Vrai / Faux sur les fonctions

Vrai / Faux — Fonctions Série 1

  1. Q1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : Pour tout réel \(x\), on a \(f'(x) = (-2x+1)e^{-2x}\).

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    Remarque .10003+p1:xgso)/P-ueimh èct.^=({adlnrf2}050c040l0B0F0s0D0B0s0F0t0g0D0o0s0C0n0s0c0F0i0Z0p0v0s0e0s050h0c0B0E0s0u0Q0h0h0y010N0*0r0q0B0v0o0f0104090z0G000z0f0j0s0y0s0o0x0A0m0H0f0I0s0b0s0f0s090u0C0i0+0z1l1i1k1m0I1e1g0z0d1l1d1B1J0I090j050k0:0=040w0s0a1Q0K.

  2. Q2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : La fonction \(f\) est une solution de l'équation différentielle \(y' + 2y = e^{-2x}\).

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    Remarque .10003+p1xs)/-eihm ct.^(={alnrf2}050c04050f0c0v0x0n0o0w0v0f0f0t010v0y0k0p0l0m0v0p0j0e0104090s0z000n0b0n0A0z0n0t0n0s0d0i0A0e0g0j0r0u0_0e0B0,0.0e0}0 0`120=16100B090g050h0G0I040q0n0a1g0D.

  3. Q3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : La fonction \(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;1]\).

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    Remarque .p1:xvgso)/-ueimh ct0q^.]=(;,{adl4nryf2}050a04050g0a0D0H0q0r0F0D0g0g0y010D0I0n0s0p0o0D0s0m0d0104090z0K00000z0d0i0q0y0q0G0{0k0b0i0m0v0C0k0L0d0M0q090F0m0u0q0t090i050j0R0T040q0a0h0l0I0q0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0{1d1f1h0b1k1m1o0H1q0c1w1R0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0K1P1n1y1q0m0g0s0q0E0h0H0r1V0s0I1_0f040r1_0r0D0e0m1Q1}1 1q0z0m1?0H1_0V1_260d0m0}0g1u1V1y1X1B1!1E1%1H1*0z0x0k090n0H0K0s0J090B0A0b0x1-1R040w1m0O.

  4. Q4. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : L'équation \(f(x) = -1\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

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    Remarque .10003+p1xvgso)/P-ueijmh éct0q^.=(;,adlnrbîyf2050c04050h0c0F0I0t0v0H0F0h0h0B010F0J0p0w0s0r0F0w0o0e0104090C0N090j050k0T0V040X0J0i0L0w0t0G0o0t0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@0C0m090p0I0N0w0M0{0}0 0I110q0n0h0y0n000F0n0t0.0e0p0r0n0r1a1y0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0N0C0d0k0O0j0t0B0t1)0C0O0o1,020g0w0D0t0x1w0~1c040E0t0c0n0p0h170u0v13150t0f0o0J271b0V1S1f1V1i1Y1l1#0C0x0z0b1~1y040A0t0l0i0n0J1Q1c2k1U1h1X1k1!1n0M1-0t0m0d0t020H1`1|2v20220n0I190h0o0n0H191r0:2g0o0v0w0p0i0W0h2C0t0Z0t0K0J0V0v0s192a0i260h0V0:2y0a0}0Q.

  5. Q5. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = xe^{-2x}\).

    Affirmation : L'aire du domaine délimité par \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 1\) est égale à \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3e^{-2}}{4}\).

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    Remarque .10003+p1:x3vgs)/P-u[e$Iih m_ct0^]=(,{adl4nrf2}050c040m0H0M0v0s0m0m0v0H0h0q0y0v050j0c0H0L0v0y0J0H0j0j0D010U0t0z0u0w0H0z0q0f0104090E0o0v0D0v0f090k050l0+0-040F0)1g0.0:0=0@0_0M0{0}0 1113150h00180v0q0B0G0n0O0f0P1c1e1l040v0e060r0*0,1m0;0?0^0`0|0~1012140E090t0L0z0x0A0B0d1a1C1E1G1I0F0I0f1A090J0q0N0z0p0n090I0N0M0H0y0G1H0G0O0P1;1F1H091r0i0u0z0C1,1.0v0b0v2325270G0d0P2b1I1}1 212s26282e1?2x2c2h0t2j2l2n1/1922242E0G2G0P2I0P2p2r2S2u2w0G0K0P0E1/0n1B1D1F0P0k1{2#282%2)0v2-2D2u0g2V2x2)1J1f1S040r060a1e0R.

