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1 : Polynômes du Second Degré : exercices

Expressions d'un polynôme du second degré

Exercice 1-1 : QCM - restituer les notions du cours

  1. Parmi ces conditions, laquelle fait partie de la définition d'un trinôme \(ax^2 + bx + c\) du second degré :

    1. \(a \neq 0\)
    2. \(b \neq 0\)
    3. \(c \neq 0\)

  2. Le discriminant d'un trinôme \(ax^2 + bx + c\) du second degré est :

    1. \(b^2 + 4ac\)
    2. \(b^2 - 4ac\)
    3. \((b - 4ac)^2\)
    4. \(b^2 - ac\)

Exercice 1-2 : Vrai ou faux - restituer les notions du cours

Dire si les phrases suivantes sont une reformulation équivalente à la définition d'un trinôme P du second degré :

  1. Pour tout réel \(x\), il existe trois réels \(a\), \(b\), et \(c\), avec \(a \neq 0\), tels que \(P(x) = ax^2 + bx + c\).

  2. Il existe trois réels \(a\), \(b\), et \(c\), avec \(a \neq 0\), tels que pour tout réel \(x\), \(P(x) = ax^2 + bx + c\).

  3. \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\exists a \in \mathbb{R}^*\), \(\exists b \in \mathbb{R}\) et \(\exists c \in \mathbb{R}\) tels que \(P(x) = ax^2 + bx + c\)

  4. \(\exists a \in \mathbb{R}^*\), \(\exists b \in \mathbb{R}\) et \(\exists c \in \mathbb{R}\) tels que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(P(x) = ax^2 + bx + c\)

Exercice 1-3 : QCM - restituer les notions du cours

Quelles sont les phrases synonymes de : « -1 est une racine du trinôme \(P(x) = 5x^2 + 4x - 1\) » ?

  1. -1 est l'image de 0 par le trinôme P.
  2. 0 est l'image de -1 par le trinôme P.
  3. -1 est solution de l'équation \(P(x) = 0\).
  4. 0 est solution de l'équation \(P(x) = -1\).
  5. le point de coordonnées (0;-1) appartient à la courbe \(C_P\).
  6. le point de coordonnées (-1;0) appartient à la courbe \(C_P\).

Exercice 1-4 : Reconnaître un trinôme du second degré

Reconnaître les fonctions trinôme du second degré (déterminer \(a\), \(b\) et \(c\)) :

  1. \(x \mapsto \sqrt{3}x - 4x^2 + 7x\)
  2. \(x \mapsto \dfrac{2x^2 - 7}{\sqrt{3}}\)
  3. \(x \mapsto -\dfrac{x^2(-2x + 3x^2)}{3x^2}\)
  4. \(x \mapsto (\sqrt{x^2 + 2})^2 - 3\)

Exercice 1-5 : De la forme réduite à la forme canonique

Déterminer la forme canonique de chaque trinôme du second degré :

  1. \(x \mapsto x^2 - 10x + 29\)
  2. \(x \mapsto 9x^2 + 12x - 5\)
  3. \(x \mapsto \dfrac{1}{3}x^2 + 6x - 1\)

Exercice 1-6 : De la forme réduite à la forme factorisée

Déterminer, lorsque cela est possible, la forme factorisée de chaque trinôme du second degré :

  1. \(x \mapsto 9x^2 - 100\)
  2. \(x \mapsto (x - 2)^2 + 5\)
  3. \(x \mapsto -3x^2 + 81\)
  4. \(x \mapsto \dfrac{1}{4}(x + 1)^2 - 8\)
  5. \(x \mapsto -\dfrac{1}{4}(x - \sqrt{3})^2 + \dfrac{3}{8}\)

Exercice 1-7 : Variations

Établir le tableau de variations pour chacun des trinômes suivants :

  1. P : \(x \mapsto 2x^2 - 4x - 4\)
  2. Q : \(x \mapsto -2x^2 + 3x - 10\)
  3. R : \(x \mapsto 2x - 4x^2 - 4\)

Équations du second degré et factorisation

Exercice 1-8 : Vrai ou faux - restituer les notions du cours

  1. Si l'on connaît une racine, alors nécessairement, il en existe une seconde, éventuellement confondue.
  2. Il existe des trinômes qui n'admettent pas de forme factorisée.
  3. Les trinômes qui n'admettent pas de forme factorisée sont ceux pour lesquels \(\Delta > 0\).

