2 : PROBABILITÉS
1 - PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Définition
Soit A et B deux événements tels que \(P(B) \neq 0\). On appelle probabilité conditionnelle de A par rapport à B ou probabilité de A sachant B le réel, noté \(P_B(A)\), défini par :
Exemple :
Un lycée a présenté 356 candidats au bac, dont 96 en série Technologique. 256 élèves ont été admis à l'examen ; parmi eux 64 provenaient de la série Technologique. Un élève étant choisi au hasard parmi les candidats présentés par le lycée, on note A l'événement : « l'élève provient de la série Technologique » et B l'événement : « l'élève a été reçu au bac ».
Chaque élève a la même chance d'être choisi ; par équiprobabilité, on a donc :
En général : \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\).
On en déduit que \(P_B(A) = \dfrac{64/356}{256/356} = \dfrac{64}{256} = 0{,}25\).
La probabilité que l'élève provienne de la série Technologique sachant qu'il est reçu au bac est donc égale à \(0{,}25\).
On a aussi \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{64/356}{96/356} = \dfrac{64}{96} = \dfrac{2}{3}\).
Ainsi la probabilité que l'élève soit reçu au bac sachant qu'il provient de la série Technologique est \(\dfrac{2}{3}\).
Remarques
- Si \(P(B) = 1\), alors \(P_B(A) = P(A)\) et \(P_B(\bar{A}) = P(\bar{A})\).
- Si \(P(B) = 0\), alors \(P_B(A)\) et \(P_B(\bar{A})\) ne sont pas définis.
Propriétés
Soit A et B deux événements tels que \(P(B) \neq 0\). On a :
Preuve :
-
On a \(A \cap B \subset B\), donc \(P(A \cap B) \leqslant P(B)\) et en divisant les trois membres de cette inégalité par le nombre strictement positif \(P(B)\), on obtient : \(0 \leqslant P_B(A) \leqslant 1\).
-
On a \(P_B(A) + P_B(\bar{A}) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} + \dfrac{P(\bar{A} \cap B)}{P(B)}\).
Or \(P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\) car \(A \cap B\) et \(\bar{A} \cap B\) sont incompatibles et leur réunion est \(B\).
Ce qui donne : \(P_B(A) + P_B(\bar{A}) = \dfrac{P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(B)}{P(B)} = 1\).
2 - PROBABILITÉ D'UNE INTERSECTION
Propriété : Formule des probabilités composées
Soit A et B deux événements tels que \(P(A) \neq 0\) et \(P(B) \neq 0\). On a :
Ces égalités se déduisent de la définition précédente.
Ces deux égalités se retiennent assez facilement : pour que l'événement \(A \cap B\) soit réalisé, il faut d'abord que l'événement \(A\) le soit, et sachant que l'événement \(A\) est réalisé, il faut ensuite que l'événement \(B\) le soit aussi…
Exemple :
Une urne contient trois boules bleues et cinq rouges, indiscernables au toucher. On tire au hasard une première boule de l'urne. Si elle est bleue, on la remet dans l'urne et on rajoute une autre boule bleue ; si elle est rouge, on ne la remet pas dans l'urne. On tire ensuite, au hasard, une seconde boule de l'urne.
On s'intéresse à la probabilité pour que les deux boules extraites soient bleues.
\(B_1\) est l'événement : « la première boule extraite est bleue » ; \(B_2\) est l'événement : « la seconde boule extraite est bleue ».
L'événement « les deux boules extraites sont bleues » est alors \(B_1 \cap B_2\).
Les boules ont la même chance d'être tirées ; par équiprobabilité, on a donc : \(P(B_1) = \dfrac{3}{8}\).
\(B_1\) étant réalisé, on rajoute une boule bleue, si bien qu'au moment du second tirage il y a 4 boules bleues sur 9 boules dans l'urne. Ce qui permet d'écrire \(P_{B_1}(B_2) = \dfrac{4}{9}\).
On en déduit : \(P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P_{B_1}(B_2) = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}\).
