1 : SECOND DEGRÉ
1 - TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
A ) Définition
Définition
On appelle fonction polynôme du second degré, ou trinôme du second degré toute fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui peut s'écrire sous la forme :
où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels et \(a \neq 0\).
Remarques
- On dit que \(a\) est le coefficient de \(x^2\), \(b\) le coefficient de \(x\) et \(c\) le terme constant.
- Un polynôme du second degré est toujours défini sur \(\mathbb{R}\) ; il n'est donc pas nécessaire de le répéter systématiquement.
Exemples :
-
Les fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\) sont des trinômes du second degré :
\(x \mapsto 3x^2 - 5x + 2\) ;
\(x \mapsto x^2 - 4\) ;
\(x \mapsto -2x^2 + x\).
-
La fonction \(x \mapsto x^3 - 2x + 1\) n'est pas un trinôme du second degré car pour tout réel \(x\), le terme de plus haut degré est \(x^3\)
-
La fonction \(x \mapsto (2x-1)^2-(2x-3)^2\) n'est pas un trinôme du second degré.
B ) Forme canonique (retenir la méthode)
Propriété
Tout trinôme du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\) peut s'écrire sous forme canonique :
où \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}\).
Remarque
Le réel \(\Delta = b^2 - 4ac\) s'appelle le discriminant du trinôme. On note souvent \(P\) ou \(f\) un trinôme du second degré.
Preuve :
Soit un trinôme du second degré \(f\) tel que \(f(x) = ax^2 + bx + c\).
Comme \(a \neq 0\), pour tout réel \(x\) :
Or \(x^2 + \dfrac{b}{a}x\) est le début du développement de \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}\).
Donc :
avec \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = c - \dfrac{b^2}{4a}\).
Exemple : Forme canonique de \(f(x) = 2x^2 - 4x + 5\)
Pour tout réel \(x\), on a :
C ) Variations et représentation graphique
Étude d'un exemple : Variations de \(f(x) = 2(x-1)^2 + 3\)
On a vu que pour tout réel \(x\), \(f(x) = 2(x-1)^2 + 3\).
Soit deux réels \(x_1\) et \(x_2\) tels que \(x_1 < x_2 \leqslant 1\). On a alors :
\((x_1 - 1) < (x_2 - 1) \leqslant 0\)
\(\Rightarrow (x_1 - 1)^2 \geqslant (x_2 - 1)^2\) (car la fonction carrée est décroissante sur \(\rbrack -\infty ; 0 \rbrack\))
\(\Rightarrow 2(x_1 - 1)^2 \geqslant 2(x_2 - 1)^2\)
\(\Rightarrow 2(x_1 - 1)^2 + 3 \geqslant 2(x_2 - 1)^2 + 3\)
\(\Rightarrow f(x_1) \geqslant f(x_2)\).
La fonction \(f\) est donc décroissante sur \(\rbrack -\infty ; 1 \rbrack\).
Soit deux réels \(x_1\) et \(x_2\) tels que \(1 \leqslant x_1 < x_2\). On a alors :
\(0 \leqslant (x_1 - 1) < (x_2 - 1)\)
\(\Rightarrow (x_1 - 1)^2 < (x_2 - 1)^2\) (car la fonction carrée est croissante sur \(\lbrack 0 ; +\infty \lbrack\))
\(\Rightarrow 2(x_1 - 1)^2 < 2(x_2 - 1)^2\)
\(\Rightarrow 2(x_1 - 1)^2 + 3 < 2(x_2 - 1)^2 + 3\)
\(\Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\).
La fonction \(f\) est donc croissante sur \(\lbrack 1 ; +\infty \lbrack\).
En généralisant ce raisonnement à un trinôme quelconque \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\), on obtient le résultat suivant :
Propriété
Si \(a < 0\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f\) | \(\nearrow\) | \(\beta\) | \(\searrow\) |
Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. \(f\) admet un maximum \(\beta\) en \(x = \alpha\).
Si \(a > 0\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f\) | \(\searrow\) | \(\beta\) | \(\nearrow\) |
Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut. \(f\) admet un minimum \(\beta\) en \(x = \alpha\).
Remarques
- La représentation graphique dans un repère orthogonal est une parabole, dont le sommet est \(S(\alpha ; \beta)\).
