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Petit devoir sur la continuité et les limites.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Le barème est donné à titre indicatif.

Durée : 35 min

Exercice 1 (4 points)

  1. On considère la fonction \(f\)  définie sur \(]-\infty \mathrm ;3[\)  par : \(f(x)=\dfrac{x^2}{3-x}\)  et on note \(\text C_f\)  la courbe représentative de la fonction \(f\)  dans un repère.

    1. Étudier les limites de la fonction \(f\)  aux bornes de son ensemble de définition.

    2. La courbe \(\text C_f\)  admet-elle une asymptote horizontale ? Une asymptote verticale ?

  2. On considère la fonction \(g\)  : \(x \mapsto \sqrt{\dfrac{1-3x}{2-x}}\)  définie sur \(f\) .

    On note \(\text C_g\)  sa courbe représentative dans un repère.

    1. Étudier les limites de \(g\)  aux bornes de son ensemble de définition.

    2. Que peut-on en déduire pour la courbe \(\text C_g\) ?

Exercice 2 (2.5 points)

Soit la fonction \(f\)  définie par \(f(x)=x-\text E(x)\)  sur \(]-2\mathrm ;2[\) , où \(\text E(x)\)  est la fonction partie entière.

  1. Étudier la continuité de \(f\)  au point d'abscisse 1.

  2. Représenter la fonction \(f\) , on prendra le centimètre comme unité graphique.

Exercice 3 (3.5 points)

Démontrer que l'équation \(x^5+\sqrt x-\dfrac 1 x=0\)  admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 1

  1. a) \(\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x<3}}x^2=9\)  et \(\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x<3}}3-x=0^+\)  par quotient \(\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x<3}}f(x)=+\infty\)

    \(f(x)=\dfrac{x^2}{x\left(\dfrac 3 x-1\right)}=\dfrac x{\dfrac 3 x-1}\) on a \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty }x=-\infty\)  et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty }\dfrac 3 x-1=-1\)  d'où, par quotient, \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty }f(x)=+\infty\).

    b) D'après a), \(\text C_f\)  admet une asymptote verticale en 3 (d'équation \(x=3\) )

  2. a) On a \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}1-3x=-5\) et \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}2-x=0^-\) , par quotient \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}\dfrac{1-3x}{2-x}=+\infty\). De plus, \(\lim\limits_{\text X\rightarrow +\infty }\sqrt{\text X}=+\infty\), par composée, on a donc \(\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}g(x)=+\infty\).

    On a \(\sqrt{\dfrac{1-3x}{2-x}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac 1 x-3}{\dfrac 2 x-1}}\). \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac 1 x-3=-3\)  et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac 2 x-1=-1\) , par quotient, on a \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\dfrac 1 x-3}{\dfrac 2 x-1}=3\) .

    De plus \(\lim\limits_{\text X\rightarrow 3}\sqrt{\text X}=\sqrt 3\) ,par composée, on a donc \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g(x)=\sqrt 3\) .

    b) \(\text C_g\)  admet une asymptote verticale en 2 (d'équation \(x=2\)) et une asymptote horizontale en +\({\infty}\) d'équation \(y=\sqrt 3\) .

Exercice 2

  1. On a \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}}x=1\)  et \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}}\text E(x)=0\) , par somme \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}}x-\text E(x)=1\) . Soit \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}}f(x)=1\).

    On a \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x>1}}x=1\)  et \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x>1}}\text E(x)=1\) , par somme \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x>1}}x-\text E(x)=0\) . Soit \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x>1}}f(x)=0\) .

    D'où \(\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x<1}}f(x)\neq \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x>1}}f(x)\)  et \(f\) n'est pas continue au point d'abscisse 1.

  2. Représentation graphique

Exercice 3

Soit la fonction \(f(x)=x^5+\sqrt x-\dfrac 1 x\)

\(x \mapsto \sqrt x\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) et \(x \mapsto \dfrac 1 x\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) d'où \(x \mapsto f(x)\) définie sur \(\mathbb{R}^+\).

\(f\) est une somme de fonctions continues et dérivables sur \(\mathbb{R}^+\) donc est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}^+\).

Pour \(x \in \mathbb{R}^+\), \(f'(x)=5x^4+\dfrac 1{2\sqrt x}+\dfrac 1{x^2}\) , d'où \(f'(x)>0\)  et \(f\)  strictement croissante sur \(\mathbb{R}^+\).

On a \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}f(x)=-\infty\)  et \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty\)  (par somme de limites de fonctions de référence), ce qui implique que \(f\)  change de signe sur \(\mathbb{R}^+\).

D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, \(f(x)=0\)  admet une unique solution sur \(\mathbb{R}^+\), et donc sur \(\mathbb{R}\).