Exercice 1-9 : QCM - restituer les notions du cours

  1. Lorsque le discriminant d'un trinôme est nul, on dit qu'il admet :

    1. une racine simple
    2. une racine double
    3. deux racines confondues

  2. Lorsqu'un trinôme admet deux racines distinctes, ce qui change entre les formules donnant \(x_1\) et \(x_2\) est :

    1. le signe devant \(b\)
    2. le signe devant \(\sqrt{\Delta}\)
    3. le signe du numérateur
    4. le signe du dénominateur

  3. Lorsqu'une parabole coupe au moins une fois l'axe des abscisses, le discriminant du trinôme associé est :

    1. nul
    2. strictement positif
    3. positif ou nul
    4. strictement négatif

Exercice 1-10 : QCM - logique

Soient les propositions:

  1. P : « Un trinôme admet exactement une racine» et Q: « \(\Delta = 0\) »
  2. P : « un trinôme admet au moins une racine » et Q: « \(\Delta = 0\) »
  3. P : « un trinôme admet au moins une racine » et Q: « \(\Delta \geqslant 0\) »

Pour chacun des trois couples de propositions ci-dessus, indiquer si :

a) P est une condition nécessaire pour Q

b) P est une condition suffisante pour Q

c) P est une condition équivalente à Q

d) Aucune des trois propositions

Exercice 1-11 : Racines d'un trinôme avec une calculatrice

Résoudre chacune des équations ci-dessous avec un logiciel de calcul formel puis avec une calculatrice :

  1. \(6x^2 - 15x - 80 = 0\)
  2. \(1500x^2 + 2006x + 1876 = 0\)
  3. \(x^2 - \sqrt{17}x - \sqrt{7} = 0\)

Pensez-vous que toutes les calculatrices donnent des solutions exactes ?

Exercice 1-12 : Résoudre une équation du second degré sans \(\Delta\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) chacune des équations ci-dessous :

  1. \(x^2 + 5x = 0\)
  2. \(3x^2 - 36 = 0\)
  3. \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
  4. \(3x^2 - 6\sqrt{3}x + 9 = 0\)

Exercice 1-13 : Résoudre une équation du second degré

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) chaque équation et en déduire, lorsque cela est possible, la forme factorisée du trinôme correspondant :

  1. \(x^2 + \dfrac{1}{3}x + 1 = 0\)
  2. \(\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{3}{2}x + 1 = 0\)
  3. \(3x^2 + 7x + 1 = 0\)
  4. \(\sqrt{2}x^2 + \sqrt{5}x + \sqrt{3} = 0\)

Exercice 1-14 : Racine évidente

  1. Soit P le trinôme défini par P : \(x \mapsto 3x^2 + 4x - 7\).

    1. Déterminer une racine évidente \(x_1\) de P.
    2. Déterminer l'autre racine en utilisant \(x_1x_2 = \dfrac{c}{a}\)

  2. Répondre aux questions précédentes dans chacun des cas suivants :

    1. Q : \(x \mapsto 2x^2 - x - 3\)
    2. R : \(x \mapsto x^2 + 12x + 20\)

Exercice 1-15 : Factorisation

Écrire, lorsque cela est possible, chaque polynôme sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré :

a) \(x^2 - 81\) b) \(x^2 + 10x + 25\) c) \(10x - x^2\)
d) \((x^2 - 3)^2 - 1\) e) \((x^2 - 3)^2 - (x^2 + 1)^2\) f) \(8x^3 - 4x^2 + 5x\)
g) \(x^4 - 12x^2 + 36\)

Exercice 1-16 : Équations se ramenant à des équations du second degré

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) chacune des équations ci-dessous :

  1. \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
  2. \(x^4 - x^2 - 2 = 0\)
  3. \(6x - 11\sqrt{x} - 3 = 0\)
  4. \(5x^3 - 3x^2 - 5x = 0\)
  5. \(\dfrac{x}{2x + 3} = \dfrac{x - 1}{2x}\)
  6. \(1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{6}{x^2} = 0\)
  7. \(\sqrt{x + 1} = x + 2\)
  8. \(\sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{x + 2}\)