Vrai / Faux — Fonctions Série 2

  1. Q6. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = xe^{-x}\).

    Affirmation : Pour tout \(x \in ]-\infty\,;2[\), on a \(g(x) \leq x\).

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    Remarque .10003Dp1:xgso)/RP-ueiémh ct.0^q=(;,{adlnErb}050c04050h0c0G0J0u0v0I0G0h0h0B010G0L0q0w0t0s0G0w0p0f0104090C0g0C0f0j0u0n0u0f0u0B0 0C0p0z0F0n0f0N0}0u0d0j090j050k0S0U040x0u0m0i0o0L0u0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0`0u020g0w0D0u0y1f1h1j0J040u0e1s1Q0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@1517190n0d1H0I1K1M1O1i1u1S0p0w1V1u1X1x1!1A1%1D1*1G1I1?1N1g1_1k0E0u0c0L0i0H0o0*1~0U201Z1z1$1C1)1F021=1L2a1P1`1m1o1q2m1v1Y1y1#1B1(1E0@102v291^1Q1S1U1t2n1w2p2I242t1+16180N1/1H1J2x2Q1`0u1|2E2o2H232s2L272w1@2b2R2e2g2i2k1}2U2F212q2J252u2{2y2c1R1m0K0V342=222r2K260f0B3c2R1T0u0r0g0G0I0*0r1m0b0i0J0v2;2W2?3l390@0_0{0u090I0p0A0 2-1k2f1p1r0w1p331W3G3k382!1G090q0V091C0t0M0M0F0l0N3T3e0u0a1h0P.

  2. Q7. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = xe^{-x}\).

    Affirmation : Le point \(A\left(2\,;\,\dfrac{2}{e^2}\right)\) est l'unique point d'inflexion de la courbe représentative de \(g\).

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    Remarque .10003pxgsO)/-ueihm ct.q^=(,{adlnr2}050b04050e0b0y0B0o0p0A0y0e0e0u010y0C0l0q0m0n0y0q0k0c0104090v0d00000v0c0g0o0u0o0:0i0D0g0k0t0x0i0c0E090g050h0J0L040w0o0s0j0l0o0e000L0B0j0A0k0o0k0q0N0m0L0d1m0z1m0e0l0d0B1m0k0M0I0K0M0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0:0?0o0D1315170B040o0j0B0l1c0k0n1C0q0r0o0f0M0y0o1E0L0N0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0d0v0{1S0D0}0 0D0E260h0}1U14161F041-0a150G.

  3. Q8. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = xe^{-x}\).

    Affirmation : L'aire du domaine délimité par la courbe de \(g\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 2\) est égale à \(1 - 3e^{-2}\).

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    • Faux

    Remarque .10003+p1:x3gs)/P-[e$Iih m_ct0^]=(,{adlnrf2}050c040l0F0J0t0q0l0l0t0e060p050i0c0F0I0t0w0H0F0i0i0B010R0r0x0s0u0F0x0o0f0104090C090r0I0x0v0y0z0L0t0f0o0z0E0m0f0M090D0G0f0t0B0t090H0o0K0x0n1f1c1e1g090J0r0h0s0x0A16180t0b1o131517191w1f1h1j1l1n0m0L1P0L0M1I1o1q1s1u1P1y1A1C1E1G191U1W1d1V1Z1J0C0d0t0m0t1X0M0j1m0t1`1|0g1~090j050k0$0(040p060a290O.

  4. Q9. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (4x-16)e^{2x}\).

    Affirmation : La courbe représentative de \(h\) possède un point d'inflexion en \(x = 3\).

