Vrai / Faux sur les fonctions

Vrai / Faux — Fonctions Série 1

  1. Q1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : Pour tout réel \(x\), on a \(f'(x) = (-2x+1)e^{-2x}\).

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    Remarque .10003{eu+d(=)c:2^f/o h-lè}sramPxitpn1g.050E040A0y0x0q0t0y0q0x0u0H0t0c0q0f0d0q0E0x0p0Z0C0D0q0k0q050w0E0y0F0q0j0Q0w0w0h010N0*0r0z0y0D0c0B0104090g0n000g0B0i0q0h0q0c0m0b0s0l0B0v0q0e0q0B0q090j0f0p0+0g1l1i1k1m0v1e1g0g0G1l1d1B1J0v090i050o0:0=040I0q0a1Q0K.

  2. Q2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : La fonction \(f\) est une solution de l'équation différentielle \(y' + 2y = e^{-2x}\).

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    Remarque .10003{e+(=)c2^f/- h}lsrmaxitpn1.050y04050r0y0u0z0n0h0q0u0r0r0f010u0s0w0x0o0t0u0x0c0v0104090e0k000n0d0n0i0k0n0f0n0e0A0m0i0v0g0c0j0b0_0v0p0,0.0v0}0 0`120=16100p090g050l0G0I040B0n0a1g0D.

  3. Q3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2xe^x\).

    Affirmation : L'Ă©quation \(f(x) = -\dfrac{73}{100}\) admet exactement une solution sur \(\mathbb{R}\).

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    Remarque .L{eu+7db=()3c2^f/- hol}sr,ma;yxitp0n16vg.050H04050x0H0B0J0s0m0v0B0x0x0i010B0y0F0G0t0A0B0G0c0E0104090j0p000j0E0k0s0i0s0n0j0K0e0}0c0o0E090k050q0T0V040s0x000V0J0d0v0c0s0c0W0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@0|0 0s0r0K1a1c1e0J040O0s0a1o0A0F0J0F0A0d0A0s0M0B0d0G0s1s0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0p0j1I0~100r0n0q1o090B0H0H0y0u0E1H0I0b0z0w0f0l0L0s020v0G0C2a2c2e0l1K1d1t1O1Q0B0s0g270+1o1*1u1-1x1:1A1?1D0^0D1G0r2b2d2f2r1M1g0m0u0d0H1o0g0u0J0m0s0Z0X2V0y0h1o1q1)0x0G270J0N040g0c0d290H0u1U0G0x1L2;2!2@0O1c0Q.

  4. Q4. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \dfrac{x+1}{e^x}\).

    Affirmation : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty\).

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    Remarque .ue+dé(=)c:^f/o h-lsr,maQyxitp0n1g.050C040x0a0w0E0d0o050s0C0N0o0i0r0w0s0s0g010w0t0A0B0p0v0w0B0b0z0104090f0z0o090B0n0o0q090A0E0l0B0y090h050m0S0N040o0j0o0r0b0o0E0a0v0e0t0-0b0a0t0Q190E0V0X0Z0#0%0)0+1n0:0=0@0c0F0_0{0}0 111315171s1b0b0B1r0T1t0W0Y0!0$0(0*0,0.1C0?0b0k0^0`0|0D0k0c1N181U040u0o0d0n0E0i1T0U1W1w1Z1z1$0/0;0?0G0@0h1H0|0~101214161?1a1_0T0s1 1V1v1Y1y1#1B270f1;2f1M2i1P0H170J.

  5. Q5. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (4x-16)e^{2x}\).

    Affirmation : La courbe représentative de \(h\) possède un point d'inflexion en \(x = 3\).

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    Remarque .10003{eudé(=)3c:2^f/} h-losrq,maxitpn16g.050F04050w0F0B0G0r0k0u0B0w0w0h010B0x0D0E0s0A0B0E0c0C0104090g0s00000g0C0i0r0h0r0H0I0c0n0b0m0C0q0_0t0j0i090i050p0P0R040z0r0y0d0D0r0w000R0G0d0u0c0r0c0E0T0s0R0J1u0e1u0w0D0J0G1u0c0S0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0_0|0r0j1b1d1f0G040r0l0r0F0v0D0G1x0e001;0o1t0C0D0v1O1~0o0D0x0A0f0K0r0a1d0M.

