Petit Devoir sur la fonction ln (Sujet Bac Nouvelle Calédonie Mai 2022)

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée : 40 min

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par

\[f(x) = x^2 - 6x + 4\ln (x).\]

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).

On note \(f\)' sa dérivée et \(f''\) sa dérivée seconde.

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.

1. a. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).

   Interpréter graphiquement ce résultat.

   b. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)\).

2. a. Déterminer \(f'(x)\) pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0~;~+ \infty[\).

   b. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).

   En déduire le tableau de variations de \(f\).

3. Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans l'intervalle [4 ; 5].

4. On admet que, pour tout \(x\) de \(]0~;~+ \infty[\), on a :

   \[f''(x) = \dfrac{2x^2 - 4}{x^2}.\]

   a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+ \infty[\).

   On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\).

   b. On note A le point de coordonnées \(\left(\sqrt 2~;~f\left(\sqrt 2~\right)\right)\).

   Soit \(t\) un réel strictement positif tel que \(t \ne \sqrt 2\).

   Soit \(M\) le point de coordonnées \((t~;~ f(t))\).

   En utilisant la question 4. a., indiquer, selon la valeur de \(t\), les positions relatives du segment \([\text{AM}]\) et de la courbe \(\mathcal{C}_f\).