Petit Devoir sur les limites de suites
Les détails des calculs sont attendus
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé
Durée : 20 minutes
Exercice 1 (3 points)
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(p_n = - 3n^2+n\), \(t_n = \dfrac{n^2+1}{\sqrt{n}}\) et \(r_n=4^n-3^{2n}\).
Étudier les limites éventuelles de ces trois suites.
Corrigé
On a \(p_n = - 3n^2+n=n(-3n+1)\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty}-3n+1=-\infty\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty}n=+\infty\), par produit, on a donc \(\lim\limits_{n \to +\infty}p_n=+\infty\).
On a \(t_n = \dfrac{n^2+1}{\sqrt{n}}=n\sqrt{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n}=+\infty\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty}n=+\infty\)
Par produit, on a donc \(\lim\limits_{n \to +\infty}n\sqrt{n}=+\infty\)
et par inverse, \(\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0\)
Par somme, on a donc \(\lim\limits_{n \to +\infty}n\sqrt{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=+\infty\)
Soit \(\lim\limits_{n \to +\infty}t_n=+\infty\)
On a \(r_n=4^n-3^{2n}=4^n-9^n=9^n\left(\left(\dfrac{4}{9}\right)^n-1\right)\)
Or \(0<\dfrac{4}{9}<1\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\dfrac{4}{9}\right)^n=0\)
Par somme \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\left(\dfrac{4}{9}\right)^n-1\right)=-1\)
et, comme \(\lim\limits_{n \to +\infty}9^n=+\infty\) (car \(9>1\)), on a par produit, \(\lim\limits_{n \to +\infty}9^n\left(\left(\dfrac{4}{9}\right)^n-1\right)=-\infty\)
D'où \(\lim\limits_{n \to +\infty}r_n=-\infty\)
Exercice 2 (3 points)
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
-
Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(1 \leqslant u_n \leqslant 2\).
Corrigé
Soit \(\text{P}_n\) : \(1 \leqslant u_n \leqslant 2\) l'hypothèse de récurrence.
Initialisation
On a \(u_0=\dfrac{3}{2}\) et \(1 \leqslant \dfrac{3}{2} \leqslant 2\).
D'où \(\text{P}_0\) est vraie.
Hérédité
Supposons \(\text{P}_n\) vraie pour une valeur de \(n\) donnée et montrons qu'alors \(\text{P}_{n+1}\) est vraie.
Soit \(f(x)=x^2-2x+2\). on a \(a=1\) et donc \(a>0\), donc cette fonction du 2nd degré est croissante sur \([-\dfrac{b}{2a};+\infty[\), donc croissante sur \([1;+\infty[\).
\(1 \leqslant u_n \leqslant 2 \Rightarrow f(1) \leqslant f(u_n) \leqslant f(2)\)
\(\Rightarrow 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2\)
D'où \(P_{n+1}\) est vraie
Conclusion
\(\text{P}\) est héréditaire et initialisée pour \(n=0\), par récurrence sur \(n\), on a \(\text{P}_{n}\) vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
-
Montrer que pour tout \(n\), on a \(u_{n+1}-u_n=(u_n-2)(u_n-1)\).
Corrigé
On calcule \(u_{n+1}-u_n=u_n^2-2u_n+2-u_n=u_n^2-3u_n+2\)
et on développe \((u_n-2)(u_n-1)=u_n^2-3u_n+2\).
On a donc \(u_{n+1}-u_n=(u_n-2)(u_n-1)\)
-
\((u_n)\) est-elle convergente ?
Corrigé
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(u_n \leqslant 2 \Rightarrow u_n-2 \leqslant 0\)
De même \(1 \leqslant u_n \Rightarrow u_n-1\geqslant 0\)
Par produit, on a donc \((u_n-2)(u_n-1) \leqslant 0\)
Soit \(u_{n+1}-u_n \leqslant 0\) et donc \((u_n)\) décroissante.
La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\), d'après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.