Petit Devoir sur la fonction ln

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée : 40 min

Exercice 1

SujetCorrigé

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation:

   \[\text{ln}(2x)=\text{ln}(x^2-1)\]

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation:

   \[\text{ln}(3-x)+\text{ln}2-2\text{ln}(x+1)\geqslant 0\]

1. On a \(2x>0\)  \(\Leftrightarrow x>0\)   et \(x^2-1>0 \Leftrightarrow (x-1)(x+1)>0\)  soit \(x\in ]-\infty \mathrm ;-1[{\cup}]1\mathrm ;+\infty [\)

   Les solutions éventuelles de l'équation doivent donc appartenir à \(]1\mathrm ;+\infty [\) .

   On résout ensuite : \(\text{ln}(2x)=\text{ln}(x^2-1) \Leftrightarrow 2x=x^2-1 \Leftrightarrow x^2-2x-1=0\)

   C'est un trinôme du second degré, calculons son discriminant \(\Delta=4-4\times 1\times (-1)=8\)

   Ce trinôme admet donc deux racines distinctes : \(x_1=\dfrac{2-\sqrt 8} 2=1-\sqrt 2\)  et \(x_2=\dfrac{2+\sqrt 8} 2=1+\sqrt 2\) .

   On remarque que la seule racine qui appartient à \(]1\mathrm ;+\infty [\)  est \(x_2\) .

   L'ensemble \(\text S\)  des solutions de l'équation de départ est \(\text S=\{1+\sqrt 2\}\) .

2. On détermine l'ensemble de recherche des solutions :

   On a \(3-x>0\)  et \(x+1>0\)  soit \(x\in ]-1\mathrm ;3[\) .

   Les solutions éventuelles de l'inéquation doivent donc appartenir à \(]-1\mathrm ;3[\) .

   On résout :

   \(\text{ln}(3-x)+\text{ln}2-2\text{ln}(x+1)\geqslant 0 \Leftrightarrow \text{ln}(2(3-x))\geqslant \text{ln}((x+1)^2)\Leftrightarrow 6-2x\geqslant x^2+2x+1 \Leftrightarrow x^2+4x-5\leqslant 0 (\text I)\)

   Cette inéquation admet une racine évidente \(x_1=1\)  on déduit donc \(x_2=\dfrac c a=-5\) .

   En conséquence, avec \(a>0\) , on déduit que \(\text I\) est vérifiée pour \(x\in [-5\mathrm ;1]\) .

   L'ensemble \(\text S'\)  des solutions de l'inéquation de départ est donc \([-5\mathrm ;1]{\cap}]-1\mathrm ;3[\)  soit \(\text S'=]-1\mathrm ;1]\).

Exercice 2

SujetCorrigé

Soit \(f\)  la fonction \(x \mapsto \text{ln}(\text e^{2x}-\text e^x+1)\)

1. Montrer que \(f\)  est définie sur \(\mathbb{R}\).

   Étudier les limites respectives de \(f\)  en \(+\infty\) et \(-\infty\).

2. On admettra que \(f\)  est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).

   Calculer \(f'(x)\) et étudier le sens de variation de la fonction \(f\) .

3. Étudier la limite en \(+\infty\) de \(f(x)-2x\) .

   En déduire les asymptotes à la courbe représentative de \(f\) (notée \(\text C\) ).

   On notera \(\Delta\) son asymptote oblique.

4. Étudier la position de \(\text C\)  par rapport à \(\Delta\) quand \(x>0\) .

5. Déterminer l'équation de la tangente \(\text T\)  à \(\text C\)  au point \(\text O\)  de coordonnées \((0\mathrm;0)\) .

6. Étudier la position de \(\text C\)  par rapport à \(\text T\) .

7. Tracer \(\text C\), \(\Delta\) et T sur l'intervalle \([-2\mathrm ;1]\) en prenant 2cm pour unité graphique.

8. Soit \(k\)  un réel strictement positif. Discuter en justifiant, suivant les valeurs de \(k\) , le nombre de solutions de l'équation \(\text e^{2x}-\text e^x+1-k=0\) .

1. On résout \(\text e^{2x}-\text e^x+1>0\) :

   On pose \(\text X=\text e^x\) d'où \(\text e^{2x}-\text e^x+1>0 \Leftrightarrow \text X^2-\text X+1>0\)

   Le trinôme du second degré \(\text X^2-\text X+1\)  admet pour discriminant \(\Delta=1-4\times 1=-3\) , \(\text X^2-\text X+1\)  est donc du signe de \(a=1\) , donc \(\text X^2-\text X+1>0\)  pour tout \(\text X {\in} \mathbb{R}\). Et \(f\)  est bien définie sur \(\mathbb{R}\).