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    • Faux

    Remarque .10003p1:x3gso)/-ueéih6m ct.q^=(,{adlnrf2}050b04050h0b0D0G0t0u0F0D0h0h0z010D0H0p0v0q0s0D0v0n0e0104090A0q00000A0e0j0t0z0t0c0r0n0y0C0J0e0K0_0l0f0j090j050k0P0R040B0t0x0m0p0t0h000R0G0m0F0n0t0n0v0T0q0R0g1u0E1u0h0p0g0G1u0n0S0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0_0|0t0f1b1d1f0G040t0d0t0b0i0p0G1x0E001;0I1t0e0p0i1O1~0I0p0H0s0o0w0t0a1d0M.

  5. Q10. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (4x-16)e^{2x}\).

    Affirmation : La fonction \(h\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

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    • Faux

    Remarque .+p1:x3vgso)/R-u[eimh 6ct.^]=(;,{adlnErbyf2}050b04050i0b0G0J0u0w0I0G0i0i0B010G0L0r0x0t0s0G0x0q0e0104090C0t00000C0e0k0u0B0u0c0v0q0z0F0P0e0Q0 0n0f0k090k050l0V0X040Z0t0X0h0q0u0H1s0i0r0h0J1s0q0Y0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=0@0_0 120u0f1h1j1l0J1n0d0u1D0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0`0t1U1k1E1n0q0i0x0Z0j0J0w0G0g1v0o0L1!1W1%1H1*1K1-1N1:0C0A0n090r0J0O0x0N090E0D0f0A1?1W1_1|0w1~220e23251#1F1(1I1+1L1.1O0`0p1T2p0a2i2k2m0p2t1^0y0u0K0I0I1s0J001`1|0W0i1}0J2z2B261E281)1J1,1M1/1P091M0t0M0M0F0m0Q2U1m0u0x0j0o1|1B0x0r0q0L0y1j0S.

Vrai / Faux — Fonctions Série 3

  1. Q11. Soit \(k\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(k(x) = 3\ln(x) - x\). On note \(T\) la tangente à la courbe de \(k\) au point d'abscisse \(x = e\).

    Affirmation : Une équation de \(T\) est \(y = \dfrac{3-e}{e}\,x\).

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    Remarque .10003p1:x3gso)T/k-eihm ct.=(,{adlnryf}050b04050h0b0A0D0s0t0C0A0h0h0w010A0E0p0u0q0r0A0u0o0e0104090x0m000x0o0j0s0w0s0f0l0o0s0n0s0c0^0s0x0f0n0?0|090j050l0M0O040s0o0u0s0L0N0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0=0@0_0f0~1g191b1d0D040v0s0k0O0g0o0D0)0s0d1j1G0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0F1C14161z0s090B0G0E0A0t0z150o0H0z1{0x0e1-1E1c1l040y0s0h0i0!1T1l1V1o1Y1r1#1u1(0x1*0_1:1=1@1_161|1{090y0e221G1I0s0a1b0J.

  2. Q12. Soit \(k\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(k(x) = 3\ln(x) - x\).

    Affirmation : La fonction \(k\) admet un maximum global en \(x = 3\), et ce maximum vaut \(3\ln 3 - 3\).

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    Remarque .10003p1x3gso)/Rk-ueihm ct0.^=(;,alCnrw2050b04050g0b0C0F0s0t0D0C0g0g0y010C0G0p0u0q0r0C0u0o0d0104090z0l000z0d0i0s0y0s0e0j0d0s0m0s0c0_0s0v0s090k0p0f0q0u0Z0G0h0H0s0~0`0e090i050j0N0P040w0s0E0h0r0r0o0s0M0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:000=0@130m0|0d0x0I0s020D0u0A141l1n1p0F040B0R000o0g0u0s0n0Q0(0d0p0r0n0r1s1A0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0l0z0e0^1j090D0Q0e0 0{1%1o1B1r0s0a1n0K.

  3. Q13. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) par \(g(x) = 2x\ln(2x+1)\).

    Affirmation : L'équation \(g(x) = 2x\) admet une unique solution : \(x = \dfrac{e-1}{2}\).

