Petit devoir sur la récurrence
Un soin particulier sera apporté à la rédaction.
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Durée : 30 minutes
Exercice 1
On considère la suite définie par \(u_0=-1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0.2u_n+0.6\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant 1\).
Corrigé
Soit \(\text P_n\) la propriété : \(u_n \leqslant 1\)
Initialisation
On a \(u_0=-1\) et \(-1 \leqslant 1\) donc \(\text P(0)\) est vérifiée.
Hérédité
Supposons \(\text P(n)\) vraie pour un rang \(n\) donné et montrons qu'alors \(\text P(n+1)\) est vraie.
\(u_n \leqslant 1 \Rightarrow 0.2u_n \leqslant 0.2 \Rightarrow 0.2u_n+0.6 \leqslant 0.8\)
Or \(0.8 \leqslant 1\) d'où \(u_{n+1} \leqslant 1\)
\(\text P(n+1)\) est donc vérifiée.
Conclusion
\(\text P(0)\) est vérifiée et \(\text P\) est héréditaire. Par récurrence sur \(n\) , on a donc \(u_n\geqslant 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) .
Exercice 2
Démontrer que pour tout entier naturel \(n \in \mathbb{N}^*\), on a:
Corrigé
Soit \(\text P_n\) la propriété :
Initialisation
Pour \(n=1\), on a \(\sum_{k=1}^{k=n}{\dfrac{1}{k(k+1)}}=\sum_{k=1}^{k=1}{\dfrac{1}{k(k+1)}}=\dfrac{1}{1(1+1)}=\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{2}\)
\(\text P_1\) est vraie.
Hérédité
Supposons \(\text P(n)\) vraie pour un rang \(n\) donné et montrons qu'alors \(\text P(n+1)\) est vraie.
\(\sum_{k=1}^{k=n+1}{\dfrac{1}{k(k+1)}}=\sum_{k=1}^{k=n}{\dfrac{1}{k(k+1)}}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\)
D'après la propriété \(\text P(n)\), on peut donc écrire:
\(\sum_{k=1}^{k=n+1}{\dfrac{1}{k(k+1)}}=\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\)
\(\Rightarrow \sum_{k=1}^{k=n+1}{\dfrac{1}{k(k+1)}}=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\)
\(\Rightarrow \sum_{k=1}^{k=n+1}{\dfrac{1}{k(k+1)}}=\dfrac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}\)
\(\Rightarrow \sum_{k=1}^{k=n+1}{\dfrac{1}{k(k+1)}}=\dfrac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}\)
\(\Rightarrow \sum_{k=1}^{k=n+1}{\dfrac{1}{k(k+1)}}=\dfrac{n+1}{n+2}\)
\(\Rightarrow \text P_{n+1}\) est vraie.
Conclusion
\(\text P(1)\) est vérifiée et \(\text P\) est héréditaire. Par récurrence sur \(n\) , on a donc \(\sum_{k=1}^{k=n}{\dfrac{1}{k(k+1)}}=\dfrac{n}{n+1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\).
Exercice 3
Ci-dessous, vous trouverez la courbe représentative de la fonction \(f: x \mapsto 6-\dfrac{5}{x+1}\).
Sur ce graphique, construire les 4 premiers termes de la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=6-\dfrac{5}{u_n+1}\).
Corrigé
