Devoir de Trigonométrie 25-26
Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la justification.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Le barème est donné à titre indicatif.
Durée : 55 minutes
Exercice 1 (3 points)
-
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}\).
Corrigé
On Ă©crit :
\(\dfrac{\sin(5x)}{3x} = \dfrac{\sin(5x)}{5x} \times \dfrac{5}{3}\)
On pose \(X = 5x\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(X)}{X} = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0} X = 0\).
Par composition, on obtient donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{5x} = 1\).
Par produit, on a donc :
\[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x} = \dfrac{5}{3}\] -
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x^2)}{x}\).
Corrigé
On a \(-1 \leqslant \sin(x^2) \leqslant 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), donc :
\[-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin(x^2)}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}\]En passant Ă la limite, on obtient :
\[\lim_{x \to +\infty} -\dfrac{1}{x} = 0 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}\]Par le théorème des gendarmes, on a donc :
\[\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x^2)}{x} = 0\]
Exercice 2 (5 points)
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
-
Déterminer le domaine de définition de \(f\).
Corrigé
\(\tan(x)\) est définie si et seulement si \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) pour tout \(k \in \mathbb{Z}\).
Donc \(f\) est définie sur \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}\).
-
Montrer que \(f\) est impaire. En donner une interprétation graphique.
Corrigé
Pour tout \(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}\), on a :
\(f(-x) = \tan(-x) - (-x) = -\tan(x) + x = -(\tan(x) - x) = -f(x)\)
Donc \(f\) est impaire.
Graphiquement, cela signifie que la courbe \(\mathcal{C}_f\) est symétrique par rapport à l'origine du repère.
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Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\).
Corrigé
\(f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)} - 1 = \dfrac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \tan^2(x)\)
-
Étudier les variations de \(f\) sur l'intervalle \(\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\).
Corrigé
Sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\), \(\tan^2(x) \geqslant 0\), donc \(f'(x) \geqslant 0\). La fonction \(f\) est croissante sur cet intervalle
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Étudier le signe de \(f(x)\) sur l'intervalle \(\left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[\), en déduire le signe de \(f(x)\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\).
Corrigé
Comme \(f(0) = 0\) et \(f\) est croissante, on a \(f(x) \geqslant 0\) pour tout \(x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right[\).
Par imparité, on a \(f(x) \leqslant 0\) pour tout \(x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}, 0\right[\).
Exercice 3 (3 points)
RĂ©soudre dans \(\mathbb{R}\) l'Ă©quation : \(2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0\)
Corrigé
On pose \(X = \cos(x)\).
L'Ă©quation devient :
Le discriminant est \(\Delta = 9 - 8 = 1\), donc les solutions sont :
On résout ensuite :
- \(\cos(x) = \dfrac{1}{2}\) donne \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
- \(\cos(x) = 1\) donne \(x = 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
L'ensemble des \(S\) des solutions est donc :
Exercice 4 (3 points)
On considère une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\).
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Montrer que, pour tout \(k \geqslant 1\), on a :
\[P(|X - np| \geqslant k\sqrt{np(1-p)}) \leqslant \dfrac{1}{k^2}.\]Corrigé
En posant \(\varepsilon = k\sqrt{np(1-p)}\), l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne directement :
\(P(|X - np| \geqslant k\sqrt{np(1-p)}) \leqslant \dfrac{np(1-p)}{(k\sqrt{np(1-p)})^2} = \dfrac{1}{k^2}.\)
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Soit \(X \sim \mathcal{B}(100, 0.4)\). Donner un majorant de \(P(|X - 40| \geqslant 10)\).
Corrigé
Pour \(X \sim \mathcal{B}(100, 0.4)\), on a \(np = 40\) et \(np(1-p) = 24\).
En prenant \(\varepsilon = 10\), on obtient :
\(P(|X - 40| \geqslant 10) \leqslant \dfrac{24}{10^2} = 0.24.\)