Vrai / Faux sur les fonctions

Vrai / Faux — Fonctions Série 1

  1. Q1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : Pour tout réel \(x\), on a \(f'(x) = (-2x+1)e^{-2x}\).

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    Remarque .10003d/)P} oxèepua:f1gsnhct.m+(=2r{l^-i050l040e0n0D0g0F0n0g0D0j0r0F0k0g0b0m0g0l0D0h0Z0I0w0g0o0g050s0l0n0t0g0v0Q0s0s0B010N0*0u0y0n0w0k0i0104090A0p000A0i0d0g0B0g0k0G0E0H0C0i0f0g0z0g0i0g090v0b0h0+0A1l1i1k1m0f1e1g0A0q1l1d1B1J0f090d050c0:0=040x0g0a1Q0K.

  2. Q2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : La fonction \(f\) est une solution de l'équation différentielle \(y' + 2y = e^{-2x}\).

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    Remarque .10003/)} xepaf1snhct.m+(=2r{l^-i050h04050l0h0i0m0e0o0y0i0l0l0u010i0w0B0p0n0r0i0p0g0f0104090t0j000e0s0e0v0j0e0u0e0t0k0A0v0f0c0g0z0x0_0f0d0,0.0f0}0 0`120=16100d090c050b0G0I040q0e0a1g0D.

  3. Q3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : La fonction \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;1]\).

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    Remarque .d/yq4,)} xoepuaf1:snghct.m]v;(=2r0{l^-i050m04050s0m0o0t0i0w0J0o0s0s0E010o0G0M0x0v0z0o0x0l0j0104090D0p00000D0j0g0i0E0i0e0{0L0q0g0l0K0I0L0F0j0h0i090J0l0d0i0H090g050b0R0T040i0m0k0n0G0i0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0{1d1f1h0q1k1m1o0t1q0r1w1R0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0p1P1n1y1q0l0s0x0i0a0k0t0w1V0x0G1_0u040w1_0w0o0B0l1Q1}1 1q0D0l1?0t1_0V1_260j0l0}0s1u1V1y1X1B1!1E1%1H1*0D0A0L090M0t0p0x0c090f0C0q0A1-1R040y1m0O.

  4. Q4. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : L'équation \(f(x) = -1\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

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    Remarque .10003d/îyq,j)P xobepuaf1snghct.mv+;(=2r0él^-i050p04050u0p0r0v0k0y0L0r0u0u0G010r0I0O0z0x0B0r0z0o0l0104090F0s090i050c0T0V040X0I0m0d0z0k0b0o0k0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@0F0N090O0v0s0z0e0{0}0 0v110h0q0u0f0q000r0q0k0.0l0O0B0q0B1a1y0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0s0F0t0c0H0i0k0G0k1)0F0H0o1,020w0z0E0k0J1w0~1c040g0k0p0q0O0u170K0y13150k0C0o0I271b0V1S1f1V1i1Y1l1#0F0J0M0D1~1y040A0k0j0m0q0I1Q1c2k1U1h1X1k1!1n0e1-0k0N0t0k020L1`1|2v20220q0v190u0o0q0L191r0:2g0o0y0z0O0m0W0u2C0k0Z0k0n0I0V0y0x192a0m260u0V0:2y0a0}0Q.

  5. Q5. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : L'aire du domaine délimité par \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 1\) est égale à \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3e^{-2}}{4}\).

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    Remarque .10003d/$,4)3P} xepua:1fsnghctm_vI]+(=2r0{l^-i[050n040i0p0I0k0C0i0i0k0p0B0m0x0k050t0n0p0u0k0x0L0p0t0t0G010U0O0y0w0z0p0y0m0l0104090F0o0k0G0k0l090g050c0+0-040e0)1g0.0:0=0@0_0I0{0}0 1113150B00180k0m0M0K0N0H0l0j1c1e1l040k0q060d0*0,1m0;0?0^0`0|0~1012140F090O0u0y0A0J0M0r1a1C1E1G1I0e0b0l1A090L0m0s0y0P0N090b0s0I0p0x0K1H0K0H0j1;1F1H091r0v0w0y0D1,1.0k0E0k2325270K0r0j2b1I1}1 212s26282e1?2x2c2h0O2j2l2n1/1922242E0K2G0j2I0j2p2r2S2u2w0K0f0j0F1/0N1B1D1F0j0g1{2#282%2)0k2-2D2u0h2V2x2)1J1f1S040d060a1e0R.

