Petit devoir récurrence et suites 2019-2020

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la propreté de la copie.

Durée:34min

Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) , \(u_1=3\) et, pour tout entier \(n\geqslant 0\) :

\[u_{n+2}=\dfrac 3 2u_{n+1}-\dfrac 1 2u_n\]

On pose, pour tout entier naturel \(n\) , \(v_n=u_{n+1}-\dfrac 1 2u_n\) et \(w_n=5-u_n\).

1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\) .

   Corrigé

   \(u_2=\dfrac 3 2u_1-\dfrac 1 2u_0=\dfrac 9 2-\dfrac 1 2=4\)

   \(u_3=\dfrac 3 2u_2-\dfrac 1 2u_1=\dfrac{12} 2-\dfrac 3 2=\dfrac 9 2\)

2. Montrer sans démonstration par récurrence que \((v_n)\) est constante.

   Corrigé

   \(v_{n+1}=u_{n+2}-\dfrac 1 2u_{n+1}=\dfrac 3 2u_{n+1}-\dfrac 1 2u_n-\dfrac 1 2u_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac 1 2u_n=v_n\)

   \((v_n)\) est donc bien une suite constante.

3. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=\dfrac 1 2u_n+\dfrac 5 2\)

   Corrigé

   \(v_0=u_1-\dfrac 1 2u_0=\dfrac 5 2\) et \((v_n)\) constante donc \(v_n=\dfrac 5 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

   Avec la définition de \((v_n)\), on a donc \(\dfrac 5 2=u_{n+1}-\dfrac 1 2u_n\) soit \(u_{n+1}=\dfrac 1 2u_n+\dfrac 5 2\).

4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel : \(1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 5\) (cette propriété sera notée \(\text P_n\) ).

   Corrigé

   Soit : \(\text P_n\) : \(\text{«}1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 5\text{»}\) .

   Initialisation

   On a \(u_0=1\) et \(u_1=3\) donc : \(\text P_0\) : \(\text{«}1\leqslant u_0\leqslant u_1 \leqslant5 \text{»}\) est vraie.

   La propriété est bien initialisée.

   Hérédité

   Supposons \(\text P_n\) vraie pour un rang donné. Montrons qu'alors \(\text P_{n+1}\) est vraie.

   \(1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 5\) ⇒ \(\dfrac 1 2\times 1\leqslant \dfrac 1 2\times u_n\leqslant \dfrac 1 2\times u_{n+1}\leqslant \dfrac 1 2\times 5\)

   \(\Rightarrow \dfrac 1 2+\dfrac 5 2\leqslant \dfrac 1 2u_n+\dfrac 5 2\leqslant \dfrac 1 2u_{n+1}+\dfrac 5 2\leqslant \dfrac 5 2+\dfrac 5 2\)

   \(\Rightarrow 3\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 5\)

   \(\Rightarrow 1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 5\)

   \(\Rightarrow \text P_{n+1}\) vraie, l'hérédité est vérifiée.

   Conclusion

   \(\text P_{0}\) est vraie et \(\text P_{n}\) est héréditaire. Par récurrence sur \(n\), on a donc montré que \(\text P_{n}\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

5. Que peut-on en déduire pour la suite \((u_n)\) ?

   Corrigé

   La suite \((u_n)\) est donc croissante, minorée par 1 et majorée par 5.

6. Montrer que la suite \((w_n)\) est géométrique.

   Corrigé

   \(w_{n+1}=5-u_{n+1}=5-\left(\dfrac 1 2u_n+\dfrac 5 2\right)=\dfrac 5 2-\dfrac 1 2u_n=\dfrac 1 2(5-u_n)=\dfrac 1 2w_n\)

   La suite \((w_n)\) est donc bien géométrique de raison \(\dfrac 1 2\) et de premier terme \(w_0=5-u_0=5-1=4\) .

7. En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) .

   Corrigé

   La forme explicite de \((w_n)\) est \(w_n=4\times \left(\dfrac 1 2\right)^n\) et \(w_n=5-u_n\) ⇒ \(u_n=5-w_n\) .

   La forme explicite de \((u_n)\) est \(u_n=5-4\left(\dfrac 1 2\right)^n\)