Petit Devoir Probabilités sujet B
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.
Les résultats seront donnés avec une précision au dix millième.
Une entreprise de transports possède 7 camions. Chaque camion a chaque jour la probabilité \(0,98\) de démarrer.
On appelle \(\text{X}\) la variable aléatoire qui compte le nombre de camions qui démarrent.
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Montrer que \(\text{X}\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Corrigé
L'expérience "le camion démarre" a deux issues possibles : soit il démarre (\(p=0,98\)), soit il ne démarre pas (\(p=0,02\)).
On répète cette expérience 7 fois de façons identiques et indépendantes.
La variable aléatoire \(\text{X}\) qui compte le nombre de camions qui démarrent suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=7\) et \(p=0,98\).
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Déterminer, en justifiant, la probabilité d'avoir, un jour donné, 4 camions exactement qui démarrent.
Corrigé
On a \(P(X=4)=\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix} 0,98^{4} \ 0,02^{3} \approx 0,0003\)
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Calculer ensuite la probabilité d'avoir, un jour donné, au moins 4 camions qui démarrent.
Corrigé
On a \(P(X \geqslant 4)=1-P(X < 4)=1-P(X \leqslant 3)\approx 1\)
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En moyenne, combien de camions peuvent démarrer chaque jour ?
Corrigé
On calcule \(E(X)=7 \times 0,98 =6,86\)
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Combien de camions une entreprise devrait-elle posséder pour avoir, un jour, plus d'une chance sur deux d'avoir au moins un camion en panne ?
Corrigé
Pour cette question, la variable aléatoire \(\text{Y}\) qui compte le nombre de camions qui tombent en panne (ne démarrent pas) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p=0,02\), avec \(n\) à déterminer.
\(P(Y \geqslant 1)=1-P(Y < 1)=1-P(Y=0)=1-0,98^n\)
On résout \(1-0,98^n \geqslant \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\geqslant 0,98^n\)
Avec la calculatrice, on trouve \(0,98^{35}\approx 0,503\) et \(0,98^{34}\approx 0,493\).
Ă€ partir de 35 camions l'entreprise aura donc plus d'une chance sur deux d'avoir au moins un camion en panne.
