2 : CONDITIONNEMENT - INDÉPENDANCE : exercices

Conditionnement : maîtriser le cours

Exercice 2-1 : Différentes expressions de $P(A \cap B)$

Soit $A$ et $B$ deux événements de probabilité non nulle d'un univers $\Omega$.

Quelles sont les différentes manières de calculer $P(A \cap B)$ ?

Corrigé

On a $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = P(B) \cdot P_B(A)$.

ou encore $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$.

Exercice 2-2 : Vrai ou faux

Soit $A$ et $B$ deux événements de probabilité non nulle d'un univers $\Omega$.

Répondre vrai ou faux pour chacune des questions ci-dessous :

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Corrigé

Vrai. C'est la propriété de la probabilité d'un événement et de son complémentaire.
$P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = P(B)$

Corrigé

Faux. On a $P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = P(A)$.
$P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = P(B)$

Corrigé

Vrai. C'est la propriété de la probabilité d'un événement et de son complémentaire.
Si $A \cup B = \Omega$ alors $P(A) = 1 - P(B)$

Corrigé

Faux. On ne sait pas si $A \cap B = \varnothing$.
Si $A \cap B = \varnothing$ alors $P(A) = 1 - P(B)$

Corrigé

Faux. On a $P(A \cap B) = 0$, mais cela ne permet pas de conclure sur $P(A)$ et $P(B)$. Mais vrai si $A \cup B = \Omega$.
$P_B(A) = P(A) \cdot P(A \cap B)$

Corrigé

Faux. On a $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$P(A \cap B) = P(A) \times P_B(A)$

Corrigé

Vrai. C'est la définition de la probabilité conditionnelle.
$P(A \cap B) = P(A) \times P_B(\bar{A})$

Corrigé

Faux. On a $P(A \cap B) = P(A) \times P_B(A)$.
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Corrigé

Faux. C'est vrai seulement si $A$ et $B$ sont indépendants (nous le verrons dans le cours, plus loin).
$P(A) \times P_A(B) = P(B) \times P_B(A)$

Corrigé

Vrai. C'est la propriété de la probabilité d'une intersection d'événements.
$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$

Corrigé

Vrai. C'est la propriété de la probabilité d'un événement et de son complémentaire.
$P(A) = P_A(B) + P_A(\bar{B})$

Corrigé

Faux. On a $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
Si $P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}6$, alors $B = \bar{A}$

Corrigé

Faux. Cela serait vrai seulement si $A$ et $B$ sont complémentaires.
Si $P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}5$, alors $P(A \cap B) = 0{,}2$

Corrigé

Faux. C'est vrai seulement si $A$ et $B$ sont indépendants (nous le verrons dans le cours, plus loin).
Si $P(A) = 0{,}2$, $P_A(B) = 0{,}3$ et $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}8$, alors $P(B) = 0{,}7$

Corrigé

Vrai. On a $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) + P(\bar{A}) \cdot P_{\bar{A}}(B)$.

Exercice 2-3 : Tableau à double entrée

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$.

Compléter le tableau ci-dessous :

$\cap$	$\bar{A}$	Total
$B$	$0{,}14$	$0{,}2$
$\bar{B}$
Total	$0{,}3$

En déduire $P(A)$, $P(B)$, $P(A \cap B)$, $P_B(A)$ et $P_A(B)$.

Corrigé

On a $P(A \cap B)+P(A \cap \bar{B})=P(A)$ d'où $P(A \cap B)=0{,}2-0{,}14=0{,}06$.

Ensuite : $P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{A})-P(\bar{A} \cap B)=0{,}3-0{,}14=0{,}16$.

Enfin : $P(\bar{B})=1-P(B)=0{,}8$ et $P(A) = 1-P(\bar{A})=0{,}7$.

On déduit donc $P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)=0{,}7-0{,}06=0{,}64$ et $P(\bar{A} \cap B)=P(B)-P(A \cap B)=0{,}2-0{,}06=0{,}14$.