La probabilité que les deux boules extraites soient bleues est donc égale à \(\dfrac{1}{6}\).
3 - FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES
\(\Omega\) est l'univers des événements élémentaires d'une expérience aléatoire. \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_n\) désignent des événements de \(\Omega\).
Définition
Dire que \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_n\) réalisent une partition de l'univers \(\Omega\) signifie que :
- les événements \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_n\) sont deux à deux disjoints.
- \(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \Omega\)
On parle aussi de système complet d'événements.
Tout événement \(B\) est alors la réunion disjointe des événements \(A_1 \cap B\), \(A_2 \cap B\), …, \(A_n \cap B\).
On a donc \(P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \cdots + P(A_n \cap B)\).
De plus, pour tout \(i\) tel que \(P(A_i) \neq 0\), on a \(P(A_i \cap B) = P(A_i) \times P_{A_i}(B)\).
Propriété : Formule des probabilités totales
Dans les conditions précédentes on a :
La formule permet de calculer la probabilité d'un événement \(B\) dans le cas (fréquent) où l'on connaît les probabilités d'une famille d'événements constituant une partition de l'univers, ainsi que les probabilités conditionnelles de l'événement \(B\) par rapport à chaque événement \(A_i\).
Exemple :
Un test d'une maladie est effectué sur la totalité d'une population. Une étude statistique établit que 70 % de la population réagit négativement au test (événement \(N\)), 20 % réagit faiblement au test (événement \(F\)) et 10 % réagit fortement au test (événement \(R\)).
La probabilité pour une personne de cette population d'être atteinte de la maladie (événement \(M\)) est :
- \(0{,}9\) lorsque le test est fortement positif
- \(0{,}6\) lorsque le test est faiblement positif
- \(0{,}05\) lorsque le test est négatif
Par hypothèse, on a donc : \(P(R) = 0{,}1\), \(P(F) = 0{,}2\), \(P(N) = 0{,}7\), \(P_R(M) = 0{,}9\), \(P_F(M) = 0{,}6\) et \(P_N(M) = 0{,}05\).
Les événements \(R\), \(F\) et \(N\) forment une partition de la population. D'après la formule des probabilités totales, on en déduit que :
La probabilité pour qu'une personne de cette population soit atteinte de la maladie est donc égale à \(0{,}245\).
4 - RÈGLES DE CONSTRUCTION D'UN ARBRE PONDÉRÉ (ou arbre de probabilités)
Pour déterminer des probabilités, on peut être amené à construire des arbres dont les branches sont affectées de probabilités.
- Un arbre pondéré se construit et se lit de gauche à droite.
- L'origine de l'arbre est la racine de l'arbre.
- Les traits partant de la racine sont appelés branches primaires de l'arbre. Elles mènent à des nœuds.
- Les branches joignant deux nœuds sont dites secondaires.
- Tout chemin menant de la racine à un nœud est appelé trajet.
Règles
- Les événements qui se trouvent aux extrémités des branches primaires forment une partition de l'univers.
- Le poids d'une branche primaire est la probabilité de l'événement qui se trouve à son extrémité.
- Le poids d'une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l'événement qui se trouve à son extrémité sachant que le trajet menant à son origine a été réalisé.
- Le poids ou la probabilité d'un trajet est le produit des poids des branches le constituant. (Probabilités composées)
- La probabilité d'un événement associé à plusieurs trajets complets est la somme des probabilités de ces trajets. (Probabilités totales)
Remarques
- La somme des poids des branches primaires vaut \(1\). (règle 1)
- La somme des poids des branches secondaires issues d'un même nœud vaut \(1\).
Exemple :
Une urne contient trois boules bleues et deux boules rouges. On tire successivement et sans remise trois boules de l'urne.
On note \(B_i\) : « la \(i\)-ème boule est bleue » et \(R_i\) : « la \(i\)-ème boule est rouge ».
