in \mathbb{N}\), \(-2 \notin \mathbb{N}\).

Définition

Ensemble des entiers relatifs (\(\mathbb{Z}\)) : \(\mathbb{Z} = \{\dots; -2; -1; 0; 1; 2; \dots\}\).

Exemple : \(-3 \in \mathbb{Z}\), \(\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\).

Définition

Ensemble des nombres décimaux (\(\mathbb{D}\)) : Nombres de la forme \(n \times 10^p\) avec \(n \in \mathbb{Z}\) et \(p \in \mathbb{Z}\).

Exemple : \(0,26 = 26 \times 10^{-2} \in \mathbb{D}\), \(\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}\).

Définition

Ensemble des nombres rationnels (\(\mathbb{Q}\)) : Nombres de la forme \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p \in \mathbb{Z}\) et \(q \in \mathbb{Z}^*\).

Exemple : \(\dfrac{2}{3} \in \mathbb{Q}\), \(5 = \dfrac{5}{1} \in \mathbb{Q}\), \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).

Définition

Ensemble des nombres irrationnels (\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)) : Nombres réels non rationnels.

Exemple : \(\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), \(\pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Définition

Ensemble des nombres réels (\(\mathbb{R}\)) : Union de \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

Remarque : \(\mathbb{R}\) est l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée.

Remarque

Inclusions entre ensembles :

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

Ensembles

B. Nombres irrationnels

Attention

Un nombre est irrationnel s'il ne peut pas s'écrire sous la forme \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p \in \mathbb{Z}\) et \(q \in \mathbb{Z}^*\).

Exemple

\(\sqrt{2}\) et \(\pi\) sont des nombres irrationnels.

Preuve

Preuve par l'absurde que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) :

Supposons que \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\). Alors il existe \(p \in \mathbb{N}^*\) et \(q \in \mathbb{N}^*\) premiers entre eux tels que :

\[\sqrt{2} = \dfrac{p}{q} \Rightarrow p^2 = 2q^2.\]

Donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair (car le carré d'un nombre impair est impair). Soit \(p = 2k\) avec \(k \in \mathbb{N}^*\).

En remplaçant : \((2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2\).

Donc \(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair. Mais alors \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse qu'ils sont premiers entre eux.

Conclusion : \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).

2. Intervalles de \(\mathbb{R}\)

A. Définitions et notations

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a < b\). Un intervalle est un ensemble de réels compris entre \(a\) et \(b\) (ou au-delà).

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  \draw[->] (-1,0) -- (6,0) node[right]{$x$};
  \foreach \x in {0,1,...,5} \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below]{\x};
  \draw[thick] (1,0) -- (4,0);
  \draw[fill] (1,0) circle (2pt) node[above]{$a$};
  \draw[fill] (4,0) circle (2pt) node[above]{$b$};
  \node at (2.5,0.5) {$[a; b]$};
\end{tikzpicture}

Notations des intervalles

\begin{tikzpicture}[every node/.style={anchor=center}]

% --- 1. Définition des dimensions (en cm) ---
\def\cA{4}     % Largeur colonne 1 (Type)
\def\cB{2.5}   % Largeur colonne 2 (Notation)
\def\cC{3.5}   % Largeur colonne 3 (Inégalité)
\def\cD{3.5}   % Largeur colonne 4 (Représentation)
\def\rh{1.2}   % Hauteur des lignes

% --- 2. Calculs des coordonnées pour la colonne 4 ---
\pgfmathsetmacro{\xStartCol}{\cA+\cB+\cC}       % Bord gauche col 4
\pgfmathsetmacro{\xMidCol}{\xStartCol+\cD/2}    % Milieu col 4
\pgfmathsetmacro{\xLeft}{\xMidCol - 1}          % Point a (à gauche)
\pgfmathsetmacro{\xRight}{\xMidCol + 1}         % Point b (à droite)
\pgfmathsetmacro{\xArrowL}{\xLeft - 0.5}        % Bout de la flèche gauche
\pgfmathsetmacro{\xArrowR}{\xRight + 0.5}       % Bout de la flèche droite