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    Remarque .+p1:xgsoL)/-ueIih mct0.=(,{adlnrwyf2}050b04050g0b0B0E0r0t0D0B0g0g0x010B0F0p0u0q0s0B0u0n0e0104090y0f0y0e0j0r0x0r0J0e0r090i0n0I0u0$0f0q0u0#0F0h0G0|0e0y090D0E0y0}0a0c0_0l0r1m0`0r0v090j050k0P0R040z0r0g0h0%0r0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0@1r1t1v1x1I041G0g140h0E0f040h0m1w1$1a1)1!1H0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0~0{090C0I0F0B0t0A0n0l0c0K0A0J0K1u1.1Z0w0r0o0D0r0H0r0B0r0C1(0t1#1%1;0C0n0m0e1.2z1*1C0h0D0m0u0p1(0g0r0d1#1I1^1L1{1O1~1R211U0{1W2k1z0r0n0u2S1@1K1`1N1}1Q201T230 26282a2c2e2g2i1X1y0E040w1w0M.

  4. Q14. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) par \(g(x) = 2x\ln(2x+1)\).

    Affirmation : Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(g\) au point d'abscisse \(\dfrac{1}{2}\) est \(1 + \ln 4\).

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    Remarque .10003+p1xgso)/e!ihm ct.=(,{adl4nrf2}050c04050g0c0x0B0p0q0z0x0g0g0t010x0C0m0r0n0o0x0r0k0e0104090u0f000u0e0i0p0t0p0E090z0B0u0E0e0b0d0=0b0p090y0D0C0x0q0w0A0e0F0w0~100F090i050j0K0M040v0p0y0h0B0q0p0J0L0N0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-00090l0`0k0D0r0u1517190w0d1e0E1i0X0f0n0r0=0@0_0{0}120p0d0?1/0p130`0N0A1j1l1n0B040s0p0a1l0H.

  5. Q15. Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\) dont voici les variations :

    • \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 5\), \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;-2[\)
    • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\), \(f\) croissante sur \(]-2\,;1]\) puis décroissante sur \([1\,;+\infty[\), avec \(f(1) = 3\)

    Affirmation : La droite d'équation \(y = -2\) est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\).

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    Remarque .p1x5soL)/-ueIimh ct.=(zalnryf2050a040g0l0e0q0y0n0o0n0s0I0q0l0z0q050e0a0x0T0r0y0x0e0e0u010x0A0O0p0o0x0P0c0104090v090a0o090n0z0C0s0B090h050i0W0Y040q0e0f0z0s0U170Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0d13151g190l1e0V0X1h0$0(0*0,0s0.0:0l0=0@0v0b1s161z040t0q0m0y0q0z000B0q0x1Z0k0r0k0z0l1Z0e0B0o0a0s0f0P0q0p0f0,0w1c0s0x0y1*0S1f1z0q0!1B1k1E1G1o1K1Y0u0q0j0D1N1u0t150F.

  6. Q16. Avec les mêmes variations que Q15.

    Affirmation : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2}{f(x)-5} = +\infty\).

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    Remarque .+p:x5vgso)/-ueéihm Act0.^=(,{adlnryf2}050b04050h0b0D0G0s0u0F0D0h0h0z010D0H0p0v0q0r0D0v0n0d0104090A0J090j050k0Q0S040s0n0h0v0s0E0o0u0H0i0p0Y0S0-0 120-0G0E0s0f0n0H0h0s0P0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0A0e0^0`0|0G0~0c0 0F0F0n0s0D0b0b170u0q1M1o0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0=1C0_0{1p0~0P0v170G0g040R0H1i0D1L0m1l0s0p0G0J0o0%0n1 101E1=0i1@040B132c0u1n1F1X1s1!1v1%1y1*0?0A0d0j0s0l0s0e0s090v0i0s0w0y0C0l0L1D1.0}0x0s0t220h0p2j1p2l1Z1u1$1x1)1A090E0J0H0D0u0C0K0L0C0J2t0j0l0e0L2A2C2w09220J0v0I2K1F2e0s0R1m1V1q1Y1t1#1w1(1z0=0a2|232 311/0x0`0N.

