Petit Devoir 1 : RĂ©currence
L'usage de la calculatrice, bien que totalement inutile, est autorisé.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction.
Durée : 38 min
Exercice 1
Dans cet exercice, \(q\) est un nombre réel différent de 1.
On note:
Par récurrence sur \(n\), démontrer que:
Exercice 2
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(n^3-n\) est un multiple de \(3\).
Exercice 3
On définit une suite par \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+15}\) avec \(n \in \mathbb{N}\).
Montrer que si \(u_0 \in[0;4]\) alors pour tout \(n\) : \(u_n \in [0;5]\), et que si \(u_0 \in[5;10]\) alors pour tout \(n\) : \(u_n \in [4;10]\)
Exercice 1
Soit \(\text P(n)\) : \(\text{«}\sigma_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\text{»}\)
Initialisation
On a \(\sigma_0=q^0=1\) et \(\frac{1-q^{1}}{1-q}=1\)
D'où \(\text P(0)\) est vérifiée.
Hérédité
Supposons \(\text P(n)\) vraie pour un rang n donné et montrons qu’alors \(\text P(n+1)\) est vraie.
\(\text P(n) \Rightarrow 1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \Rightarrow\)
\(\text P(n) \Rightarrow 1+q+q^2+\cdots+q^n+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}\)
\(\text P(n) \Rightarrow \sigma_{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+\frac{(1-q)q^{n+1}}{1-q}\) \(\text P(n) \Rightarrow \sigma_{n+1}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}\)
\(\text P(n) \Rightarrow \sigma_{n+1}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}\)
\(\text P(n) \Rightarrow \text P(n+1)\)
Conclusion
\(\text P(0)\) est vérifiée et P est héréditaire. Par récurrence sur \(n\) , on a donc \(\sigma_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercice 2
Soit \(\text P(n)\) : \(\text{«}n^3-n \text{ est un multiple de } 3\text{»}\)
Initialisation
Pour \(n=0\), on a \(n^3-n=0\) or \(0=3 \times 0\)
\(\text P(0)\) est bien vraie.
Hérédité
Supposons \(\text P(n)\) vraie pour un rang \(n\) donné et montrons qu’alors \(\text P(n+1)\) est vraie.
Si \(n^3-n\) est un multiple de \(3\), alors il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n^3-n=3k\).
On calcule \((n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-(n+1)=n^3-n+3n^2+3n+1-1=3k+3n^2+3n=3(k+n^2+n)\)
D'oĂą \((n+1)^3-(n+1)=3k'\) avec \(k' \in \mathbb{Z}\)
Conclusion
\(\text P(0)\) est vérifiée et P est héréditaire. Par récurrence sur \(n\) , on a donc \(n^3-n \text{ est un multiple de } 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercice 3
Pour \(u_0\in[0;4]\):
Soit \(\text P(n)\) : \(\text{«}u_n \in [0;5]\text{»}\)
Initialisation
\(u_0\in[0;4] \Rightarrow u_0\in[0;5] \Rightarrow \text P(0)\) vérifiée
Hérédité
Supposons \(\text P(n)\) vraie pour un rang \(n\) donné et montrons qu’alors \(\text P(n+1)\) est vraie.
\(\text P(n) \Rightarrow 0 \leqslant u_n \leqslant 5\) \(\Rightarrow 15 \leqslant u_n+15 \leqslant 20\) \(\Rightarrow \sqrt{15} \leqslant \sqrt{u_n+15} \leqslant \sqrt{20}\) \((x\mapsto\sqrt{x} \nearrow)\)
or \(\sqrt{15}>0\) et \(\sqrt{20}<5\)
D'où \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 5 \Rightarrow \text P(n+1)\) est vérifiée.
Conclusion
\(\text P(0)\) est vérifiée et P est héréditaire. Par récurrence sur \(n\) , on a donc \(u_n \in [0;5]\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Pour \(u_0\in[5;10]\):
Soit \(\text P(n)\) : \(\text{«}u_n \in [4;10]\text{»}\)
Initialisation
\(u_0\in[5;10] \Rightarrow u_0\in[4;10] \Rightarrow \text P(0)\) vérifiée
Hérédité
Supposons \(\text P(n)\) vraie pour un rang \(n\) donné et montrons qu’alors \(\text P(n+1)\) est vraie.
\(\text P(n) \Rightarrow 4 \leqslant u_n \leqslant 10\) \(\Rightarrow 19 \leqslant u_n+15 \leqslant 25\) \(\Rightarrow \sqrt{19} \leqslant \sqrt{u_n+15} \leqslant \sqrt{25}\) \((x\mapsto\sqrt{x} \nearrow)\)
or \(\sqrt{19}>4\) et \(\sqrt{25}<10\)
D'où \(4 \leqslant u_{n+1} \leqslant 10 \Rightarrow \text P(n+1)\) est vérifiée.
Conclusion
\(\text P(0)\) est vérifiée et P est héréditaire. Par récurrence sur \(n\) , on a donc \(u_n \in [4;10]\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).