Petit devoir sur les limites de fonctions
Durée : 25 minutes
Calculatrice autorisée
Exercice 1 (4 points)
Déterminer les limites suivantes en justifiant :
1. \(\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{3x - 1}{x^2}\)
Corrigé
On a \(\lim\limits_{x \to 0^+}{3x - 1}=-1\) et \(\lim\limits_{x \to 0^+}{x^2}=0^+\).
Par quotient, on a donc \(\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{3x - 1}{x^2}=-\infty\).
2. \(\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{2x^3 - 5x}{x^2 + 1}\)
Corrigé
On factorise par \(x^3\) le numérateur et par \(x^2\) le dénominateur :
\(\dfrac{2x^3 - 5x}{x^2 + 1}=\dfrac{x^3(2 - \frac{5}{x^2})}{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}=\dfrac{x(2 - \frac{5}{x^2})}{1 + \frac{1}{x^2}}\).
On a \(\lim\limits_{x \to -\infty}{x}=-\infty\), \(\lim\limits_{x \to -\infty}{2 - \frac{5}{x^2}}=2\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty}{1 + \frac{1}{x^2}}=1\).
Par quotient et produit, on a donc \(\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{2x^3 - 5x}{x^2 + 1}=-\infty\).
3. \(\lim\limits_{x \to 3^-}\dfrac{-4}{-3x + 9}\)
Corrigé
Le tableau du signe de \(-3x + 9\) est:
On a \(\lim\limits_{x \to 3^-}{-4}=-4\) et \(\lim\limits_{x \to 3^-}{-3x + 9}=0^+\).
Par quotient, on a donc \(\lim\limits_{x \to 3^-}\dfrac{-4}{-3x + 9}=-\infty\).
Exercice 2 (3 points)
On cherche une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) telle que :
1. Interpréter graphiquement ces limites.
Corrigé
La première limite signifie que la droite d'équation \(x=1\) est une asymptote verticale de la courbe représentative de la fonction \(f\).
La deuxième limite signifie que la droite d'équation \(y=2\) est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction \(f\) en \(-\infty\) et \(+\infty\).
2. Proposer une expression simple possible de \(f(x)\).
Corrigé
Une expression possible est \(f(x)=2+\dfrac{1}{(x-1)^2}\).
Exercice 3 (3 points)
Déterminer les limites suivantes en justifiant :
1. \(\lim\limits_{x \to +\infty}(e^x - x^2)\)
Corrigé
On a \(e^x-x^2=e^x(1 - \frac{x^2}{e^x})\).
On a \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e^x}{x^2}=+\infty\) donc, par inverse \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=0\) soit \(\lim\limits_{x \to +\infty}(1 - \dfrac{x^2}{e^x})=1\).
De plus \(\lim\limits_{x \to +\infty}e^x=+\infty\).
Par produit, on a donc \(\lim\limits_{x \to +\infty}(e^x - x^2)=+\infty\).
2. \(\lim\limits_{x \to -\infty}(2x + e^x)\)
Corrigé
On a \(\lim\limits_{x \to -\infty}{2x}=-\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty}{e^x}=0\).
Par somme, on a donc \(\lim\limits_{x \to -\infty}(2x + e^x)=-\infty\).
3. \(\lim\limits_{x \to +\infty}e^{\frac{2x-1}{x+3}}\)
Corrigé
On a \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2x-1}{x+3}=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x(2 - \frac{1}{x})}{x(1 + \frac{3}{x})}=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{3}{x}}=2\).
Par composition, on a donc \(\lim\limits_{x \to +\infty}e^{\frac{2x-1}{x+3}}=e^2\).