Petit devoir sur la récurrence 2018-2019

Durée: 25 minutes

Exercice 1

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \(u_0=0\) et pour tout entier naturel \(n\) , \(u_{n+1}=u_n+2n+2\).

Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que le terme de rang \(n\) de la suite \((u_n)\) admet pour expression : \(u_n=n^2+n\).

Corrigé

Soit l'hypothèse de récurrence: \(\text{H}_{n}\) : \(«{u_{n} = n^2+n}»\).

Initialisation

\(u_0=0\) et \(0^2+0=0\) la propriété est donc vraie pour \(n=0\) .

Hérédité

Supposons \(\text{H}_{n}\) vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text{H}_{n+1}\) est vraie.

On a \(u_{n+1}=u_n+2n+2 \Rightarrow u_{n+1}=n^2+n+2n+2=n^2+3n+2\)

Or \((n+1)^2+n+1=n^2+2n+1+n+1=n^2+3n+2\)

D'où \(u_{n+1}=(n+1)^2+n+1\) et l'hérédité est vraie.

Conclusion

La propriété \(\text{H}_{n}\) est initialisée pour \(n=0\) et héréditaire, par récurrence sur \(n\) elle est donc vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) .

Exercice 2

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\) de ℕ par la relation de récurrence \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=1-\dfrac 1 4u_n-\dfrac 1 2u_n^2\)

1. Construire les 5 premiers termes de sur l'axe des abscisses du repère représenté ci-dessous (la courbe représentative de la fonction \(x\) \(\mapsto\) \(1-\dfrac 1 4x-\dfrac 1 2x^2\) est déjà tracée).

   

   Corrigé

   Construction classique.

   On commence par tracer la droite d'équation \(y=x\).

2. Vérifier par récurrence que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on a \(0<u_n\leqslant 1\) .

   Corrigé

   Démonstration par récurrence.

   Travail préparatoire: On commence par montrer que \(f\) est décroissante sur \([0;1]\)

   On a \(f(x)=1-\dfrac 1 4x-\dfrac 1 2x^2\) une fonction du second degré.

   On calcule \(-\dfrac b{2a}=\dfrac{-1} 4\) et on a \(-\dfrac 1 2<0\) , \(f\) est donc décroissante sur \(\mathbb{R}^{+}\).

   Soit l'hypothèse de récurrence: \(\text{P}_{n}\) : \(«0<u_n\leqslant 1»\).

   Initialisation

   On a \(u_0=1\) et \(0<1\leqslant 1\) donc \(\text{P}_{0}\) est vérifiée.

   Hérédité

   Supposons \(\text{P}_{n}\) vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text{P}_{n+1}\) est vraie.

   On a \(0<u_n\leqslant 1 \Rightarrow f(1) \leqslant f(u_n) < f(0)\) ( car \(f\) décroissante sur \([0;1]\))

   \(\Rightarrow \dfrac 1 4 \leqslant u_{n+1} < 1 \Rightarrow 0<u_{n+1} \leqslant 1\)

   D'où \(\text{P}_{n} \Rightarrow \text{P}_{n+1}\)

   Conclusion

   La propriété \(\text{P}_{n}\) est initialisée pour \(n=0\) et héréditaire, par récurrence sur \(n\) elle est donc vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).