Aller au contenu

Devoir sur les suites

L'usage de la calculatrice est autorisé.

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

Durée : 1h10 min

Exercice 1

Dans les questions qui suivent, aucune, une, ou plusieurs réponses peuvent être exactes.

Pour les questions 1 et 2 aucune justification n'est attendue.

Pour les questions 3 et 4, les réponses doivent être justifiées.

Une réponse exacte rapporte 0.5 points, une erreur enlève 0.25 points.

Ne pas répondre ne rapporte ou ne fait perdre aucun point.

Question 1

Soit \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites telles que :

Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant v_n \leqslant w_n\), \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=-1\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n=1\).

  1. \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0\)
  2. la suite \((u_n)\) est minorée.
  3. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(-1 \leqslant v_n \leqslant 1\).
  4. On ne peut pas dire si \((v_n)\) a une limite ou non.

Question 2

Soit \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites telles que : pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant v_n \leqslant w_n\).

Si \(u_n \geqslant 1\), \(w_n=2u_n\) et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=\text{L}\), alors:

  1. \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=\text{L}\)
  2. la suite \((w_n)\) tend vers \(+\infty\).
  3. \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (w_n-u_n)=\text{L}\)
  4. On ne peut pas dire si la suite \((v_n)\) est convergente ou pas.

Question 3

Soit \((u_n)\) une suite dont tous les termes sont strictement positifs et \((v_n)\) la suite définie par:

\[v_n=\frac{u_n}{u_n+1}\]
  1. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \leqslant v_n \leqslant 1\).
  2. Si la suite \((u_n)\) est convergente, alors la suite \((v_n)\) est convergente.
  3. Si la suite \((u_n)\) est croissante, alors la suite \((v_n)\) est croissante.
  4. Si la suite \((v_n)\) est convergente, alors la suite \((u_n)\) est convergente.

Question 4

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=0\), \(u_1=1\), et pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1, \(u_{n+1}=7u_n+8u_{n-1}\).

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=(-1)^nu_n\). Soit \((t_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(t_n=v_{n+1}-v_n\).

  1. La suite \((s_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(s_n=u_{n+1}+u_n\) est une suite géométrique de raison 8.
  2. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(t_n=(-1)^ns_n\)
  3. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n=\dfrac{8^n+1}{9}\)
  4. \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_n}{8^n}=\dfrac{1}{9}\)

Exercice 2

Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) la suite de réels strictement positifs définie par:

\[u_n=\dfrac{n^2}{2^n}\]

  1. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose:

    \[v_n=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\]

    1. Démontrer que \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=\dfrac{1}{2}\).

    2. Démontrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(v_n>\dfrac{1}{2}\)

    3. Trouver le plus petit \(N\) tel que: pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(N\), \(v_n<\dfrac{3}{4}\)

    4. En déduire que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(N\): \(u_{n+1}<\dfrac{3}{4}u_n\).

  2. Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 5, on pose:

    \[S_n=u_5+u_6+...+u_n\]

    1. Démontrer par récurrence que: pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 5:

      \[u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5\]

    2. Démontrer que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 5:

      \[S_n \leqslant \left[ 1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+...+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right]u_5\]

    3. En déduire que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 5, \(S_n \leqslant 4u_5\).

    4. Démontrer que la suite \(\left(S_n\right)_{n \geqslant 5}\) est croissante.
    5. En déduire que la suite \(\left(S_n\right)_{n \geqslant 5}\) converge.

Exercice 1

Question 1

  1. Faux
  2. Vrai
  3. Faux
  4. Vrai

Question 2

  1. Faux
  2. Faux
  3. Vrai
  4. Vrai

Question 3

  1. On a \(0 \leqslant u_n < u_n+1\)

    On divise chaque membre de l'inégalité par \(u_n+1\), qui est positif:

    \(\Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{u_n}{u_n+1} < \dfrac{u_n+1}{u_n+1} \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{u_n}{u_n+1} < 1\) \(\Rightarrow 0 \leqslant v_n \leqslant 1\)

    L'affirmation est vraie.

  2. Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=L\) avec \(L \geqslant 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=\dfrac{L}{L+1}\) avec \(L+1>0\)

    L'affirmation est vraie.

  3. \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n+1}+1}-\dfrac{u_n}{u_n+1}=\dfrac{u_{n+1}(u_n+1)-u_n(u_{n+1}+1)}{(u_{n+1}+1)(u_n+1)}\)

    \(\Leftrightarrow v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_{n+1}-u_n}{(u_{n+1}+1)(u_n+1)}\)

    Le dénominateur est positif car \(u_n>0\).

    Par conséquent le signe de \(v_{n+1}-v_n\) est celui de \(u_{n+1}-u_n\).

    L'affirmation est vraie.

  4. Si on a \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n+1}\) alors \(\dfrac{u_n+1}{u_n}=\dfrac{1}{v_n}\)

    \(\Rightarrow 1+\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{v_n}\)

    \(\Rightarrow \dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{v_n}-1\)

    \(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{\dfrac{1}{v_n}-1}\)

    \(\Rightarrow u_n=\dfrac{v_n}{1-v_n}\)

    L'affirmation est fausse, si \((v_n)\) converge vers -1, alors \((u_n)\) est divergente.

Question 4

  1. \(s_{n+1}=u_{n+2}+u_{n+1}=7u_{n+1}+8u_n+u_{n+1}=8(u_{n+1}+u_n=8s_n\)

    L'affirmation est vraie.