Inéquations du second degré

Exercice 1-17 : Résoudre une inéquation du second degré sans \(\Delta\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) chacune des inéquations ci-dessous :

  1. \(2(x - 5)^2 + 4 \geqslant 0\)
  2. \(-3(x - 15)^2 - 4 \geqslant 0\)
  3. \(-2(x - 5)^2 - 7 \leqslant 0\)
  4. \(5(x + 5)^2 > 0\)
  5. \(-4(3 - x)^2 > 0\)

Exercice 1-18 : Résoudre une inéquation du second degré

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) chacune des inéquations ci-dessous (calculs faits dans l'Ex 1-13 jusqu'à d) :

  1. \(x^2 + \dfrac{1}{3}x + 1 \geq 0\)
  2. \(\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{3}{2}x + 1 < 0\)
  3. \(3x^2 + 7x + 1 > 0\)
  4. \(\sqrt{2}x^2 + \sqrt{5}x + \sqrt{3} \leq 0\)
  5. \(5x^2 - 6x - 20 < -x^2 - x + 4\)

Exercice 1-19 : Fonctions rationnelles

Déterminer le signe sur \(\mathbb{R}\) des fonctions rationnelles ci-dessous :

  1. \(f : x \mapsto \dfrac{2x^2 - x - 1}{x^2 - 3x - 6}\)
  2. \(g : x \mapsto x - 2 + \dfrac{1}{x + 3}\)

Utiliser la forme la plus adaptée pour résoudre un problème

Exercice 1-20 : Trouver un trinôme

Dans chacun des cas suivants, déterminer un trinôme P du second degré tel que :

a) P admet pour racines les nombres 4 et 7.

b) P admet une racine double égale à -5.

c) P admet pour racines les nombres -9 et 8 et admet un maximum sur \(\mathbb{R}\).

d) P n'admet aucune racine et admet un maximum sur \(\mathbb{R}\).

e) La courbe représentative de P admet la droite d'équation \(x = -5\) comme axe de symétrie et P admet un minimum sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 1-21 : Parabole passant par trois points

Déterminer les deux trinômes représentés par les paraboles de la figure.

\begin{tikzpicture}[scale=0.9]

% ===== Grille =====
\draw[gray!20, very thin] (-2,-1) grid (5,7);

% ===== Axes =====
\draw[->, thick] (-2.3,0) -- (5.4,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-1.3) -- (0,7.4) node[above] {$y$};

% Graduations axe x
\foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4,5}{
  \draw (\x,0.07) -- (\x,-0.07) node[below, font=\scriptsize] {$\x$};
}

% Graduations axe y
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6,7}{
  \draw (0.07,\y) -- (-0.07,\y) node[left, font=\scriptsize] {$\y$};
}

% ===== Parabole rouge =====
% Passe par D(-1;0), E(0;4), F(4;0) — sommet (1,5 ; 6,25)
\begin{scope}
  \clip (-2.05,-1.05) rectangle (5.05,7.05);
  \draw[red!80!black, line width=1.2pt, smooth,
        domain=-1.5:4.5, samples=100]
    plot (\x, {-\x*\x + 3*\x + 4});
\end{scope}

% ===== Parabole noire =====
% Passe par A(0;2), B(1;0), C(2;0) — sommet (1,5 ; -0,25)
\begin{scope}
  \clip (-2.05,-1.05) rectangle (5.05,7.05);
  \draw[black, line width=1.2pt, smooth,
        domain=-1:4, samples=100]
    plot (\x, {\x*\x - 3*\x + 2});
\end{scope}

% ===== Points de la parabole rouge =====
\fill[red!80!black] (-1,0) circle (2.5pt);
\node[below left=2pt, font=\small\bfseries] at (-1,0) {$D$};

\fill[red!80!black] (0,4) circle (2.5pt);
\node[right=2pt, font=\small\bfseries] at (0,4) {$E$};

\fill[red!80!black] (4,0) circle (2.5pt);
\node[below right=2pt, font=\small\bfseries] at (4,0) {$F$};

% ===== Points de la parabole noire =====
\fill[black] (0,2) circle (2.5pt);
\node[right=2pt, font=\small\bfseries] at (0,2) {$A$};

