Devoir sur le Second degré (30 minutes) — Groupe 3 - Sujet B
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la justification.
Le barème est donné à titre indicatif.
Durée : 30 min
Exercice 1 (3 points)
Écrire chacun des trinômes suivants sous sa forme canonique.
-
\(f(x)=x^2-8x+3\)
Corrigé
\(f(x)=x^2-8x+3=(x-4)^2-16+3=(x-4)^2-13\)
-
\(g(x)=2x^2-8x+8\)
Corrigé
\(g(x)=2(x^2-4x)+8=2\left((x-2)^2-4\right)+8=2(x-2)^2-8+8=2(x-2)^2\)
Exercice 2 (3 points)
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations suivantes.
-
\(9x^2-6x+1=0\)
Corrigé
\(\Delta=(-6)^2-4\times 9\times 1=36-36=0\)
On pouvait aussi remarquer directement que \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\), une identité remarquable.
\(x_0=\dfrac{6}{2\times 9}=\dfrac 1 3\)
\(S=\left\{\dfrac 1 3\right\}\)
-
\(x^2+x-12=0\)
Corrigé
\(\Delta=1^2-4\times 1\times(-12)=1+48=49=7^2\)
\(x_1=\dfrac{-1-7}{2}=-4\) et \(x_2=\dfrac{-1+7}{2}=3\)
\(S=\{-4\,;3\}\)
-
\(3t^2-t-2=0\)
Corrigé
\(1\) est solution évidente. On a donc :
\(x_1=1\) et \(x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac 2 3\)
Exercice 3 (2 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x(x-6)\).
Dresser le tableau de variations de \(f\).
Corrigé
\(f(x)=x(x-6)=x^2-6x=(x-3)^2-9\)
Le coefficient de \(x^2\) vaut \(1>0\), donc \(f\) admet un minimum, égal à \(-9\), atteint en \(x=3\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f\) | \(\searrow\) | \(-9\) | \(\nearrow\) |
Exercice 4 (2 points)
Soit \(f\) une fonction polynôme du second degré telle que \(f(2)=f(8)=-3\) et \(f(9)=4\).
-
Sans calculer les coefficients de \(f\), déterminer l'axe de symétrie de la courbe représentative de \(f\).
Corrigé
Comme \(f(2)=f(8)\), les points d'abscisses \(2\) et \(8\) ont la même image : la courbe de \(f\) est donc symétrique par rapport à la droite verticale passant par leur milieu.
L'axe de symétrie a pour équation \(x=\dfrac{2+8}{2}=5\).
-
En déduire la valeur de \(f(1)\).
Corrigé
Le point d'abscisse \(9\) est symétrique, par rapport à l'axe \(x=5\), du point d'abscisse \(5-(9-5)=1\).
Donc \(f(1)=f(9)=4\).