   Limites

   On a \(\lim\limits_{x\to -\infty }\text e^{2x}-\text e^x+1=1\)  (par inverses et somme). Donc, par composée, \(\lim\limits_{x\to -\infty }f(x)=\text{ln}(1)=0\) .

   En \(+\infty\) , on récrit \(\text e^{2x}-\text e^x+1=\text e^{2x}(1-\text e^{-x}+\text e^{-2x})\) soit

   \(f(x)=\text{ln}(\text e^{2x})+\text{ln}(1-\text e^{-x}+\text e^{-2x})=2x+\text{ln}(1-\text e^{-x}+\text e^{-2x})\)  \((1)\)

   Par somme de limites, on a donc \(\lim\limits_{x\to +\infty }f(x)=+\infty\) .

2. \(f\)  est de la forme \(\text{ln}(u)\) , on a donc \(f'\)  de la forme \(\dfrac{u'} u\).

   On calcule \(u'(x)\mathrm{\text =}2\text e^{2x}-\text e^x=\text e^x(2\text e^x-1)\)  et il vient \(f'(x)=\dfrac{\text e^x(2\text e^x-1)}{\text e^{2x}-\text e^x+1}\) .

   D'après 1., le dénominateur est positif. On a aussi \(\text e^x>0\)  sur \(\mathbb{R}\). \(f'(x)\)  est du signe de \((2\text e^x-1)\) .

   On résout \(2\text e^x-1\geqslant 0\)  \(\Leftrightarrow\) \(\text e^x\geqslant \dfrac 1 2\)  \(\Leftrightarrow\) \(x\geqslant \text{ln}\left(\dfrac 1 2\right)\)  \(\Leftrightarrow\) \(x\geqslant -\text{ln}(2)\) .

   On déduit que \(f\)  est croissante sur \([-\text{ln}(2)\mathrm ;+\infty [\)  et décroissante sur \(]-\infty \mathrm ;-\text{ln}(2)]\) .

3. D'après (1), on a \(\lim\limits_{x\to +\infty }(f(x)-2x)=0\)

   \(\text C\)  admet donc une asymptote horizontale d'équation \(y=0\)  en \(-\infty\)  et une asymptote oblique d'équation \(y=2x\)  en \(+\infty\).

4. D'après (1), on a \(f(x)-2x=\text{ln}(1-\text e^{-x}+\text e^{-2x})\).

   Étudions le signe de cette quantité pour \(x>0\) :

   \(\text{ln}(1-\text e^{-x}+\text e^{-2x})\geqslant 0 \Leftrightarrow 1-\text e^{-x}+\text e^{-2x}\geqslant 1 \Leftrightarrow \text e^{-2x}\geqslant \text e^{-x} \Leftrightarrow -2x\geqslant -x \Leftrightarrow x\leqslant 0\)

   Par conséquent, sur \(\mathbb{R}^+\), on a toujours \(f(x)-2x\leqslant 0\) , et C est en dessous de \(\Delta\).

5. \(\text T\) est la tangente à \(\text C\)  en 0, elle admet pour équation \(\text T\) : \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\)

   Soit \(\text T\) : \(y=1(x-0)+0=x\) .

6. Position de C par rapport à T

   \[f(x)-x=\text{ln}(\text e^{2x}-\text e^x+1)-\text{ln}(\text e^x)=\text{ln}(\text e^x-1+\text e^{-x})\]

   On résout \(\text{ln}(\text e^x+\text e^{-x}-1)\geqslant 0 \Leftrightarrow \text e^x+\text e^{-x}\geqslant 2 \Leftrightarrow \text e^{-x}(\text e^{2x}-2\text e^x+1)\geqslant 0 \Leftrightarrow\) \(\text e^{-x}(\text e^x-1)^2\geqslant 0\)

   Cette inégalité étant vraie pour tout \(x \in \mathbb{R}\). C est toujours au dessus de \(\text T\).

7. Graphique

   

8. \(\text e^{2x}-\text e^x+1-k=0 \Leftrightarrow \text e^{2x}-\text e^x+1=k \Leftrightarrow f(x)=\text{ln}k\).

   \(f(-\text{ln}(2))=\text{ln}(\text e^{-2\text{ln}2}-\text e^{-\text{ln}(2)}+1)=\text{ln}\left(\dfrac 1 4-\dfrac 1 2+1\right)=\text{ln}\left(\dfrac 3 4\right)\).

   pour \(k<\dfrac 3 4\) , \(f(x)=\text{ln}(k)\)  n'admet pas de solutions.

   Pour \(k=\dfrac 3 4\) , \(f(x)=\text{ln}(k)\)  admet une seule solution.

   Pour \(\dfrac 3 4<k<1\) , \(f(x)=\text{ln}(k)\)  admet 2 solutions.

   Pour \(k\geqslant 1\) , \(f(x)=\text{ln}(k)\)  admet une seule solution.