Petit Devoir sur la récurrence 2

Durée : 15 min - Calculatrice autorisée

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Exercice 1

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\)

Démontrer que \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{2}{2n + 1}\)

Corrigé

Soit \(P_n : u_n = \dfrac{2}{2n + 1}\)

Initialisation :

Pour \(n = 0\) on a - \(u_0 = 2\) (donné) - \(\dfrac{2}{2 \times 0 + 1} = \dfrac{2}{1} = 2\)

La propriété \(P_0\).

Hérédité :

Supposons que pour un certain rang \(k\) donné, on a \(P_k\) vraie.

Et Montrons alors que \(P_{k+1}\) est vraie.

\[u_{k+1} = \frac{u_k}{1 + u_k}\]

En substituant l'hypothèse de récurrence :

\[u_{k+1} = \dfrac{\frac{2}{2k + 1}}{1 + \frac{2}{2k + 1}}\]

Simplifions le dénominateur :

\[1 + \dfrac{2}{2k + 1} = \dfrac{2k + 1 + 2}{2n + 1} = \dfrac{2k + 3}{2n + 1}\]

Donc :

\[u_{k+1} = \dfrac{\frac{2}{2k + 1}}{\frac{2k + 3}{2k + 1}} = \dfrac{2}{2k + 1} \times \dfrac{2k + 1}{2k + 3} = \dfrac{2}{2k + 3}\]

Et \(P_{k+1}\) est vraie.

Conclusion :

La propriété \(P_n\) est initialisée pour \(n=0\) et héréditaire, par récurrence, \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \dfrac{2}{2n + 1}\).

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Exercice 2

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 4\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_n^2\).

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0 < u_n \leqslant 4\).

2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{5}u_n(u_n - 5)\).

En déduire que la suite \((u_n)\) est décroissante.

Corrigé

1. Soit \(H_n : 0 < u_n \leqslant 4\)

   Initialisation :

   Pour \(n = 0\)

   \(u_0 = 4\), donc \(0 < u_0 \leqslant 4\)

   Hérédité : Supposons que pour un certain rang \(n \geq 0\), on a \(H_n\) vraie.

   Montrons qu'alors \(H_{n+1}\) est vraie.

   D'après la relation de récurrence : \(u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_n^2\)

   La fonction \(f \mapsto \dfrac{1}{5}x^2\) est croissante sur \(\mathbb{R}^+\)

   D'où \(0 < u_n \leqslant 4 \Rightarrow f(0)<f(u_n)\leqslant f(4)\)

   \(\Rightarrow 0 < u_{n+1} \leqslant \dfrac{16}{5}\)

   Or \(\dfrac{16}{5}<4\)

   Donc \(\Rightarrow 0 < u_{n+1} \leqslant 4\)

   La propriété \(H_{n+1}\) est vérifiée.

   Conclusion :

   La propriété \(H_n\) est initialisée pour \(n=0\) et héréditaire, par récurrence, \(\forall n \in \mathbb{N}, 0 < u_{n} \leqslant 4\).

2. Montrons que \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{5}u_n(u_n - 5)\)

   \[u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{5}u_n^2 - u_n = u_n\left(\dfrac{1}{5}u_n - 1\right) = u_n\left(\dfrac{u_n - 5}{5}\right) = \dfrac{1}{5}u_n(u_n - 5)\]

   Étude du signe :

   D'après la question 1), on sait que \(u_n > 0\) pour tout \(n\).

   De plus, comme \(u_n \leq 4 < 5\), on a \(u_n - 5 < 0\).

   Donc : \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{5}u_n(u_n - 5) < 0\) car c'est le produit d'un terme positif (\(\dfrac{1}{5}u_n > 0\)) et d'un terme négatif (\(u_n - 5 < 0\)).

   La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.