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Petit devoir sur les suites

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Durée : 30 minutes

Exercice 1 (3 points)

Soit la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n =\dfrac{5}{3+n}\)

  1. Déterminer le sens de variation de la suite \((u_n)\).

  2. Démontrer que \((u_n)\) est bornée.

Corrigé

  1. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{5}{3+n+1}-\dfrac{5}{3+n} \Leftrightarrow u_{n+1}-u_n=-\dfrac{5}{(n+3)(n+4)}\)

    Le numérateur et le dénominateur sont positifs, donc la suite \((u_n)\) est décroissante.

  2. \(u_n\) est évidemment positive car quotient de nombres positifs. Donc \((u_n)\) est minorée par 0.

    D'autre part \(n+3>1 \Rightarrow 1>\dfrac{1}{n+3} \Rightarrow 5>\dfrac{5}{n+3} \Rightarrow 5>u_n\). Donc \((u_n)\) majorée par 5.

    \((u_n)\) est majorée et minorée donc bornée.

Exercice 2 (4 points)

Soit la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(\left\{ \begin{matrix}{ { u_{0} = 0.5\phantom{aaaa ' }}} \\ u_{n + 1} = -1+u_n+u_n^2 \end{matrix} \right.\)

  1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe représentative de la fonction \(f\), notée \(C_f\) de la fonction \(f : x \mapsto -1+x+x^2\).

    a) Construire sur l'axe des abscisses du graphique \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

    b) Quelles conjectures peut-on formuler sur le comportement de \((u_n)\) ?

    Graphique

  2. a) Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

    b) La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? Justifier.

Corrigé

  1. a) Graphique

    Graphique

    b) Elle ne semble pas monotone, et elle semble se rapprocher de la valeur TRUC

  2. a) \(u_1=-1+u_0+u_0^2=-1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\)

    \(u_2=-1+u_1+u_1^2=-1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}=-\dfrac{19}{16}\)

    b) \(u_1-u_0=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{4}\) et \(u_2-u_1=-\dfrac{19}{16}+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{15}{16}\)

Exercice 3 (3 points)

Dans cet exercice, les questions 2 et 3 peuvent être traitées même si la question 1 ne l'a pas été...

Soit la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(\left\{ \begin{matrix}{ { v_{0} = -1\phantom{aaaa ' }}} \\ v_{n + 1} = \dfrac{v_n}{2v_n-1} \end{matrix} \right.\)

  1. Montrer que la suite \((w_n)\) définie par \(w_n=\dfrac{1}{v_n}-1\) est géométrique.

  2. Donner le premier terme et la raison de la suite \((w_n)\).

  3. Déduire la forme explicite de la suite \((w_n)\).

Corrigé

  1. On a \(w_{n+1}=\dfrac{1}{v_{n+1}}-1 \Leftrightarrow w_{n+1}=\dfrac{2v_n-1}{v_n}-\dfrac{v_n}{v_n} \Leftrightarrow w_{n+1}=\dfrac{v_n-1}{v_n}\)

    On a aussi \(w_n=\dfrac{1}{v_n}-1 \Leftrightarrow w_n=\dfrac{1}{v_n}-\dfrac{v_n}{v_n} \Leftrightarrow w_n=\dfrac{1-v_n}{v_n}\)

    D'où \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{\frac{v_n-1}{v_n}}{\frac{1-v_n}{v_n}}=\dfrac{v_n-1}{1-v_n}=-1\)

    La suite \((w_n)\) est bien géométrique de raison \(-1\)

  2. \(w_0=\dfrac{1}{v_0}-1=-1-1=-2\)

  3. D'où \(w_n=-2 \times (-1)^n\)