Devoir sur les suites et la récurrence 2017-2018

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Le barème est donné à titre indicatif et n'a rien de définitif.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée: 60 minutes

Exercice 1 (4 points)

La suite est définie par \(u_0=2\) et pour tout entier naturel \(n\) , \(u_{n+1}=2u_n-3\)

1. Représenter graphiquement les 5 premiers termes de cette suite au recto de cette feuille en utilisant une habile construction.

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) , \(n\geqslant 0\), \(u_n=3-2^n\).

Corrigé

1. Représentation graphique

   

2. Posons l'hypothèse de récurrence: \(\text{P}_{n}\) :

   \[«{u_{n} = {3 - 2^{n}}}»\]

   Initialisation:

   \(u_{0} = 2\) et pour \(n = 0\), \({3 - 2^{0}} = 2\) d'où \(u_{0} = {3 - 2^{0}}\).

   Hérédité:

   Supposons que \(\text{P}_{n}\) soit vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text{P}_{n + 1}\) est vraie.

   \(u_{n} = {3 - 2^{n}} \Rightarrow u_{n+1}=2(3-2^n)-3\)

   \(\Rightarrow u_{n+1}=6-2^{n+1}-3\)

   \(\Rightarrow u_{n+1}=3-2^{n+1}\)

   \(\Rightarrow \text{P}_{n + 1}\) est vraie.

   Conclusion:

   Par récurrence sur \(n\) , on a donc \(u_n=3-2^n\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\) .

Exercice 2 (2 points)

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geqslant 4\) , \(2^n>3n+1\).

Corrigé

Soit \(\text H_n\) l'hypothèse de récurrence: \(\text{«}2^n>3n+1\text{»}\)

Initialisation:

Pour \(n=4\) on a \(2^4=16\) et \(3\times 4+1=13\) or \(16>13\) d'où \(\text H_4\) vraie.

Hérédité:

Supposons que \(\text H_n\) soit vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text H_{n+1}\) est vraie.

\(2^n>3n+1 \Rightarrow 2\times 2^n>2\times 3n+2 \Rightarrow 2^{n+1}>6n+2\) \((\text I)\)

Comparons ensuite \(6n+2\) et \(3n+4\) :

\(6n+2-(3n+4)=3n-2\) or \(3n-2\geqslant 0\) pour \(n\geqslant 1\) et à fortiori pour \(n\geqslant 4\) . D'où \(6{ {n + 2} > 3}{n + 5}\)

d'après \((\text{I})\) on a donc \({2^{n + 1} > 6}{ {n + 2} > 3}{n + 4}\) avec \(3{ {n + 4} = 3}{ {({n + 1})} + 1}\).

et \({2^{n + 1} > 3}{ {({n + 1})} + 1}\) ce qui signifie que \(\text{H}_{n + 1}\) est vraie.

Conclusion:

\(\text H_n\) est vraie pour \(n=4\) et héréditaire pour \(n\geqslant 4\), par récurrence sur \(n\), on a donc \({2^{n} > 3}{n + 1}\) pour tout entier naturel \(n \geqslant 4\).

Exercice 3 (8 points)

La suite est définie par \(u_0=0\) et pour tout entier naturel \(n\) , \(u_{n+1}=3u_n-2n+3\).

1. a. Calculer les valeurs exactes de \(u_{1}\), \(u_{2}\) et \(u_{3}\).

   b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n} \geqslant n\).

   c. Utiliser ce dernier résultat pour montrer que \((u_{n})\) est croissante.

2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_{n} = { {u_{n} - n} + 1}\)

   a. Démontrer que \((v_{n})\) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

   b. En déduire l'expression de \(v_{n}\) puis de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).

Corrigé

1. a. \({u_{1} = 3}{ { {u_0 - {2 \times 0}} + 3} = 3}\);

   \({u_{2} = 3}{ { {u_{1} - {2 \times 1}} + 3} = 10}\);

   \({u_{3} = 3}{ { {u_{2} - {2 \times 2}} + 3} = 29}\)

   b. Soit \(\text{Q}_{n}\) l'hypothèse de récurrence: \(«{u_{n} \geqslant n}»\).

   Initialisation:

   On a \(u_{0} = 0\) donc \(\text{Q}_{0}\) est clairement vraie.

   Hérédité:

   Supposons que \(\text Q_n\) soit vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text Q_{n+1}\) est vraie.

   \(u_n\geqslant n \Rightarrow 3u_n\geqslant 3n \Rightarrow 3u_n-2n+3\geqslant 3n-2n+3\)

   \(\Rightarrow u_{n+1}\geqslant n+3\geqslant n+1 \Rightarrow \text Q_{n+1}\) vraie.

   Conclusion:

   \(\text Q_n\) est initialisée pour \(n=0\) et héréditaire, par récurrence sur \(n\) , \(\text Q_n\) est vraie pour tout \(n\) entier naturel.

   c. \(u_{n+1}-u_n=3u_n-2n+3-u_n=2u_n-2n+3\) . On a \(u_n\geqslant n \Rightarrow 2u_n\geqslant 2n \Rightarrow 2u_n-2n\geqslant 0\) . d'où \(2u_n-2n+3\geqslant 0\) et \(u_{n+1}-u_n\geqslant 0\). \((u_n)\) est donc croissante.

2. a. \(v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)+1 \Rightarrow v_{n+1}=3u_n-2n+3-n-1+1 \Rightarrow v_{n+1}=3u_n-3n+3\) d'où \(v_{n+1}=3(u_n-n+1)=3v_n\) d'où \((v_n)\) géométrique de raison 3 et de premier terme \(v_0=u_0-0+1=1\).

   b. On a donc \(v_n=3^n\) et \(u_n=v_n+n-1=3^n+n-1\).