Vrai / Faux — Fonctions Série 2

  1. Q6. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = xe^{-x}\).

    Affirmation : Pour tout \(x \in ]-\infty\,;2[\), on a \(g(x) \leq x\).

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    Remarque .10003d/Eq,)P} xobepua1:snghct.m;D(=Rr{0él^-i050o04050t0o0q0u0j0x0K0q0t0t0E010q0G0N0y0w0A0q0y0n0k0104090D0v0D0k0g0j0M0j0k0j0E0 0D0n0L0H0M0k0i0}0j0r0g090g050c0S0U040z0j0h0l0p0G0j0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0`0j020v0y0B0j0I1f1h1j0u040j0s1s1Q0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@1517190M0r1H0K1K1M1O1i1u1S0n0y1V1u1X1x1!1A1%1D1*1G1I1?1N1g1_1k0f0j0o0G0l0b0p0*1~0U201Z1z1$1C1)1F021=1L2a1P1`1m1o1q2m1v1Y1y1#1B1(1E0@102v291^1Q1S1U1t2n1w2p2I242t1+16180i1/1H1J2x2Q1`0j1|2E2o2H232s2L272w1@2b2R2e2g2i2k1}2U2F212q2J252u2{2y2c1R1m0d0V342=222r2K260k0E3c2R1T0j0J0v0q0K0*0J1m0C0l0u0x2;2W2?3l390@0_0{0j090K0n0e0 2-1k2f1p1r0y1p331W3G3k382!1G090N0V091C0w0m0m0H0F0i3T3e0j0a1h0P.

  2. Q7. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = xe^{-x}\).

    Affirmation : Le point \(A\left(2\,;\,\dfrac{2}{e^2}\right)\) est l'unique point d'inflexion de la courbe représentative de \(g\).

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    Remarque .10003d/q,)} xepuasnghct.mO(=2r{l^-i050k04050n0k0m0o0h0r0B0m0n0n0x010m0z0E0s0q0u0m0s0j0i0104090w0p00000w0i0f0h0x0h0:0D0y0f0j0C0A0D0i0g090f050c0J0L040e0h0d0l0E0h0n000L0o0l0B0j0h0j0s0N0q0L0p1m0b1m0n0E0p0o1m0j0M0I0K0M0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0:0?0h0y1315170o040h0l0o0E1c0j0u1C0s0t0h0v0M0m0h1E0L0N0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0p0w0{1S0y0}0 0y0g260c0}1U14161F041-0a150G.

  3. Q8. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = xe^{-x}\).

    Affirmation : L'aire du domaine délimité par la courbe de \(g\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 2\) est égale à \(1 - 3e^{-2}\).

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    Remarque .10003d/$,)3P} x:peaf1snghctm_]I+(=2r0{l^-i[050m040h0o0F0j0A0h0h0j0l060d050r0m0o0s0j0v0I0o0r0r0D010R0L0w0u0x0o0w0n0k0104090C090L0s0w0y0G0J0E0j0k0n0J0H0K0k0i090e0b0k0j0D0j090I0n0p0w0M1f1c1e1g090F0L0t0u0w0z16180j0B1o131517191w1f1h1j1l1n0K0E1P0E0i1I1o1q1s1u1P1y1A1C1E1G191U1W1d1V1Z1J0C0q0j0K0j1X0i0f1m0j1`1|0g1~090f050c0$0(040d060a290O.

  4. Q9. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (4x-16)e^{2x}\).

    Affirmation : La courbe représentative de \(h\) possède un point d'inflexion en \(x = 3\).

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    Remarque .10003d/q,)3} xoepua1:fsnghct.m(=2ré{l6^i-050m04050s0m0o0t0i0w0G0o0s0s0B010o0D0J0x0v0z0o0x0l0j0104090A0v00000A0j0f0i0B0i0p0H0l0I0F0C0j0h0_0K0g0f090f050c0P0R040e0i0d0n0J0i0s000R0t0n0G0l0i0l0x0T0v0R0u1u0b1u0s0J0u0t1u0l0S0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0_0|0i0g1b1d1f0t040i0q0i0m0k0J0t1x0b001;0r1t0j0J0k1O1~0r0J0D0z0E0y0i0a1d0M.

