Exercice 1
Soit \((u_n)\) la suite définie par : \(u_0=0\) et pour tout entier naturel \(n\) , \(u_{n+1}=u_n+2n+2\) .
Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que le terme de rang \(n\) de la suite \((u_n)\) admet pour expression : \(u_n=n^2+n\) .
Exercice 2
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\) de ℕ par la relation de récurrence:
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Construire les 5 premiers termes de sur l'axe des abscisses du repère représenté au dos de cette feuille (la courbe représentative de la fonction \(x\) \(\mapsto\) \(1-\frac 1 4x-\frac 1 2x^2\) est déjà tracée).
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Vérifier par récurrence que pour tout \(n\) de ℕ, on a \(0<u_n\leqslant 1\) .
Exercice 1
Soit l'hypothèse de récurrence: \(\text{H}_{n}\) : \(«{u_{n} = n^2+n}»\).
Initialisation
\(u_0=0\) et \(0^2+0=0\) la propriété est donc vraie pour \(n=0\) .
Hérédité
Supposons \(\text{H}_{n}\) vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text{H}_{n+1}\) est vraie.
On a \(u_{n+1}=u_n+2n+2\) ⇒ \(u_{n+1}=n^2+n+2n+2=n^2+3n+2\)
Or \((n+1)^2+n+1=n^2+2n+1+n+1=n^2+3n+2\)
D'où \(u_{n+1}=(n+1)^2+n+1\) et l'hérédité est vraie.
Conclusion
La propriété \(\text{H}_{n}\) est initialisée pour \(n=0\) et héréditaire, par récurrence sur \(n\) elle est donc vraie pour tout \(n \in ℕ\) .
Exercice 2
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Construction classique.
On commence par tracer la droite d'équation \(y=x\)
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Démonstration par récurrence.
Travail préparatoire: On commence par montrer que \(f\) est décroissante sur \([0;1]\)
On a \(f(x)=1-\frac 1 4x-\frac 1 2x^2\) une fonction du second degré.
On calcule \(-\frac b{2a}=\frac{-1} 4\) et on a \(-\frac 1 2<0\) , \(f\) est donc décroissante sur \(\mathbb{R}^{+}\) .
Soit l'hypothèse de récurrence: \(\text{P}_{n}\) : \(«0<u_n\leqslant 1»\).
Initialisation
On a \(u_0=1\) et \(0<1\leqslant 1\) donc \(\text{P}_{0}\) est vérifiée.
Hérédité
Supposons \(\text{P}_{n}\) vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text{P}_{n+1}\) est vraie.
On a \(0<u_n\leqslant 1\) ⇒ \(f(1) \leqslant f(u_n) < f(0)\) ( car \(f\) décroissante)
⇒ \(\frac 1 4 \leqslant u_{n+1} < 1\) ⇒ \(0<u_{n+1} \leqslant 1\)
D'où \(\text{P}_{n}\) ⇒ \(\text{P}_{n+1}\)
Conclusion
La propriété \(\text{P}_{n}\) est initialisée pour \(n=0\) et héréditaire, par récurrence sur \(n\) elle est donc vraie pour tout \(n \in ℕ\) .