Petit Devoir Probabilités Sujet A
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications.
Les résultats seront donnés avec une précision au dix millième.
Une entreprise de transports possède 9 camions. Chaque camion a chaque jour la probabilité \(0,97\) de démarrer.
On appelle \(\text{X}\) la variable aléatoire qui compte le nombre de camions qui démarrent.
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Montrer que \(\text{X}\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Corrigé
L'expérience "le camion démarre" a deux issues possibles : soit il démarre (\(p=0,97\)), soit il ne démarre pas (\(p=0,03\)).
On répète cette expérience 9 fois de façons identiques et indépendantes.
La variable aléatoire \(\text{X}\) qui compte le nombre de camions qui démarrent suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=9\) et \(p=0,97\).
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Déterminer, en justifiant, la probabilité d'avoir, un jour donné, 5 camions exactement qui démarrent.
Corrigé
On a \(P(X=5)=\begin{pmatrix}9\\5\end{pmatrix} 0,97^{5} \ 0,03^{4} \approx 0,0001\)
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Calculer ensuite la probabilité d'avoir, un jour donné, au moins 5 camions qui démarrent.
Corrigé
On a \(P(X \geqslant 5)=1-P(X < 5)=1-P(X \leqslant 4)\approx 1\)
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En moyenne, combien de camions peuvent démarrer chaque jour ?
Corrigé
On calcule \(E(X)=9 \times 0,97 =8,73\)
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Combien de camions une entreprise devrait-elle posséder pour avoir, un jour, plus d'une chance sur deux d'avoir au moins un camion en panne ?
Corrigé
Pour cette question, la variable aléatoire \(\text{Y}\) qui compte le nombre de camions qui tombent en panne (ne démarrent pas) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p=0,03\), avec \(n\) à déterminer.
\(P(Y \geqslant 1)=1-P(Y < 1)=1-P(Y=0)=1-0,97^n\)
On résout \(1-0,97^n \geqslant \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\geqslant 0,97^n\)
Avec la calculatrice, on trouve \(0,97^{22}\approx 0,512\) et \(0,97^{23}\approx 0,496\).
Ă€ partir de 23 camions l'entreprise aura donc plus d'une chance sur deux d'avoir au moins un camion en panne.