Au final, on a $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}2$, $P(A \cap B) = 0{,}06$, $P_B(A) = \dfrac{0.06}{0.2}$ et $P_A(B) = \dfrac{0.06}{0.7}$.

Exercice 2-4 : Utiliser la définition

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$.

On a $P(A) = \dfrac{1}{2}$, $P(B) = \dfrac{1}{3}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{1}{4}$.

Calculer $P_A(B)$, $P_B(A)$ et $P(A \cup B)$.

Corrigé

On utilise la définition des probabilités conditionnelles :

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}$

$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{3}{4}$

Puis, par la formule de la probabilité d'une réunion :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{12} + \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$
On a maintenant $P(A) = \dfrac{1}{4}$, $P_A(B) = \dfrac{1}{3}$ et $P(A \cup B) = \dfrac{5}{12}$.

Calculer $P(A \cap B)$, $P(B)$ et $P_B(A)$.

En déduire $P(\bar{A} \cap B)$, $P_{\bar{A}}(B)$, $P(A \cap \bar{B})$ et $P_{\bar{B}}(A)$.

Corrigé

On a $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$.

Ensuite, de $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, on tire :

$P(B) = P(A \cup B) - P(A) + P(A \cap B) = \dfrac{5}{12} - \dfrac{3}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$

Enfin, $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}} = \dfrac{1}{3}$.

Pour la suite, on utilise la partition de $B$ par $A$ et $\bar{A}$, et celle de $A$ par $B$ et $\bar{B}$ :

$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{3}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \dfrac{3}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$

On en déduit, avec $P(\bar{A}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ et $P(\bar{B}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ :

$P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{P(\bar{A} \cap B)}{P(\bar{A})} = \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{9}$

$P_{\bar{B}}(A) = \dfrac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}} = \dfrac{2}{9}$

Arbre, indépendance : maîtriser le cours

Exercice 2-5 : Arbre

À partir de l'arbre, déterminer $P(\bar{A})$, $P_A(\bar{B})$, $P(A \cap B)$, $P(A \cap \bar{B})$ et $P_{\bar{A}}(B)$.

\begin{tikzpicture}[
  grow=right,
  level distance=3cm,
  level 1/.style={sibling distance=3cm},
  level 2/.style={sibling distance=1.8cm},
  edge from parent/.style={draw,-latex},
  every node/.style={font=\small}
]
\node {}
  child { node {$A$}
    child { node {$B$} edge from parent node[above]{$0{,}3$} }
    child { node {$\overline{B}$} }
    edge from parent node[above]{$0{,}8$}
  }
  child { node {$\overline{A}$}
    child { node {$B$} edge from parent node[above]{$0{,}1$} }
    child { node {$\overline{B}$} }
  };
\end{tikzpicture}

Corrigé

On a $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.

Ensuite, $P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

On a $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = 0{,}8 \times 0{,}3 = 0{,}24$.

De même, $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P_A(\bar{B}) = 0{,}8 \times 0{,}7 = 0{,}56$.

Enfin, $P_{\bar{A}}(B)$ se lit sur l'arbre : $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}1$.

Exercice 2-6 : Vrai ou faux

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ (de probabilités non nulles pour les questions 1, 2 et 4 à 7) et indépendants pour les questions 8 à 11.

Répondre vrai ou faux pour chacune des questions ci-dessous :

Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors ils sont indépendants.
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors ils sont incompatibles.
Si $P(A) = 0$, alors $A$ et $B$ sont indépendants.
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$.
Si $P(A \cap B) = P_B(A) \times P_A(B)$, alors $A$ et $B$ sont indépendants.
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\bar{A}$ et $\bar{B}$ le sont aussi.
Si $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}6$, alors $P(A \cap B) = 0{,}24$.
Si $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}6$, alors $P(A \cup B) = 0{,}72$.
Si $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}4$, alors $P(\bar{A} \cap B) = 0{,}28$.
Si $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}8$, alors $P(A \cup B) = 0{,}78$.

Exercice 2-7 : Tableau à double entrée

Soit $A$ et $B$ deux événements indépendants d'un univers $\Omega$.

