Petit Devoir - Géométrie dans l'espace

Durée : 15 minutes

Exercice 1 (1+2+1)

On considère le cube \(ABCDEFGH\) ci-dessous :

On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([EH]\).

On considère le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\).

Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{AG}\) comme une combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\).

\(\overrightarrow{AG} =\) .............................................................
Déterminer les coordonnées des points \(I\) et \(J\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\).

\(I\) ......................... \(J\) ...........................
Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont-ils coplanaires ? Justifier.

.......................................................................................................

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Corrigé

1. Expression du vecteur \(\overrightarrow{AG}\)

Dans un cube, pour aller de \(A\) à \(G\), on peut décomposer le trajet : - De \(A\) à \(B\) : \(\overrightarrow{AB}\) - De \(B\) à \(C\) (ou de \(A\) à \(D\)) : \(\overrightarrow{AD}\) - De \(C\) à \(G\) (ou de \(D\) à \(H\) puis \(H\) à \(G\)) : \(\overrightarrow{AE}\)

\[\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}\]

2. Coordonnées des points \(I\) et \(J\)

En considérant que le cube a une arête de longueur 1 :

Point \(A\) : \((0;0;0)\)
Point \(B\) : \((1;0;0)\)
Point \(E\) : \((0;0;1)\)
Point \(H\) : \((0;1;1)\)

\(I\) est le milieu de \([AB]\) : \(\(I\left(\frac{0+1}{2};\frac{0+0}{2};\frac{0+0}{2}\right) = I\left(\frac{1}{2};0;0\right)\)\)

\(J\) est le milieu de \([EH]\) : \(\(J\left(\frac{0+0}{2};\frac{0+1}{2};\frac{1+1}{2}\right) = J\left(0;\frac{1}{2};1\right)\)\)

Réponse : \(I\left(\frac{1}{2};0;0\right)\) et \(J\left(0;\frac{1}{2};1\right)\)

3. Coplanarité des vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}\)

Calculons d'abord \(\overrightarrow{IJ}\) : \(\(\overrightarrow{IJ} = \begin{pmatrix} 0-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}\)\)

On a : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Pour vérifier si \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont coplanaires, on cherche si \(\overrightarrow{IJ} = \alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AE}\) :

\[\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Ce qui donne : \(\alpha = -\frac{1}{2}\), \(0 = \frac{1}{2}\) et \(\beta = 1\)

L'équation \(0 = \frac{1}{2}\) est impossible.

Conclusion : Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}\) ne sont pas coplanaires.

Exercice 2

Soit les points \(M(1;2;3)\), \(N(3;1;2)\) et \(P(2;4;5)\) dans un repère de l'espace.

Les points \(M\), \(N\) et \(P\) sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.

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Corrigé

Pour déterminer si les points \(M(1;2;3)\), \(N(3;1;2)\) et \(P(2;4;5)\) sont alignés, on calcule les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{MP}\) :

\[\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 1-2 \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{MP} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 4-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Les points sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{MP}\) sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe \(k \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MN}\).

On teste : \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Première coordonnée : \(1 = 2k \Rightarrow k = \frac{1}{2}\)
Deuxième coordonnée : \(2 = -k \Rightarrow k = -2\)

On obtient deux valeurs différentes pour \(k\).

Conclusion : Les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{MP}\) ne sont pas colinéaires, donc les points \(M\), \(N\) et \(P\) ne sont pas alignés.