% --- 3. Dessin de la grille du tableau ---
% Lignes horizontales
\foreach \i in {0,...,6} {
    \draw ({\cA+\cB+\cC+\cD}, -\i*\rh) -- (0, -\i*\rh);
}
% Lignes verticales
\draw (0, 0) -- (0, -6*\rh);
\draw (\cA, 0) -- (\cA, -6*\rh);
\draw ({\cA+\cB}, 0) -- ({\cA+\cB}, -6*\rh);
\draw (\xStartCol, 0) -- (\xStartCol, -6*\rh);
\draw ({\cA+\cB+\cC+\cD}, 0) -- ({\cA+\cB+\cC+\cD}, -6*\rh);

% --- 4. Insertion des en-têtes ---
\node[font=\bfseries] at ({\cA/2}, -0.5*\rh) {Type};
\node[font=\bfseries] at ({\cA+\cB/2}, -0.5*\rh) {Notation};
\node[font=\bfseries] at ({\cA+\cB+\cC/2}, -0.5*\rh) {Inégalité};
\node[font=\bfseries] at (\xMidCol, -0.5*\rh) {Représentation};

% --- 5. Insertion du texte des lignes ---
% Ligne 1 : Fermé
\node at ({\cA/2}, -1.5*\rh) {Fermé};
\node at ({\cA+\cB/2}, -1.5*\rh) {$[a; b]$};
\node at ({\cA+\cB+\cC/2}, -1.5*\rh) {$a \leq x \leq b$};

% Ligne 2 : Ouvert
\node at ({\cA/2}, -2.5*\rh) {Ouvert};
\node at ({\cA+\cB/2}, -2.5*\rh) {$]a; b[$};
\node at ({\cA+\cB+\cC/2}, -2.5*\rh) {$a < x < b$};

% Ligne 3 : Semi-ouvert à gauche
\node at ({\cA/2}, -3.5*\rh) {Semi-ouvert à gauche};
\node at ({\cA+\cB/2}, -3.5*\rh) {$]a; b]$};
\node at ({\cA+\cB+\cC/2}, -3.5*\rh) {$a < x \leq b$};

% Ligne 4 : Semi-ouvert à droite
\node at ({\cA/2}, -4.5*\rh) {Semi-ouvert à droite};
\node at ({\cA+\cB/2}, -4.5*\rh) {$[a; b[$};
\node at ({\cA+\cB+\cC/2}, -4.5*\rh) {$a \leq x < b$};

% Ligne 5 : Infini à droite
\node at ({\cA/2}, -5.5*\rh) {Infini à droite};
\node at ({\cA+\cB/2}, -5.5*\rh) {$[a; +\infty[$};
\node at ({\cA+\cB+\cC/2}, -5.5*\rh) {$x \geq a$};

% Ligne 6 : Infini à gauche
\node at ({\cA/2}, -6.5*\rh) {Infini à gauche};
\node at ({\cA+\cB/2}, -6.5*\rh) {$]-\infty; b]$};
\node at ({\cA+\cB+\cC/2}, -6.5*\rh) {$x \leq b$};

% --- 6. Dessin des figures (Dernière colonne) ---

% Figure 1 : Fermé (Fermé - Fermé)
\def\y{-1.5*\rh}
\draw[thick] (\xLeft, \y) -- (\xRight, \y);
\fill (\xLeft, \y) circle (2pt) node[below]{$a$};
\fill (\xRight, \y) circle (2pt) node[below]{$b$};

% Figure 2 : Ouvert (Ouvert - Ouvert)
\def\y{-2.5*\rh}
\draw[thick] (\xLeft, \y) -- (\xRight, \y);
% On remplit de blanc d'abord pour cacher la ligne, puis on trace le cercle
\fill[white] (\xLeft, \y) circle (2pt);
\draw[thick] (\xLeft, \y) circle (2pt) node[below]{$a$};
\fill[white] (\xRight, \y) circle (2pt);
\draw[thick] (\xRight, \y) circle (2pt) node[below]{$b$};

% Figure 3 : Semi-ouvert à gauche (Ouvert - Fermé)
\def\y{-3.5*\rh}
\draw[thick] (\xLeft, \y) -- (\xRight, \y);
\fill[white] (\xLeft, \y) circle (2pt);
\draw[thick] (\xLeft, \y) circle (2pt) node[below]{$a$};
\fill (\xRight, \y) circle (2pt) node[below]{$b$};