Compléter le tableau ci-dessous :

$\cap$	$\bar{A}$	Total
$B$		$0{,}2$
$\bar{B}$
Total	$0{,}3$

Exercice 2-8 : Arbre

Soit $A$ et $B$ deux événements indépendants d'un univers $\Omega$. Compléter l'arbre ci-dessous :

\begin{tikzpicture}[
  grow=right,
  level distance=3cm,
  level 1/.style={sibling distance=3cm},
  level 2/.style={sibling distance=1.8cm},
  edge from parent/.style={draw,-latex},
  every node/.style={font=\small}
]
\node {}
  child { node {$A$}
    child { node {$B$} edge from parent node[above]{$0{,}4$} }
    child { node {$\overline{B}$} }
    edge from parent node[above]{$0{,}3$}
  }
  child { node {$\overline{A}$}
    child { node {$B$} }
    child { node {$\overline{B}$} }
  };
\end{tikzpicture}

Utiliser un arbre

Exercice 2-9 : Hommes, femmes et lunettes

Dans une réunion, on compte 18 femmes et 24 hommes. 12 personnes portent des lunettes dont le quart sont des femmes.

On choisit une personne au hasard dans la réunion.

On note $A$ : « la personne choisie est un homme » et $B$ : « la personne choisie porte des lunettes ».

Calculer $P(A)$ et $P(B)$.

Corrigé

On a $P(A) = \dfrac{24}{18 + 24} = \dfrac{24}{42} = \dfrac{4}{7}$.

Ensuite, on sait que le quart des 12 personnes portant des lunettes sont des femmes, donc il y a $12 \times \dfrac{1}{4} = 3$ femmes portant des lunettes et donc $12 - 3 = 9$ hommes portant des lunettes.

Ainsi, $P(B) = \dfrac{12}{42} = \dfrac{2}{7}$.

Représenter la situation à l'aide d'un arbre.

Corrigé

\begin{tikzpicture}[
  grow=right,
  level distance=3cm,
  level 1/.style={sibling distance=3cm},
  level 2/.style={sibling distance=1.8cm},
  edge from parent/.style={draw,-latex},
  every node/.style={font=\small}
]
\node {}
  child { node {$A$}
    child { node {$B$} edge from parent node[above]{$\dfrac{9}{24}$} }
    child { node {$\overline{B}$} }
    edge from parent node[above]{$\dfrac{24}{42}$}
  }
  child { node {$\overline{A}$}
    child { node {$B$} edge from parent node[above]{$\dfrac{3}{18}$} }
    child { node {$\overline{B}$} }
    edge from parent node[above]{$\dfrac{18}{42}$}
  };
\end{tikzpicture}

Calculer $P(A \cap B)$, $P_A(B)$ et $P_B(A)$.

Corrigé

On a $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{9}{24} = \dfrac{36}{168} = \dfrac{3}{14}$.

Ensuite, $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\frac{3}{14}}{\frac{4}{7}} = \dfrac{3}{14} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{21}{56} = \dfrac{3}{8}$.

Enfin, $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\frac{3}{14}}{\frac{2}{7}} = \dfrac{3}{14} \times \dfrac{7}{2} = \dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4}$.

Exercice 2-10 : Pièces truquées et pièces équilibrées

Un lot de 100 pièces de monnaie, toutes de même apparence, contient 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées.

La probabilité d'apparition de « FACE » lors d'un jet d'une pièce truquée est de $\dfrac{3}{4}$. La probabilité d'apparition de « FACE » lors d'un jet d'une pièce équilibrée est de $\dfrac{1}{2}$.

On prend une pièce au hasard dans ce lot et on la lance.

On note $T$ : « la pièce est truquée » et $F$ : « on obtient FACE ».

Calculer la probabilité d'avoir pris une pièce truquée.

Corrigé

On a $P(T) = \dfrac{40}{100} = 0{,}4$.

Faire un arbre illustrant la situation.