  2. \(t_n=v_{n+1}-v_{n}=(-1)^{n+1}-(-1)^nu_n=(-1)^{n+1}u_{n+1}+(-1)^{n+1}u_n=(-1)^{n+1}(u_{n+1}+u_n)=(-1)^{n+1}s_n\)

    L'affirmation est fausse.

  3. Si on teste cette égalité pour \(n=0\), on obtient \(u_0=\dfrac{2}{9}\), ce qui est absurde.

    L'affirmation est fausse.

  4. On calcule: \(t_0+t_1+t_2+...+t_{n-1}+t_n=v_1-v_0+v_2-v_1+v_3-v_2+...+v_n-v_{n-1}+v_{n+1}-v_n=v_{n+1}-v_0=v_{n+1}\) (Télescopage)

    On a aussi:

    \(s_n=s_0 \times 8^n=8^n\) donc \(t_n=(-1)^{n+1} \times 8^n=-1 \times (-8)^n\)

    \((t_n)\) est donc une suite géométrique de raison \(-8\) et de premier terme -1.

    On peut calculer la somme de ses termes:

    \(t_0+t_1+t_2+...+t_{n-1}+t_n=-1 \times \dfrac{1-(-8)^{n+1}}{1-(-8)}=\dfrac{(-8)^{n+1}-1}{9}\)

    D'où \(v_{n+1}=\dfrac{(-8)^{n+1}-1}{9}\) soit \(v_{n}=\dfrac{(-8)^{n}-1}{9}\)

    Avec \(v_n=(-1)^nu_n\), on déduit \(u_n=(-1)^nv_n=\dfrac{8^{n}-(-1)^n}{9}\)

    Avec cette écriture de \((u_n)\), il est clair que \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_n}{8^n}=\dfrac{1}{9}\) car \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{(-1)^n}{8^n}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{-1}{8}\right)^n=0\) grâce à \(-1<-\dfrac{1}{8}<1\).

Exercice 2

    1. \(v_n=\dfrac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \times \dfrac{2^n}{n^2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^2 \times \dfrac{1}{2}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2 \times \dfrac{1}{2}\) Or \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1\), par produit on a donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=\dfrac{1}{2}\)

    Travail sur \((v_n)\)

    1. \(1+\dfrac{1}{n}>1 \Rightarrow \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2>1 \Rightarrow \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2 \times \dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{2}\)

      En conclusion, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(v_n>\dfrac{1}{2}\).

    2. On résout \(v_n<\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2\times \dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^2<\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 1+\dfrac{1}{n}<\sqrt{\dfrac{3}{2}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{n}<\sqrt{\dfrac{3}{2}}-1 \Leftrightarrow n>\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{3}{2}}-1}\)

      Or \(\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{3}{2}}-1}\approx 4.45\) d'où \(N=5\).

    3. Pour tout entier supérieur ou égal à 5, on a \(v_n<\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \dfrac{u_{n+1}}{u_n}<\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow u_{n+1}<\dfrac{3}{4}{u_n}\) car \((u_n)\) est une suite strictement positive.

  2. Travail sur la somme

    1. Démonstration par récurrence

      Soit \(P_n:«u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5»\)

      Initialisation

      Pour \(n=5\) on a \(u_5 \leqslant u_5 \Rightarrow P_5\) est vraie

      Hérédité

      Supposons \(P_n\) vraie pour un rang \(n\) donné supérieur ou égal à 5. Montrons qu'alors \(P_{n+1}\) est vraie.

      \(\dfrac{3}{4}u_n \leqslant \dfrac{3}{4} \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5\)

      \(\Rightarrow \dfrac{3}{4}u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-4}u_5\)

      or \(u_{n+1}<\dfrac{3}{4}{u_n}\) pour \(n \geqslant 5\)

      Donc \(u_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-4}u_5\) et \(P_{n+1}\) est bien vérifiée.

      Conclusion

      \(P\) est initialisée et héréditaire, par récurrence sur \(n\), on a donc montré que \(u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5\) pour tout \(n\) supérieur ou égal à \(5\).

    2. On a \(u_5 \leqslant u_5\), \(u_6 \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)u_5\) et de façon générale \(u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5\).

      On peut sommer ces inégalités, on obtient alors \(u_5+u_6+...+u_n \leqslant u_5+\left(\dfrac{3}{4}\right)u_5+...+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5\) et en factorisant à droite par \(u_5\), on obtient \(S_n \leqslant \left[ 1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+...+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right]u_5\).

    3. Le membre de droite est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme \(u_5\), de raison \(\dfrac{3}{4}\) et dont le nombre de termes est \(n-4\), on a donc \(\left[ 1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+...+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right]u_5=u_5\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-4}}{1-\dfrac{3}{4}}\) Soit \(S_n\leqslant u_5\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-4}}{\dfrac{1}{4}} \Rightarrow S_n\leqslant 4u_5\left[1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-4}\right]\leqslant 4u_5\)

    4. On a \(S_{n+1}-S_(n)=u_{n+1}\) et la suite \((u_n)\) strictement positive, la suite \((S_n)\) est donc croissante strictement.

    5. D'après les deux questions précédentes, \((S_n)\) est croissante et majorée, le théorème de convergence monotone permet donc d'affirmer que \((S_n)\) converge.