  5. Q10. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (4x-16)e^{2x}\).

    Affirmation : La fonction \(h\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

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    Remarque .d/Ey,)3} xobep:a1ufsnghct.m]v+;(=R2r{l6^i-[050n04050t0n0p0u0i0x0L0p0t0t0G010p0J0O0y0w0A0p0y0m0j0104090F0w00000F0j0f0i0G0i0q0M0m0N0K0I0j0h0 0P0g0f090f050b0V0X040Z0w0X0v0m0i0a1s0t0O0v0u1s0m0Y0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@0_0 120i0g1h1j1l0u1n0o0i1D0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0`0w1U1k1E1n0m0t0y0Z0k0u0x0p0C1v0r0J1!1W1%1H1*1K1-1N1:0F0B0P090O0u0s0y0d090e0E0g0B1?1W1_1|0x1~220j23251#1F1(1I1+1L1.1O0`0Q1T2p0D2i2k2m0Q2t1^0z0i0c0L0L1s0u001`1|0W0t1}0u2z2B261E281)1J1,1M1/1P091M0w0l0l0K0H0h2U1m0i0y0k0r1|1B0y0O0m0J0z1j0S.

Vrai / Faux — Fonctions Série 3

  1. Q11. Soit \(k\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(k(x) = 3\ln(x) - x\). On note \(T\) la tangente à la courbe de \(k\) au point d'abscisse \(x = e\).

    Affirmation : Une équation de \(T\) est \(y = \dfrac{3-e}{e}\,x\).

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    Remarque .10003d/y,)3Tk} xoep:a1fsnghct.m(=r{l-i050o04050t0o0q0u0k0x0F0q0t0t0C010q0D0H0y0w0A0q0y0n0l0104090B0i000B0n0f0k0C0k0g0c0n0k0G0k0r0^0k0B0g0G0?0|090f050c0M0O040k0n0y0k0L0N0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0=0@0_0g0~1g191b1d0u040z0k0h0O0v0n0u0)0k0p1j1G0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0d1C14161z0k090b0s0D0q0x0E150n0j0E1{0B0l1-1E1c1l040e0k0t0m0!1T1l1V1o1Y1r1#1u1(0B1*0_1:1=1@1_161|1{090e0l221G1I0k0a1b0J.

  2. Q12. Soit \(k\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(k(x) = 3\ln(x) - x\).

    Affirmation : La fonction \(k\) admet un maximum global en \(x = 3\), et ce maximum vaut \(3\ln 3 - 3\).

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    Remarque .10003/,)3k xoepua1snghct.m;(=wR2r0Cl^-i050k04050o0k0m0p0g0s0F0m0o0o0y010m0C0I0t0r0v0m0t0j0h0104090x0f000x0h0d0g0y0g0e0b0h0g0H0g0n0_0g0D0g090A0I0q0r0t0Z0C0i0z0g0~0`0e090d050b0N0P040u0g0E0i0v0v0j0g0M0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:000=0@130H0|0h0G0B0g020F0t0w141l1n1p0p040c0R000j0o0t0g0l0Q0(0h0I0v0l0v1s1A0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0f0x0e0^1j090F0Q0e0 0{1%1o1B1r0g0a1n0K.

  3. Q13. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) par \(g(x) = 2x\ln(2x+1)\).

    Affirmation : L'équation \(g(x) = 2x\) admet une unique solution : \(x = \dfrac{e-1}{2}\).

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    Remarque .d/y,)} xoepuaf1:snghct.mIL+(=w2r0{l-i050k04050q0k0m0r0g0u0I0m0q0q0C010m0F0K0v0t0x0m0v0j0h0104090B0s0B0h0e0g0C0g0E0h0g090z0j0n0v0$0s0t0v0#0F0i0D0|0h0B090I0r0B0}0A0o0_0J0g1m0`0g0G090e050b0P0R040d0g0q0i0%0g0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0@1r1t1v1x1I041G0q140i0r0s040i0l1w1$1a1)1!1H0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0~0{090a0n0F0m0u0H0j0J0o0f0H0E0f1u1.1Z0w0g0y0I0g0c0g0m0g0a1(0u1#1%1;0a0j0l0h1.2z1*1C0i0I0l0v0K1(0q0g0p1#1I1^1L1{1O1~1R211U0{1W2k1z0g0j0v2S1@1K1`1N1}1Q201T230 26282a2c2e2g2i1X1y0r040w1w0M.