Corrigé

\begin{tikzpicture}[
  grow=right,
  level distance=3cm,
  level 1/.style={sibling distance=3cm},
  level 2/.style={sibling distance=1.8cm},
  edge from parent/.style={draw,-latex},
  every node/.style={font=\small}
]
\node {}
  child { node {$T$}
    child { node {$F$} edge from parent node[above]{$\dfrac{3}{4}$} }
    child { node {$\overline{F}$} }
    edge from parent node[above]{$0{,}4$}
  }
  child { node {$\overline{T}$}
    child { node {$F$} edge from parent node[above]{$\dfrac{1}{2}$} }
    child { node {$\overline{F}$} }
    edge from parent node[above]{$0{,}6$}
  };
\end{tikzpicture}

a) Calculer la probabilité d'obtenir une pièce truquée et de tomber sur FACE.

b) Calculer la probabilité de tomber sur FACE.

Corrigé

a) On a $P(T \cap F) = P(T) \cdot P_T(F) = 0{,}4 \times \dfrac{3}{4} = 0{,}3$.

b) On a $P(F) = P(T \cap F) + P(\bar{T} \cap F) = 0{,}3 + 0{,}6 \times \dfrac{1}{2} = 0{,}3 + 0{,}3 = 0{,}6$.
La pièce est tombée sur FACE. Quelle est la probabilité qu'elle soit truquée ?

Corrigé

On a $P_T(F) = \dfrac{P(T \cap F)}{P(F)} = \dfrac{0{,}3}{0{,}6} = 0{,}5$.

Exercice 2-11 : Boules rouges et boules noires

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires.

On tire au hasard une boule de l'urne. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?

Corrigé

On a $P(R_1) = \dfrac{3}{3 + 7} = \dfrac{3}{10}$.
On tire au hasard une deuxième boule de l'urne sans avoir remis la première.

a) Si la première boule tirée est rouge, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage ?

Corrigé

Si la première boule tirée est rouge, il reste 2 boules rouges et 7 boules noires dans l'urne. Ainsi, la probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est :

\[P(R_2 | R_1) = \dfrac{2}{2 + 7} = \dfrac{2}{9}.\]

b) Si la première boule tirée est noire, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage ?

Corrigé

Si la première boule tirée est noire, il reste 3 boules rouges et 6 boules noires dans l'urne. Ainsi, la probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est :

\[P(R_2 | N_1) = \dfrac{3}{3 + 6} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.\]

c) Compléter l'arbre suivant :
```
\begin{tikzpicture}[
grow=right,
level distance=3cm,
level 1/.style={sibling distance=3cm},
level 2/.style={sibling distance=1.8cm},
edge from parent/.style={draw,-latex},
every node/.style={font=\small}
]
\node {}
child { node {$R_1$}
    child { node {$R_2$} }
    child { node {$N_2$} }
}
child { node {$N_1$}
    child { node {$R_2$} }
    child { node {$N_2$} }
};
\end{tikzpicture}
```
Corrigé
```
\begin{tikzpicture}[
grow=right,
level distance=3cm,
level 1/.style={sibling distance=3cm},
level 2/.style={sibling distance=1.8cm},
edge from parent/.style={draw,-latex},
every node/.style={font=\small}
]
\node {}
child { node {$R_1$}
    child { node {$R_2$} edge from parent node[above]{$\dfrac{2}{9}$} }
    child { node {$N_2$} edge from parent node[above]{$\dfrac{7}{9}$} }
    edge from parent node[above]{$\dfrac{3}{10}$}
}
child { node {$N_1$}
    child { node {$R_2$} edge from parent node[above]{$\dfrac{3}{9}$} }
    child { node {$N_2$} edge from parent node[above]{$\dfrac{6}{9}$} }
    edge from parent node[above]{$\dfrac{7}{10}$}
};
\end{tikzpicture}
```
d) Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires ? Deux boules rouges ? Deux boules de la même couleur ?

Corrigé

On a $P(N_1 \cap N_2) = P(N_1) \cdot P_{N_1}(N_2) = \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{6}{9} = \dfrac{42}{90} = \dfrac{7}{15}$.

