Devoir Applications du cours sur l'intégration
QCM
Pour chaque question, donner la (ou les) bonne(s) réponse(s) en justifiant.
Question 1
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0 ; +\infty[\) par \(f(x) = 2+\dfrac3x\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 1 cm.
L'aire sous la courbe \(\mathcal{C}_f\) sur l'intervalle \([1 ; 5]\) est :
a. \(5+\ln(15)-\ln(3)\) unités d'aire \(\quad\quad\) b. \(8+3\ln(5)\) unités d'aire \(\quad\quad\) c. \(51,2\) cm\(^2\) \(\quad\quad\) d. \(\ln\left(5^3\text{e}^8\right)\) cm\(^2\)
Corrigé
Une primitive de \(f\) est \(F(x)=2x+3\ln{x}\)
\(F(5)-F(1)= 8+3\ln(5)=\ln\left(5^3\text{e}^8\right)\)
b. et d.
Question 2
On considère un repère orthogonal tel que 1 unité sur l’axe des abscisses mesure 2 cm et 1 unité sur l’axe des ordonnées mesure 3 cm. Alors l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la courbe de représentative de la fonction carré et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=3\) mesure :
a. \(\dfrac{26}{3}\) cm\(^2\) \(\quad\quad\) b. 78 cm\(^2\) \(\quad\quad\) c. 52 cm\(^2\) \(\quad\quad\) d. \(\dfrac{130}{3}\) cm\(^2\)
Corrigé
Une primitive de la fonction carré est \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}\)
D'oĂą \(A=\dfrac{3^3}{3}-\dfrac{1^3}{3}=\dfrac{26}{3}\) u.a. soit \(\dfrac{26}{3} \times 6=52\) cm\(^2\)
c.
Question 3
Une primitive de la fonction \(f(x) = 1-2\ln(x)\) définie sur \(]0 ; +\infty[\) est :
a. \(F(x)=3x-2x\ln(x)\) \(\quad\quad\) b. \(F(x)=x\left(3-\ln(x)\right)\) \(\quad\quad\) c. \(F(x)=-\dfrac{2}{x}\) \(\quad\quad\) d. \(F(x)=x-\dfrac{2}{x}\)
Corrigé
La seule dérivée qui donne \(f(x) = 1-2\ln(x)\) est celle de \(F(x)=3x-2x\ln(x)\).
a.
Question 4
Soit \(f(x)=2x\text{e}^{x^2}\) définie sur \(\mathbb{R}\). Alors \(\displaystyle \int_{-3}^3 f'(x)\text{d}x=\)
a. \(6\text{e}^9-6^{-9}\) \(\quad\quad\) b. \(0\) \(\quad\quad\) c. \(12\text{e}^9\) \(\quad\quad\) d. \(2\text{e}^9\)
Corrigé
\(\displaystyle \int_{-3}^3 f'(x)\text{d}x=f(3)-f(-3)=6\text{e}^{9}-(-6\text{e}^9)=12\text{e}^9\)
c.
Question 5
La valeur moyenne sur \([-2 ; 1]\) de la fonction \(f(x) = 3x^2\) est :
a. \(9\) \(\quad\quad\) b. \(3\) \(\quad\quad\) c. \(-7\) \(\quad\quad\) d. \(-\dfrac{7}{3}\)
Corrigé
\(\mu=\dfrac{1}{3} \displaystyle \int_{-2}^1 3x^2\text{d}x=\dfrac{1}{3}[x^3]_{-2}^1=\dfrac{9}{3}\)
b.
Question 6
Soient \(f(x) = x^2+8x-7\) et \(g(x) = -x^2+2x+13\), définies sur \([-5 ; 2]\). L'aire du domaine situé entre \(f\) et \(g\) sur \([-5 ; 2]\) est :
a. \(\displaystyle \int_{-5}^2\left(f(x)-g(x)\right)\text{d}x\) \(\quad\quad\) b. \(\displaystyle \int_{-5}^2\left(g(x)-f(x)\right)\text{d}x\) \(\quad\quad\) c. \(\dfrac{77}{3}\) \(\quad\quad\) d. \(\dfrac{343}{3}\)
Corrigé
On calcule \(f(x)-g(x)=2x^2+6x-20=2(x^2+3x-10)\)
Le trinĂ´me \(x^2+3x-10\) a un discriminant \(\Delta=49\) et pour racines \(x_1=-2\) et \(x_2=5\)
\(f(x)-g(x)\) est donc négative sur \([-5;2]\)
\(\displaystyle \int_{-5}^2\left(f(x)-g(x)\right)\text{d}x=[\dfrac{2}{3}x^3+3x^2-20x]_{-5}^2=-\dfrac{343}{3}\)
b. et d.
Question 7
La suite \((I_n)\) définie pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) par \(I_n=\displaystyle \int_1^n\dfrac{1}{x}\text{d}x\) est:
a. croissante;\(\quad\quad\) b. décroissante;\(\quad\quad\) c. constante;\(\quad\quad\) d. On ne peut rien dire.
Corrigé
a.
Question 8
On donne ci-dessus la courbe représentative d'une fonction \(f\). Alors un encadrement de \(\displaystyle \int_0^3 f(x)\text{d}x\) est :
a. \(0 \leqslant I \leqslant 2\) \(\quad\quad\) b. \(3 \leqslant I \leqslant 4\) \(\quad\quad\) c. \(1 \leqslant I \leqslant 2\) \(\quad\quad\) d. \(4 \leqslant I \leqslant 5\)
Corrigé
Lecture graphique
b.
Question 9
Sur la figure ci-dessus, \(\mathcal{C}\) est la courbe représentative d'une fonction \(f\) dans le repère \(\left( O;I;J\right)\). L'intervalle \([0;1]\) est partagé en trois parties égales. L'aire du domaine hachuré est égale à :
a. \(\dfrac{1}{3}f(0)+\dfrac{1}{3}f\left(\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}f\left(\dfrac{2}{3}\right)\) \(\quad\quad\) b. \(\dfrac{1}{3}f(0)+\dfrac{2}{3}f\left(\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{2}{3}f\left(\dfrac{2}{3}\right)\)
c. \(\dfrac{1}{3}f\left(\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}f\left(\dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{1}{3}f\left(1\right)\) \(\quad\quad\) d. \(\dfrac{1}{3}f\left(\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{2}{3}f\left(\dfrac{1}{3}\right)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)
Corrigé
Sommes de Riemann : lecture graphique
c.
Question 10
On pose \(I = \displaystyle \int_0^1 \ln(1 + x^2) \text{d}x\).
On souhaite utiliser une intégration par parties pour calculer cette intégrale. Laquelle des propositions suivantes est correcte ?
a. En posant \(u = \ln(1 + x^2)\), \(v' = 1\), on obtient \(I = \left[x \ln(1 + x^2) \right]_0^1 - \displaystyle \int_0^1 \dfrac{2x^2}{1 + x^2} \text{d}x\)
b. En posant \(u = x\), \(v' = \dfrac{2x}{1 + x^2}\), on obtient \(I = \left[x \ln(1 + x^2) \right]_0^1 - \displaystyle \int_0^1 \ln(1 + x^2) \text{d}x\)
c. En posant \(u = \ln(1 + x^2)\), \(v' = 1\), alors \(I = \left[x \ln(1 + x^2) \right]_0^1 - \displaystyle \int_0^1 \dfrac{2x}{1 + x^2} \text{d}x\)
d. L'intégration par parties ne peut pas s'appliquer ici car on ne connait pas de primitives de la fonction \(\ln(1 + x^2)\) sur \([0 ; 1]\).
Corrigé
Formule du cours
a.