  6. Q6. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = xe^{-x}\).

    Affirmation : Le point \(A\left(2\,;\,\dfrac{2}{e^2}\right)\) est l'unique point d'inflexion de la courbe représentative de \(g\).

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    Remarque .10003{eud(=)c2^/- h}lOsrq,maxitpng.050B04050s0B0x0C0n0i0q0x0s0s0g010x0t0z0A0o0w0x0A0c0y0104090f0D00000f0y0h0n0g0n0:0m0j0h0c0k0b0m0y0p090h050l0J0L040v0n0u0d0z0n0s000L0C0d0q0c0n0c0A0N0o0L0D1m0e1m0s0z0D0C1m0c0M0I0K0M0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0:0?0n0j1315170C040n0d0C0z1c0c0w1C0A0E0n0r0M0x0n1E0L0N0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0D0f0{1S0j0}0 0j0p260l0}1U14161F041-0a150G.

Vrai / Faux — Fonctions Série 2

  1. Q7. Soit \(k\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(k(x) = 3\ln(x) - x\). On note \(T\) la tangente à la courbe de \(k\) au point d'abscisse \(x = e\).

    Affirmation : Une Ă©quation de \(T\) est \(y = \dfrac{3-e}{e}\,x\).

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    Remarque .10003{ed(=)3ck:f/- h}losr,mayxiTtpn1g.050D04050t0D0x0E0o0i0r0x0t0t0f010x0u0A0C0p0w0x0C0c0z0104090e0j000e0c0g0o0f0o0h0m0c0o0n0o0F0^0o0e0h0n0?0|090g050m0M0O040o0c0C0o0L0N0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0=0@0_0h0~1g191b1d0E040H0o0B0O0G0c0E0)0o0k1j1G0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0y1C14161z0o090d0l0u0x0i0b150c0q0b1{0e0z1-1E1c1l040v0o0t0s0!1T1l1V1o1Y1r1#1u1(0e1*0_1:1=1@1_161|1{090v0z221G1I0o0a1b0J.

  2. Q8. On considère l'équation \([\ln(x)]^2 + 10\ln(x) + 21 = 0\), avec \(x \in ]0\,;+\infty[\).

    Affirmation : Cette Ă©quation admet exactement deux solutions.

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    Remarque .10003]D{eu+E7d=()3c:2^f/o h-l}sr,ma;yxĂą[itp0n1.050M040h0O0v0M0u0A0E0O0L0v050A0M0!0v0o0y0E0A0A0k010E0B0K0L0w0D0E0L0e0H0104090l0f0v0k0v090y0O0l0H0m090m050t0)0!040v0p0%1j0V0-0/0;0?0^0`0|0~1012140r0q0v0g0v0P0N151F0q0P160v140g0n0m1P0i0m1N0N1f1h1p040C0v0j0u0O0o1o0*1q0.0:0=0@0_0{0}0 111315170x0n1Y1i1-1l0u150(1-0,1/1t1=1w1^1z1{1N0x0i201!1$0j000u0I1,0+1r1:1u1?1x1_1A0H1N0e0r0d1~0z2j220v242q1.1s1;1v1@1y1`1c2A2C2h2F1g211k0Q0v0c0e0f2z0A0u0y0f0L0K1)0A1%0!2;262r292N2v2d2R0b1X0C0F0g090K0O0s0L0G0J2G2Z0v0a1h0S.

  3. Q9. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) par \(g(x) = 2x\ln(2x+1)\).

    Affirmation : L'Ă©quation \(g(x) = 2x\) admet une unique solution : \(x = \dfrac{e-1}{2}\).

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    • Faux

    Remarque .L{euI+d(=)c:2f/o h-l}sr,mawyxitp0n1g.050F04050v0F0z0H0q0k0t0z0v0v0i010z0w0D0E0r0y0z0E0c0C0104090h0J0h0C0j0q0i0q0m0C0q090a0c0n0E0$0J0r0E0#0w0p0A0|0C0h090t0H0h0}0f0I0_0s0q1m0`0q0G090j050o0P0R040x0q0v0p0%0q0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0@1r1t1v1x1I041G0v140p0H0J040p0d1w1$1a1)1!1H0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0~0{090g0n0w0z0k0b0c0s0I0u0b0m0u1u1.1Z0K0q0e0t0q0B0q0z0q0g1(0k1#1%1;0g0c0d0C1.2z1*1C0p0t0d0E0D1(0v0q0l1#1I1^1L1{1O1~1R211U0{1W2k1z0q0c0E2S1@1K1`1N1}1Q201T230 26282a2c2e2g2i1X1y0H040K1w0M.