De même, $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P_{R_1}(R_2) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}$.

Enfin, la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur est :

\[P(\text{même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(N_1 \cap N_2) = \dfrac{1}{15} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{8}{15}.\]

e) Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge au deuxième tirage ?

Corrigé

On a $P(R_2) = P(R_1 \cap R_2) + P(N_1 \cap R_2) = \dfrac{1}{15} + \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{15} + \dfrac{21}{90} = \dfrac{1}{15} + \dfrac{7}{30} = \dfrac{2}{30} + \dfrac{7}{30} = \dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10}$.

f) Sachant que la deuxième boule est noire, quelle est la probabilité d'avoir obtenu une boule rouge au premier tirage ?

Corrigé

On a $P_{N_2}(R_1) = \dfrac{P(R_1 \cap N_2)}{P(N_2)} = \dfrac{\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{7}{9}}{\dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{6}{9} + \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{7}{9}} = \dfrac{\dfrac{21}{90}}{\dfrac{42}{90} + \dfrac{21}{90}} = \dfrac{\dfrac{21}{90}}{\dfrac{63}{90}} = \dfrac{21}{63} = \dfrac{1}{3}$.

Exercice 2-12 : En âge de voter...

Dans un lycée, 50 % des élèves en âge de voter en 2018 sont en TES, 30 % en TL et les autres en TS.

Lors du vote, le taux d'abstention a été de 10 % chez les élèves de TES, 30 % chez ceux de TL et 15 % chez ceux de TS.

On choisit au hasard un élève en âge de voter.

Quelle est la probabilité qu'il soit en TS et qu'il ait voté ?
Quelle est la probabilité qu'il ait voté ?

Utiliser la notion d'indépendance

Exercice 2-13 : Événements indépendants ?

On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes.

On considère les événements $A$ : « la carte tirée est un Roi » et $B$ : « la carte tirée est un Pique ».

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Exercice 2-14 : Loteries

Pierre participe à deux loteries. Pour la première, la probabilité de gagner est de $\dfrac{1}{3}$ et pour la deuxième la probabilité de gagner est de $\dfrac{1}{4}$.

Les événements $G_1$ : « gagner à la première loterie » et $G_2$ : « gagner à la deuxième loterie » sont indépendants.

Quelle est la probabilité que Pierre :

gagne aux deux loteries ?
gagne seulement à la première loterie ?
ne gagne à aucune des loteries ?

Corrigé

La probabilité que Pierre gagne aux deux loteries est $P(G_1 \cap G_2) = P(G_1) \cdot P(G_2) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$.
La probabilité que Pierre gagne seulement à la première loterie est $P(G_1 \cap \bar{G_2}) = P(G_1) \cdot P(\bar{G_2}) = \dfrac{1}{3} \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$.

Ici, on utilise le fait que si deux événements sont indépendants, alors l'événement complémentaire de l'un est également indépendant de l'autre.
La probabilité que Pierre ne gagne à aucune des loteries est $P(\bar{G_1} \cap \bar{G_2}) = P(\bar{G_1}) \cdot P(\bar{G_2}) = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Exercice 2-15 : Défauts de fabrication

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d'un article. Un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l'entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à $0{,}03$ et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à $0{,}02$.

Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants.

Un article est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts.

Calculer la probabilité qu'un article fabriqué par l'entreprise A soit défectueux.

Corrigé

Soit $S$ l'événement « l'article présente un défaut de soudure » et $E$ l'événement « l'article présente un défaut sur un composant électronique ».

On a $P(S) = 0{,}03$ et $P(E) = 0{,}02$.

Comme les deux défauts sont indépendants, on a :

\[P(S \cap E) = P(S) \cdot P(E) = 0{,}03 \cdot 0{,}02 = 0{,}0006.\]

L'article est défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts, donc on cherche $P(S \cup E)$.

Par la formule de la probabilité d'une réunion :

\[P(S \cup E) = P(S) + P(E) - P(S \cap E) = 0{,}03 + 0{,}02 - 0{,}0006 = 0{,}0494.\]

Ainsi, la probabilité qu'un article fabriqué par l'entreprise A soit défectueux est de $0{,}0494$, soit environ $4{,}94\%$.