\fill[black] (1,0) circle (2.5pt);
\node[below left=2pt, font=\small\bfseries] at (1,0) {$B$};

\fill[black] (2,0) circle (2.5pt);
\node[below right=2pt, font=\small\bfseries] at (2,0) {$C$};

\end{tikzpicture}

Exercice 1-22 : Associer paraboles et trinômes

Voici quatre courbes représentatives et quatre fonctions \(f\), \(g\), \(h\) et \(k\) dont on ne connaît pas les coefficients \(a_1\)... \(a_4\). Malgré ces informations manquantes, associer chaque courbe à sa fonction.

  • \(f(x) = a_1x^2 - 2x - 1\)
  • \(g(x) = a_2x^2 + \dfrac{3}{7}x\)
  • \(h(x) = a_3(x + 2)^2 + 1\)
  • \(k(x) = a_4(x - 2)(x + 3)\)
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]

% ===== Grille =====
\draw[gray!20, very thin] (-4,-4) grid (4,7);

% ===== Axes =====
\draw[->, thick] (-4.3,0) -- (4.5,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-4.3) -- (0,7.4) node[above] {$y$};

% Graduations axe x
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}{
  \draw (\x,0.08) -- (\x,-0.08) node[below, font=\scriptsize] {$\x$};
}

% Graduations axe y
\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7}{
  \draw (0.08,\y) -- (-0.08,\y) node[left, font=\scriptsize] {$\y$};
}

% ===== Paraboles complètes sur [-4 ; 4] — sans clip =====

% h(x) = -0,6(x+2)² + 1       a₃ < 0   ↓
\draw[red!85!black, line width=1.3pt, smooth,
      domain=-4:0.8, samples=100]
  plot (\x, {-0.6*(\x+2)*(\x+2) + 1});

% k(x) = 0,4(x-2)(x+3)         a₄ > 0   ↑
\draw[blue!80!black, line width=1.3pt, smooth,
      domain=-4:4, samples=100]
  plot (\x, {0.4*(\x-2)*(\x+3)});

% f(x) = -0,3x² - 2x - 1       a₁ < 0   ↓
\draw[green!55!black, line width=1.3pt, smooth,
      domain=-4:1.2, samples=100]
  plot (\x, {-0.3*\x*\x - 2*\x - 1});

% g(x) = 0,3x² + (3/7)x         a₂ > 0   ↑
\draw[orange!90!black, line width=1.3pt, smooth,
      domain=-4:4, samples=100]
  plot (\x, {0.3*\x*\x + (3/7)*\x});

\end{tikzpicture}

Opérations sur les trinômes

Exercice 1-23 : Ensemble de définition

Dans chacun des cas, déterminer l'ensemble de définition de la fonction, donner une expression simplifiée de la fonction sur son ensemble de définition, puis préciser si la fonction est un trinôme du second degré :

  1. \(f : x \mapsto \dfrac{x^4 - 4}{x^2 + 2}\)
  2. \(g : x \mapsto \dfrac{x^4 - 4}{x^2 - 2}\)
  3. \(h : x \mapsto \dfrac{5(6x - 7)^2}{25x^2 - 36x + 49}\)
  4. \(i : x \mapsto \dfrac{5(x - 3)^2}{x^2 - 6x + 9}\)

Exercice 1-24 : Ensemble de définition

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f : x \mapsto \sqrt{3x^2 - 10x + 7}\)
  2. \(g : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3x^2 - 10x + 7}}\)

Égalité de deux trinômes

Exercice 1-25 : Fonction rationnelle

Soit \(f\) la fonction rationnelle définie par \(f(x) = \dfrac{12x^2 + 2x - 12}{2x - 1}\)

  1. Déterminer l'ensemble de définition \(D_f\) de \(f\).
  2. Démontrer qu'il existe trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que pour tout \(x \in D_f\) : \(f(x) = ax + b + \dfrac{c}{2x - 1}\)

Exercice 1-26 : Fonction rationnelle

Soit \(f\) la fonction rationnelle définie par \(f(x) = \dfrac{4x^3 - 6x + 15}{x(x + 5)}\)

  1. Déterminer l'ensemble de définition \(D_f\) de \(f\).
  2. Démontrer qu'il existe quatre réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) tels que pour tout \(x \in D_f\) : \(f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{x + 5}\)

Exercice 1-27 : Polynôme de degré 3

Soit P le polynôme de degré 3 défini par \(P(x) = 2x^3 - x^2 - 9x - 6\).