% Figure 4 : Semi-ouvert à droite (Fermé - Ouvert)
\def\y{-4.5*\rh}
\draw[thick] (\xLeft, \y) -- (\xRight, \y);
\fill (\xLeft, \y) circle (2pt) node[below]{$a$};
\fill[white] (\xRight, \y) circle (2pt);
\draw[thick] (\xRight, \y) circle (2pt) node[below]{$b$};

% Figure 5 : Infini à droite (Fermé - Flèche)
\def\y{-5.5*\rh}
\draw[thick] (\xLeft, \y) -- (\xRight, \y);
\draw[thick, ->] (\xRight, \y) -- (\xArrowR, \y);
\fill (\xLeft, \y) circle (2pt) node[below]{$a$};

% Figure 6 : Infini à gauche (Flèche - Fermé)
\def\y{-6.5*\rh}
\draw[thick] (\xLeft, \y) -- (\xRight, \y);
\draw[thick, <-] (\xArrowL, \y) -- (\xLeft, \y);
\fill (\xRight, \y) circle (2pt) node[below]{$b$};

\end{tikzpicture}

Remarque

  • \(]-\infty; +\infty[\) = \(\mathbb{R}\).
  • \(\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\) (réels non nuls).
  • \(\mathbb{R}_+ = [0; +\infty[\) (réels positifs).

B. Intersection et réunion d'intervalles

Définition

Soit \(A\) et \(B\) deux intervalles.

  • Intersection : \(A \cap B\) = ensemble des éléments communs à \(A\) et \(B\).

  • Réunion : \(A \cup B\) = ensemble des éléments appartenant à \(A\) ou à \(B\).

Exemple

  1. \([-3; 2] \cap [1; 4] = [1; 2]\).
  2. \([-3; 2] \cup [1; 4] = [-3; 4]\).
  3. \(]-\infty; 1[ \cap [2; +\infty[ = \emptyset\).

3. Valeur absolue

A. Définition et propriétés

Définition

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue de \(x\) est définie par :

\[|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases} \]

Propriétés

  1. \(|x| \geqslant 0\).
  2. \(|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
  3. \(|-x| = |x|\).
  4. \(|x \cdot y| = |x| \cdot |y|\).
  5. \(\left| \dfrac{x}{y} \right| = \dfrac{|x|}{|y|}\) si \(y \neq 0\).
  6. Distance entre deux réels : \(|a - b| = |b - a|\).

Exemple

  • \(|3| = 3\), \(|-5| = 5\), \(|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1\) (car \(\sqrt{2} > 1\)).

B. Inéquations avec valeurs absolues

Propriété

Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(r \in \mathbb{R}_+^*\).

  1. \(|x - a| \leqslant r \Leftrightarrow x \in [a - r; a + r]\).
  2. \(|x - a| < r \Leftrightarrow x \in ]a - r; a + r[\).
  3. \(|x - a| \geqslant r \Leftrightarrow x \in ]-\infty; a - r] \cup [a + r; +\infty[\).

Exemple

Résoudre \(|x - 3| \leqslant 2\) :

\[|x - 3| \leqslant 2 \Leftrightarrow x \in [3 - 2; 3 + 2] = [1; 5].\]
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[->] (0,0) -- (6,0) node[right]{$x$};
\draw[thick] (1,0) -- (5,0);
\draw[fill] (1,0) circle (2pt) node[below]{$1$};
\draw[fill] (3,0) circle (2pt) node[below]{$3$};
\draw[fill] (5,0) circle (2pt) node[below]{$5$};
\node at (3,0.5) {Solution de $|x-3| \leq 2$};
\end{tikzpicture}

C. Représentation graphique

Remarque

La fonction \(x \mapsto |x|\) est représentée par une courbe en "V" :

  • Pour \(x \geqslant 0\), \(|x| = x\) (droite de pente 1).
  • Pour \(x < 0\), \(|x| = -x\) (droite de pente -1).
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,3) node[above]{$y$};
\draw[thick, domain=-2:0] plot (\x, {-\x});
\draw[thick, domain=0:2] plot (\x, {\x});
\node at (-0.3,-0.3) {O};
\end{tikzpicture}