Épreuves indépendantes

Exercice 2-16 : QCM

On lance deux fois de suite un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

On note les numéros obtenus. Dans chaque cas choisir la bonne réponse.

La probabilité d'obtenir un double 6 est :

a) $\dfrac{1}{6}$ $\quad$ b) $\dfrac{1}{36}$ $\quad$ c) $\dfrac{1}{30}$
La probabilité d'obtenir un 5 et un 6 est égale à :

a) $\dfrac{2}{36}$ $\quad$ b) $\dfrac{1}{36}$ $\quad$ c) $\dfrac{1}{15}$
La probabilité d'obtenir 6 au second lancer est égale à :

a) $\dfrac{1}{36}$ $\quad$ b) $\dfrac{5}{36}$ $\quad$ c) $\dfrac{1}{6}$

Exercice 2-17 : Feux tricolores

Sur le trajet d'un automobiliste, se trouvent deux feux tricolores de circulation fonctionnant de manière indépendante.

Le cycle de chacun est réglé de la manière suivante : vert : 35s — orange : 5s — rouge : 20s.

Calculer la probabilité que l'automobiliste croise un feu vert et un feu orange.

Exercice 2-18 : Licenciés d'un club

Ci-dessous, on a représenté dans un tableau la répartition des licenciés d'un club de sport.

	Jeune	Adulte	Total
Homme	34	46	80
Femme	68	92	160
Total	102	138	240

On prélève au hasard la fiche de l'un des licenciés.

On considère les événements $F$ : « Le licencié est une femme » et $A$ : « Le licencié est un adulte ».

Justifier que les événements $A$ et $F$ sont indépendants.
On prélève désormais, au hasard, successivement et avec remise, deux fiches des licenciés.

Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins un jeune homme parmi ces deux fiches.

Exercice 2-19 : Épreuves différentes indépendantes : deux urnes

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.

L'urne $U_1$ contient 3 boules rouges, 2 boules noires et 5 boules vertes.

L'urne $U_2$ contient 4 boules rouges, 4 boules noires et 2 boules vertes.

L'expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une boule de chaque urne et de noter leur couleur. Les tirages sont indépendants.

On appelle $R_i$, $V_i$ et $N_i$ les événements : on tire une boule respectivement Rouge, Verte, Noire de l'urne $U_i$, pour $i = 1$ ou $i = 2$.

Déterminer la probabilité que les deux boules soient de la même couleur.

Exercice 2-20 : Trois répétitions : pièce équilibrée

On dispose d'une pièce parfaitement équilibrée et on la jette successivement trois fois.

On appelle $A$ l'événement « obtenir pile au premier jet », $B$ l'événement « obtenir face au deuxième jet » et $C$ l'événement « obtenir face au troisième jet ».

Les événements $A$, $B$ et $C$ sont-ils deux à deux indépendants ?
Trouver la probabilité de l'événement $A \cap B \cap C$.

Algorithme - Python

Exercice 2-21 : Simuler un tirage dans une urne

Une urne contient 8 bulletins verts et 6 bulletins bleus.

Camil a écrit la fonction Urne en Python ci-dessous :

from random import randint
def Urne():
    tirage=[]
    for i in range(2):
        if randint(1,14)<=6:
            tirage.append("bleu")
        else:
            tirage.append("vert")
    return(tirage)

Que renvoie cette fonction ?
Cette fonction simule-t-elle un tirage avec remise ou sans remise ? Justifier.
Quelle est la probabilité que cette fonction renvoie le couple ['bleu', 'bleu'] ?
Modifier cette fonction pour qu'elle renvoie le nombre de bulletins bleus obtenus lors de deux tirages sans remise de l'urne.