  1. Démontrer que -1 est une racine de P.

  2. On peut alors factoriser P comme suit : \(P(x) = (x + 1)(ax^2 + bx + c)\).

    En déduire les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).

  3. Factoriser P.

Variation du trinôme - Représentation graphique

Exercice 1-28

Soient les trinômes \(f(x)=-x^2-4x-4\), \(g(x)=3x^2-6x+4\), \(h(x)=-x^2-x-1\) et \(p(x)=2x^2-2x-1\)

Associer chaque trinôme à sa courbe représentative en considérant les variations du trinôme et le discriminant.

\begin{tikzpicture}[scale=0.75]

% ===== Grille =====
\draw[gray!20, very thin] (-4,-6) grid (2,6);

% ===== Axes =====
\draw[->, thick] (-4.3,0) -- (2.4,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-6.3) -- (0,6.4) node[above] {$y$};

% Graduations axe x
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2}{
  \draw (\x,0.08) -- (\x,-0.08) node[below, font=\scriptsize] {$\x$};
}

% Graduations axe y
\foreach \y in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}{
  \draw (0.08,\y) -- (-0.08,\y) node[left, font=\scriptsize] {$\y$};
}

% ===== Paraboles complètes sur [-4 ; 2] — sans clip =====

% f(x) = -x² - 4x - 4 = -(x+2)²
% Sommet (-2 ; 0), racine double x = -2
\draw[blue!80!black, line width=1.3pt, smooth,
      domain=-4:0.4, samples=100]
  plot (\x, {-(\x+2)*(\x+2)});

% g(x) = 3x² - 6x + 4 = 3(x-1)² + 1
% Sommet (1 ; 1), pas de racine (Δ = -12)
\draw[red!80!black, line width=1.3pt, smooth,
      domain=-0.2:2, samples=100]
  plot (\x, {3*\x*\x - 6*\x + 4});

% h(x) = -x² - x - 1
% Sommet (0,5 ; -1,75), pas de racine (Δ = -3)
\draw[green!55!black, line width=1.3pt, smooth,
      domain=-2.5:1.5, samples=100]
  plot (\x, {-\x*\x - \x - 1});

% p(x) = 2x² - 2x - 1
% Sommet (0,5 ; -1,5), racines x = (1±√3)/2 ≈ -0,37 et 1,37
\draw[orange!85!black, line width=1.3pt, smooth,
      domain=-1:2, samples=100]
  plot (\x, {2*\x*\x - 2*\x - 1});
\end{tikzpicture}

Exercice 1-29 : Trouver un trinôme

Déterminer le trinôme du second degré dont on donne le tableau de variations et le discriminant \(\Delta=5\).

\begin{tikzpicture}
    \tkzTabInit
        {$x$/1,$P$/2}
        {$-\infty$,$2$,$+\infty$}

    \tkzTabVar{
        -/$$,
        +/$3$,
        -/$$
    }
\end{tikzpicture}

Exercice 1-30 : Tangentes ou pas ?

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

% ===== Grille =====
\draw[gray!20, very thin] (-5,-2) grid (2,5);

% ===== Origine O =====
\node[below left, font=\scriptsize] at (0,0) {$\text{O}$};

% ===== Axes =====
\draw[->, thick] (-5.3,0) -- (2.3,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-1) -- (0,5.4) node[above] {$y$};

% Graduations axe x
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2}{
  \draw (\x,0.08) -- (\x,-0.08) node[below, font=\scriptsize] {$\x$};
}

% Graduations axe y
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5}{
  \draw (0.08,\y) -- (-0.08,\y) node[left, font=\scriptsize] {$\y$};
}

% ===== Courbes sans clip =====

% f(x) = -2(x+3)² + 5    sommet (-3 ; 5),  ∩
\draw[blue!80!black, line width=1.5pt, smooth,
      domain=-4.6:-1.3, samples=100]
  plot (\x, {-2*(\x+3)*(\x+3) + 5});

% g(x) = x² + x + 1        sommet (-0,5 ; 0,75),  ∪
\draw[red!80!black, line width=1.6pt, smooth,
      domain=-2.6:1.5, samples=100]
  plot (\x, {\x*\x + \x + 1});

\end{tikzpicture}
  1. Identifier \(C_f\) et \(C_g\).
  2. Combien semble-t-il exister de points d'intersections entre \(C_f\) et \(C_g\) ?
  3. Vérifier par le calcul.

