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Devoir Espace et Suites 23-24

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée : 1h10 min

Exercice 1

La droite \(D\) dont une représentation paramétrique est \(\left\{\begin{matrix}x=-1+2t\\y=-3t\\z=2-t\end{matrix}\right.\) , \(t\in \mathbb{R}\)

RĂ©pondre par Vrai ou Faux en donnant une justification.

  1. \(D\) passe par le point \(A(-1;0;2)\)

    Corrigé

    Pour \(t=0\), on retrouve \(A(-1;0;2)\), donc VRAI

  2. \(D\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u} \left(\begin{matrix}-1\\0\\2\end{matrix}\right)\)

    Corrigé

    D'après la représentation paramétrique donnée, \(\left(\begin{matrix}2\\-3\\-1\end{matrix}\right)\) est un vecteur directeur de \(D\) et \(\overrightarrow{u} \left(\begin{matrix}-1\\0\\2\end{matrix}\right)\) n'est pas colinéaire avec lui, car \(\overrightarrow{u}\) n'a pas de \(0\) sur la deuxième coordonnée. FAUX

  3. \(D\) passe par le point \(B(-3;3;3)\)

    Corrigé

    Pour \(t=-1\), on retrouve \(B(-3;3;3)\). VRAI

  4. \(D\) admet pour vecteur directeur \(\overrightarrow{w} \left(\begin{matrix}6\\-9\\-3\end{matrix}\right)\)

    Corrigé

    On a \(3 \times \left(\begin{matrix}2\\-3\\-1\end{matrix}\right)=\overrightarrow{w}\). Donc VRAI

  5. \(D\) ne coupe pas l'axe des ordonnées

    Corrigé

    Si D coupe l'axe des ordonnées, c'est en un point de coordonnées \((0;y;0)\), on résout donc \(\left\{\begin{matrix}0=-1+2t_1\\0=2-t_2\end{matrix}\right.\), on obtient \(t_1=\dfrac{1}{2}\) et \(t_2=2\) et \(t_1 \neq t_2\). VRAI

  6. \(D\) est sécante avec la droite \(D'\) dont une représentation paramétrique est:

    \(\left\{\begin{matrix}x=2-\dfrac{7}{3}t\\y=1-2t\\z=-\dfrac{1}{3}+2t\end{matrix}\right.\) , \(t\in \mathbb{R}\)

    Corrigé

    Si \(D\) et \(D'\) sont sécantes alors il existe un couple \((s,t) \in \mathbb{R}^2\) tel que \(\left\{\begin{matrix}-1+2s=2-\dfrac{7}{3}t\\-3s=1-2t\\2-s=-\dfrac{1}{3}+2t\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2s+\dfrac{7}{3}t=3\\-3s+2t=1\\-s-2t=-\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{matrix}L_1\\L_2+L_3\\3L_3-L_2\end{matrix} \left\{\begin{matrix}2s+\dfrac{7}{3}t=3\\-4s=-\dfrac{4}{3}\\-8t=-8\end{matrix}\right.\)

    En remplaçant \(s\) par \(\dfrac{1}{3}\) et \(t\) par \(1\) dans \(L_1\), on obtient: \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)

    Le système admet une solution donc les droites \(D\) et \(D'\) sont bien sécantes. VRAI

Exercice 2

Soit \(\left(u_n\right)\) la suite définie par \(u_0 = 3\), \(u_1 = 6\) et, pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+2} = \dfrac{5}{4}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n.\]

Le but de cet exercice est d'Ă©tudier la limite Ă©ventuelle de la suite \(\left(u_n\right)\).

Partie A :

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite \(\left(u_n\right)\) Ă  l'aide d'un tableur.

On a reproduit ci-dessous une partie d'une feuille de calcul, oĂą figurent les valeurs de \(u_0\) et de \(u_1\).

A B
1 \(n\) \(u_n\)
2 0 3
3 1 6
4 2
5 3
6 4
7 5

  1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d'obtenir des valeurs de la suite \(\left(u_n\right)\) dans la colonne B.

  2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à \(10^{-3}\) près de \(u_n\) pour \(n\) allant de 2 à 5.