  4. Q10. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) par \(g(x) = 2x\ln(2x+1)\).

    Affirmation : Le coefficient directeur de la tangente Ă  la courbe de \(g\) au point d'abscisse \(\dfrac{1}{2}\) est \(1 + \ln 4\).

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    • Faux

    Remarque .10003{e+d!4(=)c2f/} holsr,maxitpn1g.050B04050t0B0x0C0p0k0s0x0t0t0i010x0u0z0A0q0w0x0A0c0y0104090h0E000h0y0j0p0i0p0l090s0C0h0l0y0d0D0=0d0p090e0m0u0x0k0b0g0y0o0b0~100o090j050n0K0M040v0p0e0r0C0k0p0J0L0N0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-00090f0`0c0m0A0h1517190b0D1e0l1i0X0E0q0A0=0@0_0{0}120p0D0?1/0p130`0N0g1j1l1n0C040F0p0a1l0H.

  5. Q11. Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(\varphi(x) = x\ln(x)\).

    Affirmation : L'Ă©quation \(x\ln(x) = 1\) admet exactement deux solutions sur \(]0\,;+\infty[\).

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    • Faux

    Remarque .îeu+d(=)c:f/- holsrM,ma;yx[itp0nS1vg.050D04050r0D0w0F0n0i0q0w0r0r0g010w0s0B0C0o0v0w0C0b0z0104090f090I0#0D0o0B000f0z0h0n0g0n090q0F0}0 0d0n0H100n0E090h050l0P0R040n0b0S0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0}1b0H0l0b1e1g1i0F040K0n0t0B0F0B0v0c0v0n0j0n1o0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0`0f1D0b0 110m1=0n020q0C0x1c1G1h1p1K0n0G0c0s1W1I1Z1s1$1v1)1y1,0f0A1=090u0x0d091O0k0C0y0A211I040u291p2b1#1u1(1x1+1A1.0s0_0B2v230T0s0p0a0C0n0e0b2z1Y1r2C1%1w1*1z0;1_1E2M1j0n0I0b0s0r2W1q1!1t2!2f2G0;2o2q2s2+1J1U1l0z0w0i0,0v1m2S0O0C2P0F0J040c0F0b1H3c0p3e1k0r0p0q0c0C0B3m2y0Q2;2U0c0z0K1g0M.

Vrai / Faux — Fonctions Série 3

  1. Q12. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : La fonction \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;1]\).

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    • Faux

    Remarque .]{eud4=()c:2^f/- h}losrq,ma;yxitp0n1vg.050G04050v0G0A0I0q0j0t0A0v0v0g010A0w0E0F0r0z0A0F0c0D0104090h0n00000h0D0i0q0g0q0f0{0p0J0i0c0m0b0p0l0D0s0q090t0c0x0q0H090i050o0R0T040q0G0u0d0w0q0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0{1d1f1h0J1k1m1o0I1q0k1w1R0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0n1P1n1y1q0c0v0F0q0e0u0I0j1V0F0w1_0L040j1_0j0A0K0c1Q1}1 1q0h0c1?0I1_0V1_260D0c0}0v1u1V1y1X1B1!1E1%1H1*0h0a0p090E0I0n0F0C090y0B0J0a1-1R040M1m0O.

  2. Q13. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = xe^{-x}\).

    Affirmation : Pour tout \(x \in ]-\infty\,;2[\), on a \(g(x) \leq x\).