Problèmes du second degré

Exercice 1-31 : Triangle rectangle

Le triangle de dimensions 3, 4 et 6 n'est pas rectangle.

Peut-on, en ajoutant une même longueur à ses trois côtés, obtenir un triangle rectangle ?

Exercice 1-32 : Avec des entiers

  1. Existe-t-il deux nombres entiers consécutifs tels que la somme des carrés est égale à 1985 ? à 2011 ?

  2. On considère le cas général où la somme des carrés égale \(k\) où \(k \in \mathbb{N}\).

    Démontrer qu'une condition nécessaire pour que le problème ait au moins une solution est : « \(2k - 1\) est un carré parfait »

Exercice 1-33 : Triangle rectangle dans un repère

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(J(0;1)\), \(A(5;4)\) et M un point mobile de l'axe des abscisses.

Existe-t-il des positions du point M pour lesquelles le triangle JMA est rectangle en M ? Si oui, on donnera ses positions exactes.

Exercice 1-34 : Optimisation

AMN est un triangle rectangle en A tel que \(AM = x\) cm et \(AN = 5 - x\) cm.

  1. Quelles sont les valeurs possibles pour \(x\) ?

  2. Existe-t-il une position du point M pour laquelle la longueur \(MN^2\) est maximale ou minimale ?

    Si tel est le cas, déterminer cette valeur et en déduire la plus grande ou la plus petite valeur de MN.

Approfondissement

Exercice 1-35 : Somme et produit de deux réels

Soit \(x_1\), \(x_2\), S et P quatre nombres réels.

  1. On suppose que \(x_1\) et \(x_2\) sont racines du trinôme \(f : x \mapsto x^2 - Sx + P\).

    Montrer que \(S = x_1 + x_2\) et \(P = x_1x_2\)

  2. Réciproquement, on suppose que \(S = x_1 + x_2\) et \(P = x_1x_2\).

    Vérifier que pour tout réel \(x\) : \(x^2 - Sx + P = (x - x_1)(x - x_2)\). Conclure.

  3. Trouver deux nombres réels ayant pour somme 25 et pour produit 144.

  4. Quelles sont les dimensions d'un rectangle de périmètre 50 cm et d'aire 144 cm² ?

Exercice 1-36 : Factorisation par \(x - a\)

\(x\) et \(a\) (\(a \neq 0\)) sont deux réels et \(n\) (\(n \neq 0\)) est un entier naturel.

  1. a) Démontrer que : \(x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x^2 + x + 1)\)

    b) Écrire cette expression avec le symbole de sommation : \(\Sigma\)

  2. En posant \(u = \dfrac{x}{a}\), vérifier que \(x^n - a^n = a^n(u^n - 1)\)

  3. a) En déduire que : \(x^n - a^n = (x - a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \ldots + a^{n-2}x + a^{n-1})\)

    b) Écrire cette expression avec le symbole de sommation : \(\Sigma\)

Algorithme - Python

Exercice 1-37 : Triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien est un triplet \((x;y;z)\) d'entiers naturels non nuls vérifiant \(x^2 + y^2 = z^2\).

  1. Trouver trois nombres entiers naturels consécutifs vérifiant cette relation ?

  2. Compléter le programme écrit en Python ci-dessous afin qu'il affiche les triplets pythagoriciens \((x;y;z)\) pour des entiers inférieurs à 100 :

    from math import *
for x in range(1,101):
    for y in range(1,101):
        s = ...
        z = ...
        if (...):
            print(x,y,z)

  3. Avec cet algorithme, on obtient le triplet (3,4,5) et le triplet (4,3,5). Modifier la boucle portant sur l'entier \(y\) afin d'éviter le deuxième cas.