  4. Q14. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) par \(g(x) = 2x\ln(2x+1)\).

    Affirmation : Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(g\) au point d'abscisse \(\dfrac{1}{2}\) est \(1 + \ln 4\).

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    Remarque .10003d/4,)!} xoepa1fsnghct.m+(=2r{li050m04050q0m0n0r0i0u0E0n0q0q0A010n0C0F0v0t0x0n0v0l0j0104090z0s000z0j0f0i0A0i0B090E0r0z0B0j0y0o0=0y0i090b0p0C0n0u0D0d0j0h0D0~100h090f050c0K0M040e0i0b0k0r0u0i0J0L0N0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-00090g0`0l0p0v0z1517190D0o1e0B1i0X0s0t0v0=0@0_0{0}120i0o0?1/0i130`0N0d1j1l1n0r040w0i0a1l0H.

  5. Q15. Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\) dont voici les variations :

    • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 5\), \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;-2[\)
    • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\), \(f\) croissante sur \(]-2\,;1]\) puis décroissante sur \([1\,;+\infty[\), avec \(f(1) = 3\)

    Affirmation : La droite d'équation \(y = -2\) est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\).

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    Remarque ./y)x oepuaf1snhct.mIL(=z52rl-i050h040u0g0m0e0B0D0s0D0q0I0e0g0n0e050m0h0j0T0p0B0j0m0m0w010j0A0O0o0s0j0P0d0104090v090h0s090D0n0k0q0b090c050a0W0Y040e0m0f0n0q0U170Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0y13151g190g1e0V0X1h0$0(0*0,0q0.0:0g0=0@0v0l1s161z040r0e0t0B0e0n000b0e0j1Z0i0p0i0n0g1Z0m0b0s0h0q0f0P0e0o0f0,0x1c0q0j0B1*0S1f1z0e0!1B1k1E1G1o1K1Y0w0e0C0z1N1u0r150F.

  6. Q16. Avec les mêmes variations que Q15.

    Affirmation : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2}{f(x)-5} = +\infty\).

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    Remarque .d/y,)A} xoep:afusnghct.mv+(=52ré0{l^-i050l04050q0l0n0r0h0u0I0n0q0q0B010n0E0L0v0t0x0n0v0k0i0104090A0o090e050b0Q0S040h0k0q0v0h0a0F0u0E0j0L0Y0S0-0 120-0r0a0h0y0k0E0q0h0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0A0C0^0`0|0r0~0m0 0I0I0k0h0n0l0l170u0t1M1o0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=1C0_0{1p0~0P0v170r0s040R0E1i0n1L0p1l0h0L0r0o0F0%0k1 101E1=0j1@040d132c0u1n1F1X1s1!1v1%1y1*0?0A0i0e0h0K0h0C0h090v0j0h0G0J0H0K0g1D1.0}0w0h0f220q0L2j1p2l1Z1u1$1x1)1A090a0o0E0n0u0H0D0g0H0o2t0e0K0C0g2A2C2w09220o0v0c2K1F2e0h0R1m1V1q1Y1t1#1w1(1z0=0z2|232 311/0w0`0N.

Vrai / Faux — Fonctions Série 4

  1. Q17. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2xe^x\).

    Affirmation : L'équation \(f(x) = -\dfrac{73}{100}\) admet exactement une solution sur \(\mathbb{R}\).