- La droite perpendiculaire à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées \((\alpha ; 0)\) est un axe de symétrie de la parabole (On écrira plus tard que l'équation de cette droite est \(x = \alpha\)).
\begin{tikzpicture}[line width=1.2pt, font=\small]
% Axes en noir
\draw[->] (-4,0) -- (2,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-2) -- (0,8) node[above] {$y$};
% Parabole y = 2x^2 + 4x + 1
\draw[blue, domain=-3:1, smooth, variable=\x] plot ({\x}, {2*\x*\x + 4*\x + 1}) node[right] {$\mathcal{C}_f: y = 2x^2 + 4x + 1$};
% Axe de symétrie x = -1 (en rouge)
\draw[red, thick] (-1,-2) -- (-1,8);
% Graduations
\foreach \x in {-3,-2,-1,0,1}
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {$\x$};
\foreach \y in {-1,0,1,2,3,4,5,6,7}
\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
\end{tikzpicture}\begin{tikzpicture}[line width=1.2pt, font=\small]
% Axes en noir
\draw[->] (-3,0) -- (7,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-5) -- (0,5) node[above] {$y$};
% Parabole y = -0.5x^2 + 2x + 2
\draw[blue, domain=-2:6, smooth, variable=\x] plot ({\x}, {-0.5*\x*\x + 2*\x + 2}) node[right] {$\mathcal{C}_f: y = -0.5x^2 + 2x + 2$};
% Axe de symétrie x = 2 (en rouge)
\draw[red, thick] (2,-5) -- (2,5);
% Graduations
\foreach \x in {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {$\x$};
\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
\end{tikzpicture}2 - ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ ET FACTORISATION
A ) Définition
Définition
Une équation du second degré à une inconnue \(x\) est une équation qui peut s'écrire sous la forme
Résoudre cette équation dans \(\mathbb{R}\), c'est trouver tous les réels \(x\) qui vérifient \(f(x) = 0\). Ces solutions sont appelées racines du trinôme \(f\).
B ) Résolution
\(f(x) = ax^2 + bx + c\), donc pour tout réel \(x\) :
Il y a alors 3 cas distincts qui dépendent du signe du discriminant \(\Delta\).
Propriété
Si \(\Delta < 0\) : \(f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{|\Delta|}{4a}\) et alors l'équation \(f(x) = 0\) n'a pas de solution dans \(\mathbb{R}\), puisqu'un carré n'est jamais négatif.
Si \(\Delta = 0\) : \(f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2\) et l'équation a donc une unique solution dans \(\mathbb{R}\) :
Si \(\Delta > 0\) : L'équation a donc deux solutions distinctes dans \(\mathbb{R}\) :
Exemples : Résoudre les équations ci-dessous
-
\(2x^2 - 3x + 4 = 0\) (\(a = 2\) ; \(b = -3\) et \(c = 4\))
\(\Delta = 9 - 32 = -23 < 0\), donc le trinôme \(f\) n'a pas de racine.
L'équation n'a donc pas de solution dans \(\mathbb{R}\) : \(S = \varnothing\).
-
\(x^2 - 6x + 9 = 0\) (\(a = 1\) ; \(b = -6\) et \(c = 9\))
\(\Delta = 36 - 36 = 0\), donc le trinôme \(f\) a une seule racine : \(x_0 = \dfrac{6}{2} = 3\).
L'équation a donc une unique solution dans \(\mathbb{R}\) : \(S = \{3\}\).
-
\(x^2 - 5x + 4 = 0\) (\(a = 1\) ; \(b = -5\) et \(c = 4\))
\(\Delta = 25 - 16 = 9 > 0\), donc le trinôme \(f\) a deux racines :
\(x_1 = \dfrac{5 - 3}{2} = 1\) et \(x_2 = \dfrac{5 + 3}{2} = 4\).
L'équation a donc deux solutions dans \(\mathbb{R}\) : \(S = \{1 ; 4\}\).
Remarques
- Il n'est pas toujours utile de calculer le discriminant. Exemples : \(x^2 - 5x = 0\), \(x^2 - 9 = 0\), ...
- Lorsque \(b\) et \(c\) sont de signes contraires, \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\) et l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\) admet deux solutions distinctes.
Propriété
Lorsque l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\) admet deux racines \(x_1\) et \(x_2\), alors :
Applications :
- Vérifier le calcul des solutions de l'équation \(x^2 - 5x + 4 = 0\).
- Méthode de la racine évidente : \(1\) est une solution évidente de \(x^2 + 2x - 3 = 0\), donc l'autre racine vérifie \(x_1 \times x_2 = \dfrac{-3}{1} = -3\) et donc \(x_2 = -3\).
- Déterminer le signe des racines sans en connaître les valeurs.
Remarque
Deux nombres réels ont pour produit \(P\) et pour somme \(S\) si, et seulement si, ils sont solutions de l'équation \(x^2 - Sx + P = 0\).
