Petit devoir dans l'Espace 20-21

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la justification.

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Le barème est donné à titre indicatif.

Durée : 30 minutes

Soient trois vecteurs \(\vec u\) \(\left(\begin{matrix}2\\-1\\0\end{matrix}\right)\)  \(\vec v\) \(\left(\begin{matrix}-1\\0\\3\end{matrix}\right)\) et \(\vec w\) \(\left(\begin{matrix}0\\-3\\1\end{matrix}\right)\)  ainsi que trois points \(\text A(1;2;3)\) , \(\text B(2;0;3)\)  et  \(\text C(6;3;8)\) donnés dans le repère \((\text O;\vec i,\vec j,\vec k)\) .

1. Démontrer que les vecteurs \(\vec u\) , \(\vec v\)  et \(\vec w\)  ne sont pas coplanaires (1,5 points)

2. Déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que: (2 points)

   \[\overrightarrow{\text{AB}}=\alpha \overrightarrow u+\beta \overrightarrow v+\gamma \overrightarrow w\]

3. Déterminer \(a\) , \(b\)  et \(c\)  tels que: (2 points)

   \[\overrightarrow{\text{BC}}=a\overrightarrow u+b\overrightarrow v+c\overrightarrow w\]

4. En déduire les coordonnées du point \(\text C\)  dans le repère \((\text A;\vec u,\vec v,\vec w)\). (1,5 points)

   Cette dernière question peut être traitée même si 2. et 3. ne l'ont pas été.