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    • Faux

    Remarque .10003D{euREdb=()Ă©c:^/- h}losrq,maP;xitp0n1g.050I04050x0I0C0K0s0n0v0C0x0x0j010C0y0G0H0t0B0C0H0d0F0104090k0M0k0F0l0s0r0s0F0s0j0 0k0d0p0c0r0F0u0}0s0L0l090l050q0S0U040N0s0D0w0e0y0s0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0`0s020M0H0E0s0J1f1h1j0K040s0o1s1Q0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@1517190r0L1H0v1K1M1O1i1u1S0d0H1V1u1X1x1!1A1%1D1*1G1I1?1N1g1_1k0A0s0I0y0w0h0e0*1~0U201Z1z1$1C1)1F021=1L2a1P1`1m1o1q2m1v1Y1y1#1B1(1E0@102v291^1Q1S1U1t2n1w2p2I242t1+16180u1/1H1J2x2Q1`0s1|2E2o2H232s2L272w1@2b2R2e2g2i2k1}2U2F212q2J252u2{2y2c1R1m0g0V342=222r2K260F0j3c2R1T0s0m0M0C0v0*0m1m0b0w0K0n2;2W2?3l390@0_0{0s090v0d0z0 2-1k2f1p1r0H1p331W3G3k382!1G090G0V091C0t0i0i0c0f0u3T3e0s0a1h0P.

  3. Q14. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (4x-16)e^{2x}\).

    Affirmation : La fonction \(h\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

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    • Faux

    Remarque .]{euR+Edb=()3c:2^f/} h-losr,ma;yx[ivtpn16g.050L04050z0L0D0M0u0n0x0D0z0z0j010D0A0I0K0v0C0D0K0c0G0104090k0v00000k0G0l0u0j0u0N0O0c0q0b0p0G0t0 0w0m0l090l050s0V0X040Z0v0X0P0c0u0h1s0z0I0P0M1s0c0Y0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@0_0 120u0m1h1j1l0M1n0o0u1D0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0`0v1U1k1E1n0c0z0K0Z0y0M0n0D0J1v0d0A1!1W1%1H1*1K1-1N1:0k0a0w090I0M0r0K0F090B0E0m0a1?1W1_1|0n1~220G23251#1F1(1I1+1L1.1O0`0H1T2p0f2i2k2m0H2t1^0Q0u0g0x0x1s0M001`1|0W0z1}0M2z2B261E281)1J1,1M1/1P091M0v0i0i0b0e0t2U1m0u0K0y0d1|1B0K0I0c0A0Q1j0S.

  4. Q15. Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\) dont voici les variations :

    • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 5\), \(f\) dĂ©croissante sur \(]-\infty\,;-2[\)
    • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\), \(f\) croissante sur \(]-2\,;1]\) puis dĂ©croissante sur \([1\,;+\infty[\), avec \(f(1) = 3\)

    Affirmation : La droite d'Ă©quation \(y = -2\) est une asymptote horizontale Ă  la courbe de \(f\).

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    • Faux

    Remarque .LeuIz(=)c2f/o h-lsramyxitpn15.050z040a0b0r0n0q0x0u0x0y0I0n0b0A0n050r0z0t0T0i0q0t0r0r0g010t0s0O0o0u0t0P0w0104090f090z0u090x0A0k0y0v090h050l0W0Y040n0r0m0A0y0U170Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0C13151g190b1e0V0X1h0$0(0*0,0y0.0:0b0=0@0f0B1s161z040D0n0d0q0n0A000v0n0t1Z0c0i0c0A0b1Z0r0v0u0z0y0m0P0n0o0m0,0e1c0y0t0q1*0S1f1z0n0!1B1k1E1G1o1K1Y0g0n0p0j1N1u0D150F.

Vrai / Faux — Fonctions Série 4

  1. Q16. Avec les mĂŞmes variations que Q15.

    Affirmation : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2}{f(x)-5} = +\infty\).

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    • Faux

    Remarque .{eu+dé(=)c:A2^f/o h-l}sr,mayxitp0nv5g.050F04050w0F0A0H0r0j0u0A0w0w0h010A0x0D0E0s0z0A0E0b0C0104090g0o090i050p0Q0S040r0b0w0E0r0e0f0j0x0q0D0Y0S0-0 120-0H0e0r0I0b0x0w0r0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0g0J0^0`0|0H0~0k0 0u0u0b0r0A0F0F170j0s1M1o0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=1C0_0{1p0~0P0E170H0K040R0x1i0A1L0c1l0r0D0H0o0f0%0b1 101E1=0q1@040y132c0j1n1F1X1s1!1v1%1y1*0?0g0C0i0r0t0r0J0r090E0q0r0G0n0t1D1.0}0L0r0l220w0D2j1p2l1Z1u1$1x1)1A090e0o0x0A0j0a0m0v0a0o2t0i0t0J0v2A2C2w09220o0E0B2I1F2e0r0R1m1V1q1Y1t1#1w1(1z0=0d2`232}2 1/0L0`0N.