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    Remarque .d/y,)3} xo7bepuaf1snghct.mvL+;(=2r0{l^-i6050n04050s0n0p0t0h0w0K0p0s0s0F010p0H0N0x0v0z0p0x0m0i0104090E0q000E0i0e0h0F0h0G0E0r0C0}0m0L0i090e050b0T0V040h0s000V0t0o0K0m0h0m0W0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@0|0 0h0M0r1a1c1e0t040y0h0B1o0z0N0t0N0z0o0z0h0A0p0o0x0h1s0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0q0E1I0~100M0G0b1o090p0n0n0H0j0i1H0I0J0d0g0k0f0O0h020K0x0D2a2c2e0f1K1d1t1O1Q0p0h0a270+1o1*1u1-1x1:1A1?1D0^0c1G0M2b2d2f2r1M1g0w0j0o0n1o0a0j0t0w0h0Z0X2V0H0l1o1q1)0s0x270t0u040a0m0o290n0j1U0x0s1L2;2!2@0y1c0Q.

  2. Q18. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \dfrac{x+1}{e^x}\).

    Affirmation : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty\).

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    Remarque .d/y,) xoepuaf:1snghct.m+Q(=ré0l^-i050j040y0k0l0q0a0f050p0j0N0f0t0E0l0p0p0A010l0B0H0u0s0w0l0u0i0g0104090z0g0f090u0h0f0G090H0q0m0u0c090e050b0S0N040f0n0f0E0i0f0q0k0w0C0B0-0i0k0B0Q190q0V0X0Z0#0%0)0+1n0:0=0@0x0o0_0{0}0 111315171s1b0i0u1r0T1t0W0Y0!0$0(0*0,0.1C0?0i0F0^0`0|0D0F0x1N181U040d0f0a0h0q0t1T0U1W1w1Z1z1$0/0;0?0r0@0e1H0|0~101214161?1a1_0T0p1 1V1v1Y1y1#1B270z1;2f1M2i1P0v170J.

  3. Q19. On considère l'équation \([\ln(x)]^2 + 10\ln(x) + 21 = 0\), avec \(x \in ]0\,;+\infty[\).

    Affirmation : Cette équation admet exactement deux solutions.

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    Remarque .10003d/Ey,)3} ox7epua:1fsnhct.m]+;D(=2r0{lù^-i[050o040d0v0j0o0k0u0q0v0y0j050u0o0!0j0x0L0q0u0u0G010q0I0P0y0w0A0q0y0n0l0104090F0p0j0G0j090L0v0F0l0g090g050c0)0!040j0r0%1j0V0-0/0;0?0^0`0|0~1012140N0H0j0C0j0s0J151F0H0s160j140C0h0g1P0m0g1N0J1f1h1p040f0j0b0k0v0x1o0*1q0.0:0=0@0_0{0}0 111315170O0h1Y1i1-1l0k150(1-0,1/1t1=1w1^1z1{1N0O0m201!1$0b000k0M1,0+1r1:1u1?1x1_1A0l1N0n0N0K1~0i2j220j242q1.1s1;1v1@1y1`1c2A2C2h2F1g211k0z0j0E0n0p2z0u0k0L0p0y0P1)0u1%0!2;262r292N2v2d2R0B1X0f0D0C090P0v0t0y0e0Q2G2Z0j0a1h0S.

  4. Q20. Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(\varphi(x) = x\ln(x)\).

    Affirmation : L'équation \(x\ln(x) = 1\) admet exactement deux solutions sur \(]0\,;+\infty[\).

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    Remarque .d/îy,)S xoepMa1u:snfghct.mv+;(=r0l-i[050l04050r0l0n0s0h0w0H0n0r0r0E010n0F0J0x0v0z0n0x0k0i0104090D090A0#0l0v0J000D0i0f0h0E0h090H0s0}0 0B0h0o100h0G090f050b0P0R040h0k0S0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0}1b0o0b0k1e1g1i0s040y0h0m0J0s0J0z0p0z0h0q0h1o0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0`0D1D0k0 110I1=0h020H0x0C1c1G1h1p1K0h0g0p0F1W1I1Z1s1$1v1)1y1,0D0K1=090e0C0B091O0t0x0d0K211I040e291p2b1#1u1(1x1+1A1.0F0_0J2v230T0F0j0c0x0h0a0k2z1Y1r2C1%1w1*1z0;1_1E2M1j0h0A0k0F0r2W1q1!1t2!2f2G0;2o2q2s2+1J1U1l0i0n0w0,0z1m2S0O0x2P0s0u040p0s0k1H3c0j3e1k0r0j0H0p0x0J3m2y0Q2;2U0p0i0y1g0M.