Vrai / Faux — Fonctions Série 4

  1. Q17. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2xe^x\).

    Affirmation : L'équation \(f(x) = -\dfrac{73}{100}\) admet exactement une solution sur \(\mathbb{R}\).

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    • Faux

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  2. Q18. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \dfrac{x+1}{e^x}\).

    Affirmation : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty\).

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    • Faux

    Remarque .+p1:xQgso)/-ueéihm ct0.^=(,adlnryf050b040f0m0B0E0C0s050h0b0N0s0t0D0B0h0h0y010B0F0p0u0q0r0B0u0n0e0104090z0e0s090u0i0s0l090p0E0H0u0G090j050k0S0N040s0d0s0D0n0s0E0m0r0o0F0-0n0m0F0Q190E0V0X0Z0#0%0)0+1n0:0=0@0a0c0_0{0}0 111315171s1b0n0u1r0T1t0W0Y0!0$0(0*0,0.1C0?0n0x0^0`0|0v0x0a1N181U040A0s0C0i0E0t1T0U1W1w1Z1z1$0/0;0?0g0@0j1H0|0~101214161?1a1_0T0h1 1V1v1Y1y1#1B270z1;2f1M2i1P0w170J.

  3. Q19. On considère l'équation \([\ln(x)]^2 + 10\ln(x) + 21 = 0\), avec \(x \in ]0\,;+\infty[\).

    Affirmation : Cette équation admet exactement deux solutions.

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    Remarque .10003+pD1:x3sfo)/-u[eimh ct0.^]=(;,{adlEnrùy72}050c040J0K0u0c0k0i0G0K0w0u050i0c0!0u0v0I0G0i0i0B010G0L0r0w0t0s0G0w0q0g0104090C0o0u0B0u090I0K0C0g0l090l050m0)0!040u0f0%1j0V0-0/0;0?0^0`0|0~1012140z0P0u0b0u0e0x151F0P0e160u140b0h0l1P0O0l1N0x1f1h1p040E0u0H0k0K0v1o0*1q0.0:0=0@0_0{0}0 111315170n0h1Y1i1-1l0k150(1-0,1/1t1=1w1^1z1{1N0n0O201!1$0H000k0M1,0+1r1:1u1?1x1_1A0g1N0q0z0F1~0Q2j220u242q1.1s1;1v1@1y1`1c2A2C2h2F1g211k0y0u0d0q0o2z0i0k0I0o0w0r1)0i1%0!2;262r292N2v2d2R0A1X0E0D0b090r0K0j0w0N0p2G2Z0u0a1h0S.

  4. Q20. Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(\varphi(x) = x\ln(x)\).

    Affirmation : L'équation \(x\ln(x) = 1\) admet exactement deux solutions sur \(]0\,;+\infty[\).

    • Vrai

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    Remarque .+p1S:xMvgso)/-u[eimh ct0.=(;,adlnrîyf050b04050j0b0D0G0u0v0F0D0j0j0z010D0H0r0w0t0s0D0w0q0f0104090A090h0#0b0t0r000A0f0l0u0z0u090F0G0}0 0a0u0c100u0x090l050m0P0R040u0q0S0O0Q0S0U0W0Y0!0$0(0*0,0.0:0}1b0c0m0q1e1g1i0G040y0u0g0r0G0r0s0o0s0u0e0u1o0R0T0V0X0Z0#0%0)0+0-0/0;0?0^0`0A1D0q0 110n1=0u020F0w0B1c1G1h1p1K0u0d0o0H1W1I1Z1s1$1v1)1y1,0A0p1=090C0B0a091O0K0w0J0p211I040C291p2b1#1u1(1x1+1A1.0H0_0r2v230T0H0k0I0w0u0E0q2z1Y1r2C1%1w1*1z0;1_1E2M1j0u0h0q0H0j2W1q1!1t2!2f2G0;2o2q2s2+1J1U1l0f0D0v0,0s1m2S0O0w2P0G0i040o0G0q1H3c0k3e1k0j0k0F0o0w0r3m2y0Q2;2U0o0f0y1g0M.