Petit devoir sur la Récurrence 2021-2022

Un soin particulier sera apporté à la qualité de la rédaction.

L'usage de la calculatrice est recommandé.

Durée : 20 minutes

Soit la suite numérique définie sur l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac 1 5u_n+3\times 0,5^n\) pour \(n>0\)

1. Recopier et compléter ce tableau à l'aide de la calculatrice :

   On donnera des valeurs approchées à \(10^{-4}\) des termes de la suites.

   \(n\)	0	1	2	3	4	5
   \(u_{n}\)	2

   Corrigé

   \(n\)	0	1	2	3	4	5
   \(u_{n}\)	2	3.4	2.18	1.186	0.6122	0.3099

2. D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite et sur le comportement de la suite à l'infini.

   Corrigé

   Avec le tableau et la calculatrice, on peut conjecturer que la suite est décroissante et converge vers \(0\).

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier non nul, on a:

   \[u_n\geqslant \dfrac{15} 4\times 0,5^n\]
   Corrigé

   Démonstration par récurrence

   Soit l'hypothèse de récurrence:

   \[\text{H}_{n} : «{u_{n} \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^n}»\]

   Initialisation

   \(u_1=3.4\) et \(\frac{15}{4} \times 0.5=1.875\)

   la propriété est donc vraie pour \(n=1\) .

   Hérédité

   Supposons \(\text{H}_{n}\) vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text{H}_{n+1}\) est vraie.

   On a \(u_{n} \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^n\) ⇒ \(\frac{1}{5} \times u_{n} \geqslant \frac{1}{5} \times \frac{15}{4} \times 0.5^n\)

   ⇒ \(\frac{1}{5}u_{n} +3\times 0,5^n\geqslant \frac{3}{4} \times 0.5^n+3\times 0,5^n\)

   ⇒ \(u_{n+1} \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^n\)

   Or \(1\geqslant \frac{1}{2}\) ⇒ \(\frac{15}{4} \times 0.5^n \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^{n+1}\)

   D'où \(u_{n+1} \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^{n+1}\) et l'hérédité est vraie.

   Conclusion

   La propriété \(\text{H}_{n}\) est initialisée pour \(n=1\) et héréditaire, par récurrence sur \(n\) elle est donc vraie pour tout \(n \in ℕ^*\) .

4. En déduire que pour tout entier naturel non nul, \(u_{n+1}-u_n\leqslant 0\).

   Corrigé

   On calcule \(u_{n+1}-u_n=\frac 1 5u_n+3\times 0,5^n-u_n=-{\frac{4}{5}u_n}+3\times 0,5^n\)

   Or, \(u_n\geqslant \frac{15} 4 \times 0.5^n\) ⇒ \(-{\frac{4}{5}u_n} \leqslant -3 \times 0.5^n\)

   \(/Rightarrow -{\frac{4}{5}u_n} +3 \times 0.5^n \leqslant -3 \times 0.5^n +3 \times 0.5^n\)

   \(/Rightarrow -{\frac{4}{5}u_n} +3 \times 0.5^n \leqslant 0\)

5. Conclure.

   Corrigé

   La suite \((u_n)\) est décroissante.