Devoir sur le Second degré (30 minutes) — Groupe 3
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la justification.
Le barème est donné à titre indicatif.
Durée : 30 min
Exercice 1 (3 points)
Écrire chacun des trinômes suivants sous sa forme canonique.
-
\(f(x)=x^2+6x-8\)
Corrigé
\(f(x)=x^2+6x-8=(x+3)^2-9-8=(x+3)^2-17\)
-
\(g(x)=3x^2+12x+12\)
Corrigé
\(g(x)=3(x^2+4x)+12=3\left((x+2)^2-4\right)+12=3(x+2)^2-12+12=3(x+2)^2\)
Exercice 2 (3 points)
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations suivantes.
-
\(4x^2-12x+9=0\)
Corrigé
On remarque que \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\), donc l'équation admet une unique solution : \(x=\dfrac 3 2\).
-
\(x^2-x-6=0\)
Corrigé
\(\Delta=(-1)^2-4\times 1\times(-6)=1+24=25=5^2\)
\(x_1=\dfrac{1-5}{2}=-2\) et \(x_2=\dfrac{1+5}{2}=3\)
\(S=\{-2\,;3\}\)
-
\(2t^2+t-1=0\)
Corrigé
\(-1\) est solution évidente, on a donc:
\(x_1=-1\) et \(-x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{2}\) soit \(x_2=\dfrac 1 2\)
D'où \(S=\left\{-1\,;\dfrac 1 2\right\}\)
Exercice 3 (2 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x(x-8)\).
Dresser le tableau de variations de \(f\).
Corrigé
\(f(x)=x(x-8)=x^2-8x=(x-4)^2-16\)
Le coefficient de \(x^2\) vaut \(1>0\), donc \(f\) admet un minimum, égal à \(-16\), atteint en \(x=4\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(4\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f\) | \(\searrow\) | \(-16\) | \(\nearrow\) |
Exercice 4 (2 points)
Soit \(f\) une fonction polynôme du second degré telle que \(f(1)=f(5)=-2\) et \(f(6)=3\).
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Sans calculer les coefficients de \(f\), déterminer l'axe de symétrie de la courbe représentative de \(f\).
Corrigé
Comme \(f(1)=f(5)\), les points d'abscisses \(1\) et \(5\) ont la même image : la courbe de \(f\) est donc symétrique par rapport à la droite verticale passant par leur milieu.
L'axe de symétrie a pour équation \(x=\dfrac{1+5}{2}=3\).
-
En déduire la valeur de \(f(0)\).
Corrigé
Le point d'abscisse \(6\) est symétrique, par rapport à l'axe \(x=3\), du point d'abscisse \(3-(6-3)=0\).
Donc \(f(0)=f(6)=3\).