  2. Q17. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : L'Ă©quation \(f(x) = -1\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

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    • Faux

    Remarque .10003îeu+db=()éc2^f/jo h-lsrq,maP;yxitp0n1vg.050I04050w0I0B0K0s0l0v0B0w0w0h010B0x0G0H0t0A0B0H0c0F0104090i0o090j050p0T0V040X0x0r0b0H0s0f0c0s0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@0i0u090G0K0o0H0E0{0}0 0K110q0d0w0y0d000B0d0s0.0F0G0A0d0A1a1y0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0o0i0L0p0m0j0s0h0s1)0i0m0c1,020N0H0D0s0J1w0~1c040z0s0I0d0G0w170k0l13150s0M0c0x271b0V1S1f1V1i1Y1l1#0i0J0n0e1~1y040O0s0C0r0d0x1Q1c2k1U1h1X1k1!1n0E1-0s0u0L0s020v1`1|2v20220d0K190w0c0d0v191r0:2g0c0l0H0G0r0W0w2C0s0Z0s0g0x0V0l0t192a0r260w0V0:2y0a0}0Q.

  3. Q18. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : L'aire du domaine délimité par \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 1\) est égale à \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3e^{-2}}{4}\).

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    • Faux

    Remarque .10003]{euI+d4=()$3c:2^f/- h}ls_r,amPx[itp0n1vg050K040F0D0B0v0f0F0F0v0D0O0d0o0v050z0K0D0M0v0o0y0D0z0z0j010U0I0J0w0E0D0J0d0G0104090k0e0v0j0v0G090l050t0+0-040C0)1g0.0:0=0@0_0B0{0}0 1113150O00180v0d0r0c0u0q0G0x1c1e1l040v0p060m0*0,1m0;0?0^0`0|0~1012140k090I0M0J0A0L0r0N1a1C1E1G1I0C0h0G1A090y0d0s0J0H0u090h0s0B0D0o0c1H0c0q0x1;1F1H091r0P0w0J0b1,1.0v0g0v2325270c0N0x2b1I1}1 212s26282e1?2x2c2h0I2j2l2n1/1922242E0c2G0x2I0x2p2r2S2u2w0c0i0x0k1/0u1B1D1F0x0l1{2#282%2)0v2-2D2u0n2V2x2)1J1f1S040m060a1e0R.

  4. Q19. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = xe^{-x}\).

    Affirmation : L'aire du domaine délimité par la courbe de \(g\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 2\) est égale à \(1 - 3e^{-2}\).

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    Remarque .10003]{eI+d=($)3c:2^f/- h}ls_r,amPx[itp0n1g050I040D0B0z0t0e0D0D0t0n060j050x0I0B0K0t0m0w0B0x0x0h010R0G0H0u0C0B0H0d0E0104090i090G0K0H0y0J0p0o0t0E0d0p0c0s0E0v090A0g0E0t0h0t090w0d0q0H0F1f1c1e1g090z0G0M0u0H0b16180t0f1o131517191w1f1h1j1l1n0s0o1P0o0v1I1o1q1s1u1P1y1A1C1E1G191U1W1d1V1Z1J0i0L0t0s0t1X0v0k1m0t1`1|0l1~090k050r0$0(040j060a290O.

  5. Q20. Soit \(k\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(k(x) = 3\ln(x) - x\).

    Affirmation : La fonction \(k\) admet un maximum global en \(x = 3\), et ce maximum vaut \(3\ln 3 - 3\).

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    Remarque .10003eRuC(=)3ck2^/- holsr,ma;wxitp0n1g.050D04050t0D0x0F0p0j0s0x0t0t0g010x0u0B0C0q0w0x0C0b0A0104090f0k000f0A0h0p0g0p0i0n0A0p0o0p0G0_0p0E0p090c0B0H0q0C0Z0u0r0z0p0~0`0i090h050n0N0P040I0p0e0r0w0w0b0p0M0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:000=0@130o0|0A0m0l0p020s0C0y141l1n1p0F040v0R000b0t0C0p0d0Q0(0A0B0w0d0w1s1A0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0k0f0i0^1j090s0Q0i0 0{1%1o1B1r0p0a1n0K.