  3. Que peut-on conjecturer Ă  propos de la convergence de la suite \(\left(u_n\right)\) ?

Partie B : Étude de la suite

On considère les suites \(\left(v_n\right)\) et \(\left(w_n\right)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_n = u_{n + 1} - \dfrac{1}{4}u_n\quad \text{ et }\quad w_n = u_n - 7.\]

  1. a. DĂ©montrer que \(\left(v_n\right)\) est une suite constante.

    b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{21}{4}\).

  2. a. En utilisant le résultat de la question 1.b., montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n < u_{n+1} < 7\).

    b. En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.

  3. a. Démontrer que \(\left(w_n\right)\) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 7 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n-1}\).

    c. Calculer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\).

Corrigé

Partie A :

  1. La formule Ă  saisir dans la cellule B4, puis Ă  recopier vers le bas, permettant d'obtenir des valeurs de la suite \(\left(u_n\right)\) dans la colonne B est =5*B3/4-B2/4

  2. Valeurs à \(10^{-3}\) près de \(u_n\):

A B
1 \(n\) \(u_n\)
2 0 3
3 1 6
4 2 6.750
5 3 6.938
6 4 6.984
7 5 6.996
  1. On peut conjecturer que la suite \(\left(u_n\right)\) converge vers le nombre \(7\).

Partie B : Étude de la suite

  1. a. \(v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{4}\,u_{n+1} = \dfrac{5}{4}\,u_{n+1} -\dfrac{1}{4}\,u_n -\dfrac{1}{4}\,u_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}\,u_n=v_n\) donc la suite \((v_n)\) est constante.

    b. La suite \((v_n)\) est constante, donc pour tout \(n\), \(v_n=v_0 = u_1 -\dfrac{1}{4}\,u_0 = 6 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{21}{4}\).

    Donc, pour tout \(n\), \(u_{n+1} - \dfrac{1}{4}\,u_n=\dfrac{21}{4}\) soit \(u_{n+1} = \dfrac{1}{4}\,u_n + \dfrac{21}{4}\).

  2. a. Soit la propriété \(P_n: « u_n < u_{n+1} < 7 »\).

    Initialisation

    On a \(u_0=3\) et \(u_1=6\)

    Comme \(3<6<7\), la propriété \(P_0\) est vérifiée.

    Hérédité

    Supposons \(P_n\) vraie pour un rang \(n\) donné, et montrons qu'alors \(P_{n+1}\) est vraie.

    \(u_n < u_{n+1} < 7 \Rightarrow \dfrac{1}{4}u_n < \dfrac{1}{4}u_{n+1} < \dfrac{7}{4}\)

    \(u_n < u_{n+1} < 7 \Rightarrow \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{21}{4}< \dfrac{1}{4}u_{n+1}+ \dfrac{21}{4} < \dfrac{7}{4}+ \dfrac{21}{4}\)

    \(u_n < u_{n+1} < 7 \Rightarrow u_{n+1}< u_{n+2}< 7\)

    \(P_n \Rightarrow P_{n+1}\)

    Conclusion

    \(P_n\) est initialisée pour \(n=0\) et héréditaire pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a donc démontré par récurrence sur \(n\) que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n} < u_{n+1} < 7\).

    b. La suite \(\left(u_n\right)\) est croissante et majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.

  3. a. \(w_n=u_n-7 \Rightarrow w_{n+1}=u_{n+1}-7 \Rightarrow w_{n+1}=\dfrac{1}{4}\,u_n + \dfrac{21}{4} -7 \Rightarrow w_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{7}{4}=\dfrac{1}{4}(u_n-7)=\dfrac{1}{4}w_n\)

    Donc la suite \(\left(w_n\right)\) est géométrique de premier terme \(w_0=u_0-7=3-7=-4\) et de raison \(q=\dfrac{1}{4}\).

    b. On en déduit que, pour tout \(n\), \(w_n=w_0\times q^n = -4 \times \left ( \dfrac{1}{4}\right )^n = -4\times \dfrac{1}{4}\times \left (\dfrac{1}{4}\right )^{n-1} = -\left (\dfrac{1}{4}\right )^{n-1}\).

    Or \(u_n=w_n+7\) donc, pour tout \(n\), \(u_n=7-\left ( \dfrac{1}{4} \right ) ^{n-1}\).

    c. \(-1 < \dfrac{1}{4} < 1\) donc, d'après les propriétés des limites des suites géométriques, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left (\dfrac{1}{4} \right )^{n-1} = 0\).

    On en déduit que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n=7\).