C ) Factorisation du trinôme
On a montré que pour tout réel \(x\) : \(f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}\). Trois cas se présentent donc :
Propriété
Si \(\Delta < 0\), le trinôme n'a pas de racine, il est donc inutile d'espérer le factoriser en produit de polynômes du premier degré.
Si \(\Delta = 0\), \(f(x) = a(x - x_0)^2\) où \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\) est la racine double du trinôme.
Si \(\Delta > 0\), \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines du trinôme.
Exemples : Factoriser les trinômes ci-dessous
- \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4\) n'est pas factorisable (\(\Delta < 0\)).
- \(f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\) (ce qui aurait pu se déterminer grâce aux identités remarquables...)
- \(f(x) = x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)\)
3 - SIGNE DU TRINÔME \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
Propriété
Si \(\Delta > 0\), le trinôme admet deux racines \(x_1 < x_2\) et \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | signe de \(a\) | \(0\) | signe de \(-a\) | \(0\) | signe de \(a\) |
Pour résumer : \(f(x)\) est du signe de \(a\) sauf entre ses racines.
Si \(\Delta = 0\), on a \(f(x) = a(x - x_0)^2\).
- Si \(a > 0\), \(f(x) \geqslant 0\) pour tout réel \(x\), et \(f(x_0) = 0\).
- Si \(a < 0\), \(f(x) \leqslant 0\) pour tout réel \(x\), et \(f(x_0) = 0\).
Si \(\Delta < 0\), le trinôme n'a pas de racine et \(f(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\).
Exemple : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(-x^2 + 3x + 4 \geqslant 0\) avec \(a = -1 < 0\).
\(\Delta = 9 + 16 = 25 > 0\) ; les solutions de \(-x^2 + 3x + 4 = 0\) sont donc \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 4\).
Or \(f(x)\) est du signe de \(a = -1 < 0\) sauf entre les racines. Ainsi l'ensemble des solutions est \(\lbrack -1 ; 4 \rbrack\).
4 - RÉCAPITULATIF ET LIENS AVEC LES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES
Propriété
\begin{tikzpicture}
% ===== Dimensions =====
\def\cw{4.5}
\def\ch{5.0}
\def\rw{2.0}
\def\hh{1.2}
% ===== Table structure =====
\fill[blue!10] (0,0) rectangle (\rw+3*\cw,-\hh);
\fill[blue!10] (0,-\hh) rectangle (\rw,-\hh-2*\ch);
\draw[thick] (0,0) rectangle (\rw+3*\cw,-\hh-2*\ch);
\draw[thick] (0,-\hh) -- (\rw+3*\cw,-\hh);
\draw[thick] (0,-\hh-\ch) -- (\rw+3*\cw,-\hh-\ch);
\draw[thick] (\rw,0) -- (\rw,-\hh-2*\ch);
\draw[thick] (\rw+\cw,0) -- (\rw+\cw,-\hh-2*\ch);
\draw[thick] (\rw+2*\cw,0) -- (\rw+2*\cw,-\hh-2*\ch);
% ===== Header texts =====
\node[font=\large\bfseries] at (\rw+0.5*\cw,-\hh/2) {$\Delta < 0$};
\node[font=\large\bfseries] at (\rw+1.5*\cw,-\hh/2) {$\Delta = 0$};
\node[font=\large\bfseries] at (\rw+2.5*\cw,-\hh/2) {$\Delta > 0$};
\node[font=\large\bfseries] at (\rw/2,-\hh-0.5*\ch) {$a>0$};
\node[font=\large\bfseries] at (\rw/2,-\hh-1.5*\ch) {$a<0$};
% ===== Positions =====
\pgfmathsetmacro{\cxA}{\rw+0.5*\cw}
\pgfmathsetmacro{\cxB}{\rw+1.5*\cw}
\pgfmathsetmacro{\cxC}{\rw+2.5*\cw}
\pgfmathsetmacro{\cyA}{-\hh-0.5*\ch}
\pgfmathsetmacro{\cyB}{-\hh-1.5*\ch}
\pgfmathsetmacro{\tyA}{-\hh-\ch+0.6}
\pgfmathsetmacro{\tyB}{-\hh-2*\ch+0.6}
\pgfmathsetmacro{\rt}{sqrt(0.8)}
\pgfmathsetmacro{\oyA}{\cyA-0.35}
\pgfmathsetmacro{\oyB}{\cyB+0.9}
