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Petit Devoir Probabilités 2025-2026

L'usage de la calculatrice est autorisé. Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.

On compte quatre types de chaises dans une salle de concert : plastique, bois, pliable et cuir.

Chaque chaise peut présenter un état d'usure. Lorsqu'elle est en bon état, on dit qu'elle est "en bon état", sinon on dit qu'elle est "abîmée".

Au sein de cette salle de concert, on sait que :

  • 45 % des chaises sont en plastique, et parmi elles 85 % sont en bon état ;
  • 10 % des chaises sont en bois, et parmi elles 84 % sont en bon état ;
  • 3 % des chaises sont pliables, et parmi elles 82 % sont en bon état.

On choisit au hasard une chaise dans la salle de concert.

On désigne par :

  • P l'évènement « La chaise choisie est en plastique » ;
  • B l'évènement « La chaise choisie est en bois » ;
  • F l'évènement « La chaise choisie est pliable » ;
  • C l'évènement « La chaise choisie est en cuir » ;
  • E l'évènement « La chaise choisie est en bon état ».

Pour un évènement quelconque X, on note \(\overline{X}\) l'évènement contraire de X et p(X) la probabilité de X.

  1. Compléter l'arbre ci-dessous en donnant les probabilités (sans justifications).

    Corrigé

    On sait que les chaises sont réparties en 4 types :

    • Plastique (P) : \(p(P) = 0,45\)
    • En bon état : \(p_P(E) = 0,85\)

    • Abîmée : \(p_P(\overline{E}) = 0,15\)

    • Bois (B) : \(p(B) = 0,10\)

    • En bon état : \(p_B(E) = 0,84\)

    • Abîmée : \(p_B(\overline{E}) = 0,16\)

    • Pliable (F) : \(p(F) = 0,03\)

    • En bon état : \(p_F(E) = 0,82\)

    • Abîmée : \(p_F(\overline{E}) = 0,18\)

    • Cuir (C) : \(p(C) = 1 - (0,45 + 0,10 + 0,03) = 0,42\)

    • En bon état : \(p_C(E)\) (à déterminer)
    • Abîmée : \(p_C(\overline{E}) = 1 - p_C(E)\)

  2. Montrer que \(p(B \cap E) = 0,084\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    Corrigé

    On utilise la formule des probabilités conditionnelles : \(p(B \cap E) = p(B) \times p_B(E) = 0,10 \times 0,84 = 0,084\)

    Interprétation : La probabilité qu'une chaise choisie au hasard soit en bois et en bon état est de 8,4 %.

  3. On précise que \(p(E) = 0,8397\).

    Montrer que \(p_C(E) = 0,83\).

    Corrigé

    On utilise la formule des probabilités totales pour \(p(E)\) : \(p(E) = p(P \cap E) + p(B \cap E) + p(F \cap E) + p(C \cap E)\)

    On connaît \(p(E) = 0,8397\) et on calcule les autres termes :

    \(p(P \cap E) = 0,45 \times 0,85 = 0,3825\)

    \(p(B \cap E) = 0,084 \quad (\text{voir question 2})\)

    \(p(F \cap E) = 0,03 \times 0,82 = 0,0246\)

    On remplace dans la formule :

    \(0,8397 = 0,3825 + 0,084 + 0,0246 + p(C \cap E)\)

    \(p(C \cap E) = 0,8397 - 0,3825 - 0,084 - 0,0246 = 0,3486\)

    Or, \(p(C \cap E) = p(C) \times p_C(E)\), donc \(0,3486 = 0,42 \times p_C(E)\)

    \(p_C(E) = \frac{0,3486}{0,42} \approx 0,83\)

  4. On dit qu'une chaise est « de première qualité » lorsqu'elle est en cuir et en bon état.

    Montrer que la probabilité qu'une chaise choisie au hasard dans la salle de concert soit de première qualité est de \(0,3486\).

    Corrigé

    \(p(C \cap E) = 0,3486\)

  5. Lors d'un inventaire, on choisit un échantillon de 100 chaises dans la salle de concert. Cette salle contient suffisamment de chaises pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 100 chaises associe le nombre de chaises de première qualité dans cet échantillon.

    a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

    b. Déterminer à \(10^{-3}\) près la probabilité que 90 chaises ne soient pas de première qualité.

    c. Déterminer à \(10^{-3}\) près la probabilité qu'il y ait au plus 7 chaises de première qualité dans cet échantillon.

    d. Montrer que l'espérance \(\text{E(X)}\) de la variable aléatoire X est égale à \(34.86\) et que sa variance \(\text{V(X)}\) est égale à \(22.72\) à \(10^{-2}\) près. Interpréter l'espérance.

    Corrigé

    a. Justification de la loi binomiale

    On répète 100 fois l'expérience aléatoire "choisir une chaise" de manière identique et indépendante. Chaque essai a deux issues :

    • Succès : "la chaise est de première qualité" avec \(p = 0,3486\)
    • Échec : "la chaise n'est pas de première qualité" avec \(1 - p = 0,6514\)

    \(X\) suit donc une loi binomiale \(\mathcal{B}(n=100, p=0,3486)\).

    b. Probabilité que 90 chaises ne soient pas de première qualité

    "90 chaises ne sont pas de première qualité" équivaut à "10 chaises sont de première qualité" :

    \(p(X = 10) = \binom{100}{10} \times (0,3486)^{10} \times (0,6514)^{90} \approx 0,001\)

    c. Probabilité qu'il y ait au plus 7 chaises de première qualité

    \(p(X \leq 7) = \sum_{k=0}^{7} \binom{100}{k} \times (0,3486)^k \times (0,6514)^{100-k} \approx 0,000\)

    (avec la calculatrice)

    d. Espérance et variance de \(X\)

    \(E(X) = n \times p = 100 \times 0,3486 = 34,86\)

    \(V(X) = n \times p \times (1-p) = 100 \times 0,3486 \times 0,6514 \approx 22,72\)

    Interprétation de l'espérance : En moyenne, sur 100 chaises choisies, on s'attend à trouver 34,86 chaises de première qualité.