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Petit devoir sur les suites et leurs limites

Un soin particulier sera apporté à la qualité de la rédaction.

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Durée : 30 minutes

Exercice 1

Étudier le comportement à l'infini des suites \((a_n)\), \((b_n)\) et \((c_n)\) suivantes:

\(a_n=\dfrac{2n^2-5}{n+1}\)      \(b_n=\dfrac{a_n}{n}\)      \(c_n=a_n-2n\)

Exercice 2

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=-1\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\):

\[u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}\]

  1. On appelle \(f\) la fonction définie sur \(]-\infty;2[\) par \(f(x)=\dfrac{1}{2-x}\). Étudier les variations de \(f\).

  2. On a représenté ci-dessous \(C_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\).

    Placez sur l'axe des abscisses les valeurs de \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) en laissant apparents les traits de construction.

    Quelle(s) conjecture(s) peut-on faire sur la suite \((u_n)\) ?

  3. Démontrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(-1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1\).

    Quelle conclusion peut-on en tirer pour la suite \((u_n)\) ?

  4. Compléter le programme suivant qui lit un entier \(N\), calcule et affiche \(u_N\) :

    1 N=int(input("Saisir N"))
2 U=...............
3 for i in range(.............)
4    U=...............
5 print(...........)

  5. Quelles lignes doit-on ajouter pour que l'algorithme affiche la valeur de \(S_n=\sum_{k=0}^{k=n} u_k\) ?

Exercice 1

\(a_n=\dfrac{2n^2-5}{n+1}=\dfrac{n^2(2-\dfrac{5}{n^2})}{n(1+\dfrac{1}{n})}=n \dfrac{2-\dfrac{5}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}\)

On a \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\dfrac{1}{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=0\) par sommes puis quotient, on a donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\dfrac{2-\dfrac{5}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}}=2\)

De plus \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}n=+\infty\), donc, par produit, \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{n \dfrac{2-\dfrac{5}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{a_n}=+\infty\)

D'après ce qui précède, \(\dfrac{b_n}{n}=\dfrac{2-\dfrac{5}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}\), et on a déja vu que \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\dfrac{2-\dfrac{5}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}}=2\)

D'oĂą \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{b_n}=2\)

On a \(c_n=a_n-2n=\dfrac{2n^2-5}{n+1}-2n=\dfrac{2n^2-5}{n+1}-\dfrac{2n(n+1)}{n+1}=\dfrac{2n^2-5-2n^2-2n}{n+1}=\dfrac{-2n-5}{n+1}=\dfrac{n(-2-\dfrac{5}{n})}{n(1+\dfrac{1}{n})}\)

Soit \(c_n=a_n-2n=\dfrac{-2-\dfrac{5}{n}}{1+\dfrac{1}{n}}\)

On a \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{-\dfrac{5}{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\dfrac{1}{n}}=0\)

Par sommes puis quotient, on a donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{\dfrac{-2-\dfrac{5}{n}}{1+\dfrac{1}{n}}}=-2\)

Exercice 2

  1. \(f(x)=\dfrac{1}{2-x}\) est une fonction rationnelle, donc dérivable sur son ensemble de définition, à savoir \(]-\infty;2[\).

    Si on note \(u(x)=2-x\), on a alors \(f'(x)=-\dfrac{u'(x)}{u^2(x)}\)

    Soit \(f'(x)=\dfrac{1}{(2-x)^2}\)

    Un carré étant toujours positif sur \(\mathbb{R}\), on a \(f'(x)>0\) et la fonction \(f\) est croissante sur \(]-\infty;2[\).

  2. Construction graphique

    Il semble que la suite (u_n) est croissante et convergente vers 1.

  3. Démonstration par récurrence

    Soit \((P_{n})\) : \(«-1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1»\).

    Initialisation

    On calcule \(u_1=\dfrac{1}{2-(-1)}=\dfrac{1}{3}\)

    \(-1\leqslant -1\leqslant \dfrac{1}{3}\leqslant 1\) donc \((P_{0})\) est vraie.

    Hérédité

    On suppose la proposition vraie pour un rang donné.

    \(-1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1 \Leftrightarrow f(-1)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(1)\) (car \(f\) croissante sur \(]-\infty;2[\))

    soit \(\dfrac{1}{3}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2} \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2} \leqslant 1\) soit \((P_{n+1})\).

    Conclusion

    la proposition est héréditaire et initialisée pour \(n=0\), la proposition est vraie pour \(n\in{\mathbb{N}}\).

    La suite \((u_n)\) est donc croissante et majorée, d'après le théorème de convergence monotone, \((u_n)\) converge.

  4. Premier programme

    1 N=int(input("Saisir N"))
2 U=-1
3 for i in range(N)
4    U=1/(2-U)
5 print(U)

  5. Deuxième programme

    1 N=int(input("Saisir N"))
2 U=-1
3 S=U  
4 for i in range(N)
5   U=1/(2-U)
6   S=S+U  
5 print(S)