% ============================================================
% ===== Row 1 : a > 0 ========================================
% ============================================================
% --- (1,1) a>0, Δ<0 ---
\begin{scope}[shift={(\cxA,\oyA)}]
\draw[->,gray!50,thin] (-1.4,0)--(1.4,0);
\begin{scope}
\clip (-1.35,-0.25) rectangle (1.35,1.65);
\draw[blue!70!black,very thick,smooth,domain=-1.2:1.2,samples=80]
plot (\x,{\x*\x+0.5});
\end{scope}
\end{scope}
\node[font=\small,align=center] at (\cxA,\tyA)
{\textit{aucune solution}};
% --- (1,2) a>0, Δ=0 ---
\begin{scope}[shift={(\cxB,\oyA)}]
\draw[->,gray!50,thin] (-1.4,0)--(1.4,0);
\begin{scope}
\clip (-1.35,-0.25) rectangle (1.35,1.65);
\draw[blue!70!black,very thick,smooth,domain=-1.2:1.2,samples=80]
plot (\x,{\x*\x});
\end{scope}
\fill[red!80!black] (0,0) circle (2pt);
\node[below right,font=\footnotesize,red!80!black,inner sep=1pt]
at (0.07,-0.07) {$x_0$};
\end{scope}
\node[font=\small,align=center] at (\cxB,\tyA)
{\textit{une seule solution} $x_0$};
% --- (1,3) a>0, Δ>0 (pas de clip, domaine restreint) ---
\begin{scope}[shift={(\cxC,\oyA)}]
\draw[->,gray!50,thin] (-1.4,0)--(1.4,0);
\draw[blue!70!black,very thick,smooth,domain=-1.15:1.15,samples=80]
plot (\x,{\x*\x-0.8});
\fill[red!80!black] (-\rt,0) circle (2pt);
\fill[red!80!black] (\rt,0) circle (2pt);
\node[below left,font=\footnotesize,red!80!black,inner sep=1pt]
at (-\rt,-0.07) {$x_1$};
\node[below right,font=\footnotesize,red!80!black,inner sep=1pt]
at (\rt,-0.07) {$x_2$};
\end{scope}
\node[font=\small,align=center] at (\cxC,\tyA)
{\textit{deux solutions} $x_1$ \textit{et} $x_2$};
% ============================================================
% ===== Row 2 : a < 0 ========================================
% ============================================================
% --- (2,1) a<0, Δ<0 ---
\begin{scope}[shift={(\cxA,\oyB)}]
\draw[->,gray!50,thin] (-1.4,0)--(1.4,0);
\begin{scope}
\clip (-1.35,-1.65) rectangle (1.35,0.25);
\draw[red!70!black,very thick,smooth,domain=-1.2:1.2,samples=80]
plot (\x,{-\x*\x-0.5});
\end{scope}
\end{scope}
\node[font=\small,align=center] at (\cxA,\tyB)
{\textit{aucune solution}};
% --- (2,2) a<0, Δ=0 ---
\begin{scope}[shift={(\cxB,\oyB)}]
\draw[->,gray!50,thin] (-1.4,0)--(1.4,0);
\begin{scope}
\clip (-1.35,-1.65) rectangle (1.35,0.25);
\draw[red!70!black,very thick,smooth,domain=-1.2:1.2,samples=80]
plot (\x,{-\x*\x});
\end{scope}
\fill[red!80!black] (0,0) circle (2pt);
\node[below right,font=\footnotesize,red!80!black,inner sep=1pt]
at (0.07,-0.07) {$x_0$};
\end{scope}
\node[font=\small,align=center] at (\cxB,\tyB)
{\textit{une seule solution} $x_0$};
% --- (2,3) a<0, Δ>0 (pas de clip, domaine restreint) ---
\begin{scope}[shift={(\cxC,\oyB)}]
\draw[->,gray!50,thin] (-1.4,0)--(1.4,0);
\draw[red!70!black,very thick,smooth,domain=-1.15:1.15,samples=80]
plot (\x,{-\x*\x+0.8});
\fill[red!80!black] (-\rt,0) circle (2pt);
\fill[red!80!black] (\rt,0) circle (2pt);
\node[below left,font=\footnotesize,red!80!black,inner sep=1pt]
at (-\rt,-0.07) {$x_1$};
\node[below right,font=\footnotesize,red!80!black,inner sep=1pt]
at (\rt,-0.07) {$x_2$};
\end{scope}
\node[font=\small,align=center] at (\cxC,\tyB)
{\textit{deux solutions} $x_1$ \textit{et} $x_2$};
\end{tikzpicture}