-
La probabilité que la troisième boule soit rouge sachant que les deux premières étaient bleues est : \(P_{B_1 \cap B_2}(R_3) = \dfrac{1}{3}\). (règle 3)
-
La probabilité de l'événement \(B_1 \cap B_2 \cap B_3\) est \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{10}\). (règle 4)
-
Soit \(A\) l'événement : « tirer une seule boule rouge ». \(A\) est associé aux trajets \(B_1 \cap B_2 \cap R_3\), \(B_1 \cap R_2 \cap B_3\) et \(R_1 \cap B_2 \cap B_3\). On a :
(règle 5)
5 - ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
Deux évènements \(A\) et \(B\) de probabilités non nulles sont dits indépendants si le fait que l'un d'entre eux soit réalisé ou non n'influe pas la probabilité que l'autre soit réalisé, c'est-à-dire :
En utilisant la propriété précédente, on constate que l'indépendance de \(A\) et \(B\) se traduit par la relation \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
Définition
Soit \(A\) et \(B\) deux événements de probabilités non nulles. \(A\) et \(B\) sont dits indépendants s'ils vérifient l'une des trois conditions équivalentes suivantes :
- \(P_B(A) = P(A)\)
- \(P_A(B) = P(B)\)
- \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Exemple :
Une urne contient quatre boules bleues numérotées \(1\), \(2\), \(3\) et \(4\), et six boules rouges numérotées \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) et \(6\). On suppose toutes ces boules indiscernables au toucher, et on en tire une au hasard.
On considère les événements :
\(B\) : « la boule tirée est bleue » ; \(R\) : « la boule tirée est rouge » ; \(Q\) : « la boule tirée porte le numéro 4 » ; \(U\) : « la boule tirée porte le numéro 1 ».
Par équiprobabilité : \(P(B) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\) ; \(P(U) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\) et \(P(B \cap U) = \dfrac{1}{10}\).
On a : \(P(B) \times P(U) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{25} \neq \dfrac{1}{10} = P(B \cap U)\).
Les événements \(B\) et \(U\) ne sont donc pas indépendants.
On a aussi \(P(Q) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\) et \(P(B \cap Q) = \dfrac{1}{10}\).
On a : \(P(B) \times P(Q) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{25} \neq \dfrac{1}{10} = P(B \cap Q)\).
Les événements \(B\) et \(Q\) ne sont donc pas indépendants non plus.
Remarques
- Tout évènement \(A\) est indépendant de l'évènement certain \(\Omega\) et de l'évènement impossible \(\varnothing\).
- Ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants.
Deux événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles si et seulement si \(A \cap B = \varnothing\). On a alors : \(P(A \cap B) = 0\).
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles et de probabilités non nulles, alors \(P(A) \times P(B) \neq 0 = P(A \cap B)\), donc ils ne sont pas indépendants.
Propriété
Soit \(A\) et \(B\) deux événements de probabilités non nulles. Si \(A\) et \(B\) sont deux événements indépendants, alors il en est de même pour \(\bar{A}\) et \(B\).
Preuve :
On a :
On en déduit que \(\bar{A}\) et \(B\) sont indépendants.
6 - SUCCESSION DE DEUX ÉPREUVES INDÉPENDANTES
Définition et propriété
Lorsque deux expériences aléatoires se succèdent et que les résultats de la première expérience n'influent pas les résultats de la seconde, on dit qu'il s'agit d'une succession de deux épreuves indépendantes.
Lorsque deux épreuves sont indépendantes, la probabilité d'un couple de résultats est égale au produit des probabilités de chacun d'eux.
Exemple :
On tire successivement deux cartes dans un jeu de 32 cartes et on note les deux cartes obtenues. Deux cas se présentent :
- On remet la carte dans le paquet : les deux tirages sont indépendants.
- On ne remet pas la carte dans le paquet : le résultat du deuxième tirage dépend du résultat du premier tirage et les deux tirages ne sont donc pas indépendants.
Si l'on remet la carte dans le paquet, la probabilité d'avoir deux rois est donc : \(\dfrac{4}{32} \times \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{64}\).