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Devoir 2nd degré 2015-2016

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Durée: 40 minutes

Consignes générales : Toutes les questions sont indépendantes et peuvent donc être traitées dans n’importe quel ordre. Le barème est indicatif. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention expresse du contraire. Dans les QCM et vrai/faux, une réponse non justifiée est pénalisante, afin de décourager les réponses « au hasard ».

Exercice 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

  1. \(3x^2-4x+1=0\)

    Corrigé

    \(1\) est racine évidente, et on a \(x_1x_2=\dfrac 1 3\).

    L'ensemble \(\text S\) des solutions est donc:

    \[\text S=\left\{\dfrac 1 3\mathrm ;1\right\}\]

  2. \((-3x+2)(2x-1)-(3x-2)(3x+4)=0\)

    Corrigé

    \((-3x+2)(2x-1)-(3x-2)(3x+4)=(3x-2)(-2x+1-(3x+4))=(3x-2)(-5x-3)\)

    L'ensemble \(\text S\) des solutions est donc:

    \[\text S=\left\{-\dfrac 3 5\mathrm ;\dfrac 2 3\right\}\]

  3. \(3x^2+4x-4=0\)

    Corrigé

    \(3x^2+4x-4\) est un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\).

    \(\Delta =16+4\times 3\times 4=64 \Leftrightarrow \Delta >0\)

    L'équation \(3x^2+4x-4=0\) admet donc deux solutions : \(x_1=\dfrac{-4-8} 6=-2\) et \(x_2=\dfrac{-4+8} 6=\dfrac 2 3\).

    L'ensemble \(\text S\) des solutions de cette équation est donc :

    \[\text S=\left\{-2\mathrm ;\dfrac 2 3\right\}\]

  4. \(\dfrac 1 2x^2-\dfrac 4 5x+2=0\)

    Corrigé

    \(\dfrac 1 2x^2-\dfrac 4 5x+2\) est un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta\):

    \(\Delta =\dfrac{16}{25}-4=-\dfrac{84}{25} \Leftrightarrow \Delta <0\)

    \(\dfrac 1 2x^2-\dfrac 4 5x+2=0\) n'admet pas de solutions:

    \[\text S=\emptyset\]

Exercice 2

On appelle \(f\) la fonction définie par \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\neq 0\) .

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant rapidement.

  1. Si \(a>0\) alors \(f\) a un maximum.

    Corrigé

    \(a>0 \Rightarrow\) la parabole d'équation \(y=\mathit{ax}^2+\mathit{bx}+c\) admet un minimum \(\Rightarrow\) FAUX.

  2. Si \(a>0\) et \(c<0\) alors l’équation \(f(x)=0\) admet deux solutions.

    Corrigé

    \(a>0\) et \(c<0 \Rightarrow \mathit{ac}<0 \Rightarrow -\mathit{ac}>0 \Rightarrow b^2-4\mathit{ac}>0 \Rightarrow \Delta>0 \Rightarrow f(x)=0\) admet deux solutions. VRAI.

  3. Si l’équation \(f(x)=0\) admet deux solutions, alors \(a\) et \(c\) sont de signes contraires.

    Corrigé

    \(f(x)=0,25x^2+x+0,1\) admet deux solutions FAUX.

  4. Si \(a>0\), \(b>0\) et \(c>0\) alors pour tout réel \(x\), \(f(x)>0\).

    Corrigé

    \(f(x)=0,25x^2+x+0,1\) admet deux solutions donc change de signe FAUX.

Exercice 3

Soient les fonctions \(f ,g ,h\) et \(k\) définies sur \(\mathbb{R}\) telles que \(f(x)=-x^2-3x-3\), \(g(x)=x^2+3x-3\), \(h(x)=2x^2+6x-3\) et \(k(x)=x^2-x-3\) .

Colorier proprement \(C_f\) en rouge, \(C_g\) en vert, \(C_h\) en bleu et \(C_k\) en noir.

Justifier toutes vos réponses.

Corrigé

\(C_f\) est la seule courbe avec les branches vers le bas.

En \(-1\) : \(g(-1)=-5\) \(h(-1)=-7\) et \(k(-1)=-1\) permet de différencier les trois courbes restantes.