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Recopier et compléter ce tableau à l'aide de la calculatrice : On donnera des valeurs approchées à \(10^{-4}\) des termes de la suites.
\(n\) 0 1 2 3 4 5 \(u_{n}\) 2 -
D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite et sur le comportement de la suite à l'infini.
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Démontrer par récurrence que pour tout entier non nul, on a: \(u_n\geqslant \frac{15} 4\times 0,5^n\).
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En déduire que pour tout entier naturel non nul, \(u_{n+1}-u_n\leqslant 0\) .
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Conclure.
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Tableau de valeurs
\(n\) 0 1 2 3 4 5 \(u_{n}\) 2 3.4 2.18 1.186 0.6122 0.3099 -
Avec le tableau et la calculatrice, on peut conjecturer que la suite est décroissante et converge vers \(0\).
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Démonstration par récurrence.
Soit l'hypothèse de récurrence:
\[\text{H}_{n} : «{u_{n} \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^n}»\]Initialisation
\(u_1=3.4\) et \(\frac{15}{4} \times 0.5=1.875\)
la propriété est donc vraie pour \(n=1\) .
Hérédité
Supposons \(\text{H}_{n}\) vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text{H}_{n+1}\) est vraie.
On a \(u_{n} \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^n\) ⇒ \(\frac{1}{5} \times u_{n} \geqslant \frac{1}{5} \times \frac{15}{4} \times 0.5^n\)
⇒ \(\frac{1}{5}u_{n} +3\times 0,5^n\geqslant \frac{3}{4} \times 0.5^n+3\times 0,5^n\)
⇒ \(u_{n+1} \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^n\)
Or \(1\geqslant \frac{1}{2}\) ⇒ \(\frac{15}{4} \times 0.5^n \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^{n+1}\)
D'où \(u_{n+1} \geqslant \frac{15}{4} \times 0.5^{n+1}\) et l'hérédité est vraie.
Conclusion
La propriété \(\text{H}_{n}\) est initialisée pour \(n=1\) et héréditaire, par récurrence sur \(n\) elle est donc vraie pour tout \(n \in ℕ^*\) .
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On calcule \(u_{n+1}-u_n=\frac 1 5u_n+3\times 0,5^n-u_n=-{\frac{4}{5}u_n}+3\times 0,5^n\)
Or, \(u_n\geqslant \frac{15} 4 \times 0.5^n\) ⇒ \(-{\frac{4}{5}u_n} \leqslant -3 \times 0.5^n\)
⇒ \(-{\frac{4}{5}u_n} +3 \times 0.5^n \leqslant -3 \times 0.5^n +3 \times 0.5^n\)
⇒ \(-{\frac{4}{5}u_n} +3 \times 0.5^n \leqslant 0\)
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La suite \((u_n)\) est décroissante.