Exercice 2-22 : Méthode de Monte Carlo

On a représenté un carré OABC et la parabole d'équation $y = x^2$. On se propose de donner une valeur approchée de l'aire du domaine $D$ délimité par l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 1$ et la parabole, en utilisant la loi des grands nombres.

\begin{tikzpicture}[scale=5]
  \draw[thick] (0,0) rectangle (1,1);
  \node[below left] at (0,0) {O};
  \node[below right] at (1,0) {A};
  \node[above right] at (1,1) {B};
  \node[above left] at (0,1) {C};
  \draw[thick,domain=0:1,smooth,variable=\x] plot ({\x},{\x*\x});
  \foreach \i in {1,...,150}{
    \pgfmathsetmacro{\rx}{rnd}
    \pgfmathsetmacro{\ry}{rnd}
    \pgfmathsetmacro{\col}{ifthenelse(\ry<\rx*\rx,"blue","red")}
    \fill[\col] (\rx,\ry) circle (0.006);
  }
\end{tikzpicture}

On choisit au hasard un point dans le carré OABC et on regarde s'il est dans le domaine $D$.

La probabilité qu'il se trouve dans le domaine $D$ est : $p = \dfrac{\text{aire de } D}{\text{aire de OABC}}$.

a) Quelles conditions vérifient les coordonnées $(x\,;\,y)$ d'un point M situé :
- dans OABC
- dans le domaine $D$
b) Quelle est l'aire de OABC ?
a) Compléter cet algorithme simulant 1000 fois l'expérience aléatoire, puis le traduire en Python :
```
c ← ...
Pour k allant de 1 à …
    x ← un nombre réel compris entre …
    y ← un nombre réel compris entre …
    Si …   alors c← c+1
    Fin Si
Fin Pour
p ← ...
```
b) Justifier qu'en exécutant ce programme, on obtient une valeur approchée de l'aire de $D$.

c) Comment obtenir une meilleure approximation ?
On considère le quart de disque, noté $D'$, de centre O et de rayon 1, situé dans le carré OABC. On choisit à nouveau au hasard un point dans le carré OABC et on regarde s'il est dans le domaine $D'$.

a) Quelle est la probabilité que le point soit dans $D'$ ?

b) Quelle condition la longueur OM doit vérifier pour que le point M soit dans $D'$ ?

c) On simule 1000 fois l'expérience aléatoire. Écrire en Python un programme permettant d'obtenir une valeur approchée de $\pi$.

\(\cap\)	\(\bar{A}\)	Total
\(B\)	\(0{,}14\)	\(0{,}2\)
\(\bar{B}\)
Total	\(0{,}3\)

\(\cap\)	\(\bar{A}\)	Total
\(B\)		\(0{,}2\)
\(\bar{B}\)
Total	\(0{,}3\)

2 : CONDITIONNEMENT - INDÉPENDANCE : exercices

Conditionnement : maîtriser le cours

Exercice 2-1 : Différentes expressions de \(P(A \cap B)\)

Exercice 2-2 : Vrai ou faux

Exercice 2-3 : Tableau à double entrée

Exercice 2-4 : Utiliser la définition

Arbre, indépendance : maîtriser le cours

Exercice 2-5 : Arbre

Exercice 2-6 : Vrai ou faux

Exercice 2-7 : Tableau à double entrée

Exercice 2-8 : Arbre

Utiliser un arbre

Exercice 2-9 : Hommes, femmes et lunettes

Exercice 2-10 : Pièces truquées et pièces équilibrées

Exercice 2-11 : Boules rouges et boules noires

Exercice 2-12 : En âge de voter...

Utiliser la notion d'indépendance

Exercice 2-13 : Événements indépendants ?

Exercice 2-14 : Loteries

Exercice 2-15 : Défauts de fabrication

Épreuves indépendantes

Exercice 2-16 : QCM

Exercice 2-17 : Feux tricolores

Exercice 2-18 : Licenciés d'un club

Exercice 2-19 : Épreuves différentes indépendantes : deux urnes

Exercice 2-20 : Trois répétitions : pièce équilibrée

Algorithme - Python

Exercice 2-21 : Simuler un tirage dans une urne

Exercice 2-22 : Méthode de Monte Carlo