Petit devoir de Trigonométrie

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et à la justification.

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Le barème est donné à titre indicatif.

Durée : 40 minutes

Exercice 1

1. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{3x}}{2x}\)

   Corrigé

   \(\dfrac{\sin{3x}}{2x}=\dfrac{\sin{3x}}{3x} \times \dfrac{3}{2}\)

   On pose \(X=3x\), on a \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin{X}}{X}=1\) et \(\lim\limits_{x \to 0}X=0\), par composée on obtient donc \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{3x}}{3x}=1\).

   Par produit, on a donc \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{3x}}{2x}=\dfrac{3}{2}\).

2. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{3x}}{\sin{2x}}\)

   Corrigé

   On récrit \(\dfrac{\sin{3x}}{\sin{2x}}=\dfrac{\sin{3x}}{3x} \times \dfrac{2x}{\sin{2x}} \times \dfrac{3}{2}\)

   De la même façon que dans le 1., on déduit \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{3x}}{3x}=1\) et \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{2x}}{2x}=1\), donc, par inverse et produit, \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{3x}}{\sin{2x}}=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{3x}}{3x} \times \dfrac{2x}{\sin{2x}} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\).

Exercice 2

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = \cos(2x) + \sin^2(2x)\]

On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

1. Démontrer que \(f\) est de période \(\pi\).

   Corrigé

   On calcule \(f(x+\pi)=\cos(2x+2\pi) + \sin^2(2x+2\pi)=f(x)\) (les fonctions \(x \mapsto \sin{x}\) et \(x \mapsto \cos{x}\) sont \(2\pi\)-périodiques).

2. Étudier la parité de \(f\).

   Corrigé

   On calcule \(f(-x)=\cos(-2x) + \sin^2(-2x)=\cos{2x}+(-\sin(2x))^2=\cos(2x) + \sin^2(2x)=f(x)\)

   \(f\) est une fonction paire.

3. On note : \(I = \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\), expliquer comment obtenir la courbe \(C_f\) complète à partir d’un tracé sur \(I\).

   Corrigé

   \(f\) étant paire, on commence par construire la courbe \(C_f\) sur l'intervalle \(\left[- \dfrac{\pi}{2};0\right]\) par symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées. On obtient alors \(C_f\) sur \(\left[- \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\).

   \(f\) est \(\pi\)-périodique, on obtient sa représentation graphique sur \(\mathbb{R}\) grâce à des translations de vecteurs \(k\pi\vec{\imath}\) avec \(k \in \mathbb{Z}^*\).

4. Factoriser \(f'(x)\) et justifier que \(f'(x)\) est du signe de \(\cos(2x)-\dfrac{1}{2}\) sur \(\left]0; \dfrac{\pi}{2}\right[\).

   En déduire les variations de \(f\) sur l’intervalle \(I\) puis dresser son tableau de variations complet sur \(I\).

   Corrigé

   On a \((\cos{u})'=-u'\sin{u}\) et \(\left((\sin{u})^2\right)'=2u'\cos{u}\sin{u}\)

   On obtient \(f'(x)=-2\sin(2x)+4\cos(2x)\sin(2x)=4\sin(2x)\left(-\dfrac{1}{2}+\cos(2x)\right)\)

   On a \(x \in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[ \Rightarrow 2x \in ]0;\pi[ \Rightarrow \sin(2x)>0\), \(f'(x)\) est donc du signe de \(\cos(2x)-\dfrac{1}{2}\) sur \(\left]0; \dfrac{\pi}{2}\right[\).

   Avec le cercle trigonométrique, la résolution de \(\cos{X}-\dfrac{1}{2}\geq 0\) donne l'ensemble solution \(\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]\) sur \([0;{\pi}]\), par conséquent, on a \(\cos{2x}-\dfrac{1}{2}\geq 0\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]\) et on a \(f'(x)\) positive sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]\) et négative sur \(\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]\).

   Ce qui permet de construire le tableau de variations suivant:

5. Tracer la courbe \(C_f\) sur l’intervalle \([-\pi ; \pi]\).

   Corrigé

   Courbe