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Petit Devoir

RĂ©currence et Suites

2019-2020

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la propreté de la copie.

Durée:34min

Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) , \(u_1=3\) et, pour tout entier \(n\geqslant 0\) : \(u_{n+2}=\frac 3 2u_{n+1}-\frac 1 2u_n\) .

On pose, pour tout entier naturel \(n\) , \(v_n=u_{n+1}-\frac 1 2u_n\) et \(w_n=5-u_n\) .

  1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\) .
  2. Montrer sans démonstration par récurrence que \((v_n)\) est constante.
  3. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=\frac 1 2u_n+\frac 5 2\)
  4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel : \(1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 5\) (cette propriété sera notée \(\text P_n\) ).
  5. Que peut-on en déduire pour la suite \((u_n)\) ?
  6. Montrer que la suite \((w_n)\) est géométrique.
  7. En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) .

  1. \(u_2=\frac 3 2u_1-\frac 1 2u_0=\frac 9 2-\frac 1 2=4\)

    \(u_3=\frac 3 2u_2-\frac 1 2u_1=\frac{12} 2-\frac 3 2=\frac 9 2\)

  2. \(v_{n+1}=u_{n+2}-\frac 1 2u_{n+1}=\frac 3 2u_{n+1}-\frac 1 2u_n-\frac 1 2u_{n+1}=u_{n+1}-\frac 1 2u_n=v_n\)

    \((v_n)\) est donc bien une suite constante.

  3. \(v_0=u_1-\frac 1 2u_0=\frac 5 2\) et \((v_n)\) constante donc \(v_n=\frac 5 2\) pour tout \(n \in â„•\) ,

    Avec la définition de \((v_n)\), on a donc \(\frac 5 2=u_{n+1}-\frac 1 2u_n\) soit \(u_{n+1}=\frac 1 2u_n+\frac 5 2\) .

  4. Soit : \(\text P_n\) : \(\text{«}1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 5\text{»}\) .

    Initialisation

    On a \(u_0=1\) et \(u_1=3\) donc : \(\text P_0\) : \(\text{«}1\leqslant u_0\leqslant u_1 \leqslant5 \text{»}\) est vraie.

    La propriété est bien initialisée.

    Hérédité

    Supposons \(\text P_n\) vraie pour un rang donné. Montrons qu'alors \(\text P_{n+1}\) est vraie.

    \(1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 5\) ⇒ \(\frac 1 2\times 1\leqslant \frac 1 2\times u_n\leqslant \frac 1 2\times u_{n+1}\leqslant \frac 1 2\times 5\)

    ⇒ \(\frac 1 2+\frac 5 2\leqslant \frac 1 2u_n+\frac 5 2\leqslant \frac 1 2u_{n+1}+\frac 5 2\leqslant \frac 5 2+\frac 5 2\)

    ⇒ \(3\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 5\)

    ⇒ \(1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 5\)

    ⇒ \(\text P_{n+1}\) vraie, l'hérédité est vérifiée.

    Conclusion

    Par récurrence sur \(n\), on a donc montré que \(\text P_{n}\) était vraie pour tout \(n \in ℕ\).

  5. La suite \((u_n)\) est donc croissante, minorée par 1 et majorée par 5.

  6. \(w_{n+1}=5-u_{n+1}=5-\left(\frac 1 2u_n+\frac 5 2\right)=\frac 5 2-\frac 1 2u_n=\frac 1 2(5-u_n)=\frac 1 2w_n\)

    La suite \((w_n)\) est donc bien géométrique de raison \(\frac 1 2\) et de premier terme \(w_0=5-u_0=5-1=4\) .

  7. La forme explicite de \((w_n)\) est \(w_n=4\times \left(\frac 1 2\right)^n\) et \(w_n=5-u_n\) ⇒ \(u_n=5-w_n\) .

    La forme explicite de \((u_n)\) est \(u_n=5-4\left(\frac 1 2\right)^n\)